Стек модулей эллиптических кривых

В математике стек модулей эллиптических кривых , обозначаемый как ${\mathcal {M}}_{1,1}$ или ${\mathcal {M}}_{\textrm {ell}}$ , представляет собой алгебраический стек над ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ классификация эллиптических кривых . Обратите внимание, что это частный случай стека модулей алгебраических кривых. ${\mathcal {M}}_{g,n}$ . В частности, его точки со значениями в некотором поле соответствуют эллиптическим кривым над полем и, в более общем смысле, морфизмам из схемы $S$ ему соответствуют эллиптические кривые над $S$ . Построение этого пространства заняло более столетия из-за различных обобщений эллиптических кривых по мере развития этой области. Все эти обобщения содержатся в ${\mathcal {M}}_{1,1}$ .

Характеристики

Гладкий стек Делиня-Мамфорда

Стек модулей эллиптических кривых представляет собой гладкий разделенный стек Делиня–Мамфорда конечного типа над ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ , но не является схемой, поскольку эллиптические кривые имеют нетривиальные автоморфизмы.

j-инвариант

Существует правильный морфизм ${\mathcal {M}}_{1,1}$ к аффинной линии, грубому пространству модулей эллиптических кривых, заданному j -инвариантом эллиптической кривой.

Построение по комплексным числам

Классическое наблюдение состоит в том, что каждая эллиптическая кривая над $\mathbb {C}$ классифицируется по периодам . Учитывая основу его интегральной гомологии $\alpha ,\beta \in H_{1}(E,\mathbb {Z} )$ и глобальная голоморфная дифференциальная форма $\omega \in \Gamma (E,\Omega _{E}^{1})$ (который существует, поскольку он гладкий и размерность пространства таких дифференциалов равна роду , 1), интегралы ${\begin{bmatrix}\int _{\alpha }\omega &\int _{\beta }\omega \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}\end{bmatrix}}$ отдать генераторы на $\mathbb {Z}$ -решетка ранга 2 внутри $\mathbb {C}$ ^[1] ^{стр. 158}. Обратно, если задана целая решетка $\Lambda$ ранга $2$ внутри $\mathbb {C}$ , имеет место вложение комплексного тора $E_{\Lambda }=\mathbb {C} /\Lambda$ в $\mathbb {P} ^{2}$ из функции Вейерштрасса P ^[1] ^{стр. 165}. Это изоморфное соответствие $\phi :\mathbb {C} /\Lambda \to E(\mathbb {C} )$ дается $z\mapsto [\wp (z,\Lambda ),\wp '(z,\Lambda ),1]\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )$ и выполняется с точностью до гомотетии решетки $\Lambda$ , что является отношением эквивалентности $z\Lambda \sim \Lambda ~{\text{for}}~z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ Тогда решетку принято записывать в виде $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau$ для $\tau \in {\mathfrak {h}}$ , элемент верхней полуплоскости , поскольку решетка $\Lambda$ можно было бы умножить на $\omega _{1}^{-1}$ , и $\tau ,-\tau$ оба генерируют одну и ту же подрешетку. Тогда верхняя полуплоскость дает пространство параметров всех эллиптических кривых над $\mathbb {C}$ . Имеется дополнительная эквивалентность кривых, задаваемая действием ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{Mat}}_{2,2}(\mathbb {Z} ):ad-bc=1\right\}$ где эллиптическая кривая, определяемая решеткой $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau$ изоморфна кривым, заданным решеткой $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau '$ заданное модульным действием ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot \tau &={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\\&=\tau '\end{aligned}}$ Тогда стек модулей эллиптических кривых над $\mathbb {C}$ задается коэффициентом стека ${\mathcal {M}}_{1,1}\cong [{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\backslash {\mathfrak {h}}]$ Обратите внимание, что некоторые авторы создают это пространство модулей, используя вместо этого действие модульной группы. ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm I\}$ . В этом случае точки в ${\mathcal {M}}_{1,1}$ имеющие только тривиальные стабилизаторы, плотны.

$\qquad$

Точки стека/орбифолда

Как правило, точки в ${\mathcal {M}}_{1,1}$ изоморфны классифицирующему стеку $B(\mathbb {Z} /2)$ поскольку каждая эллиптическая кривая соответствует двойному накрытию $\mathbb {P} ^{1}$ , поэтому $\mathbb {Z} /2$ -действие на точку соответствует инволюции этих двух ветвей накрытия. Есть несколько особых моментов ^[2] ^{стр. 10-11} соответствующие эллиптическим кривым с $j$ -инвариант, равный $1728$ и $0$ где группы автоморфизмов имеют порядок 4, 6 соответственно ^[3] ^{стр. 170}. Одна точка в фундаментальной области со стабилизатором порядка $4$ соответствует $\tau =i$ , а точки, соответствующие стабилизатору порядка $6$ соответствуют $\tau =e^{2\pi i/3},e^{\pi i/3}$ ^[4]^{стр. 78}.

Представление инволюций плоских кривых

Учитывая плоскую кривую по уравнению Вейерштрасса $y^{2}=x^{3}+ax+b$ и решение $(t,s)$ , в общем случае для j-инварианта $j\neq 0,1728$ , есть $\mathbb {Z} /2$ -инволюционная отправка $(t,s)\mapsto (t,-s)$ . В частном случае кривой с комплексным умножением $y^{2}=x^{3}+ax$ там $\mathbb {Z} /4$ -инволюционная отправка $(t,s)\mapsto (-t,{\sqrt {-1}}\cdot s)$ . Другой частный случай — это когда $a=0$ , поэтому кривая вида $y^{2}=x^{3}+b$ есть $\mathbb {Z} /6$ -инволюционная отправка $(t,s)\mapsto (\zeta _{3}t,-s)$ где $\zeta _{3}$ это третий корень из единицы $e^{2\pi i/3}$ .

Фундаментальная область и визуализация

Существует подмножество верхней полуплоскости, называемое Фундаментальной областью , которое содержит все классы изоморфизма эллиптических кривых. Это подмножество $D=\{z\in {\mathfrak {h}}:|z|\geq 1{\text{ and }}{\text{Re}}(z)\leq 1/2\}$ Полезно учитывать это пространство, поскольку оно помогает визуализировать стек. ${\mathcal {M}}_{1,1}$ . Из факторной карты ${\mathfrak {h}}\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\backslash {\mathfrak {h}}$ образ $D$ сюръективен, и его внутренняя часть инъективна ^[4]^{стр. 78}. Также точки на границе можно идентифицировать по их зеркальному отображению при отправке инволюции ${\text{Re}}(z)\mapsto -{\text{Re}}(z)$ , так ${\mathcal {M}}_{1,1}$ можно представить в виде проективной кривой $\mathbb {P} ^{1}$ с точкой, удаленной на бесконечность ^[5]^{стр. 52}.

Линейные пакеты и модульные функции

Есть линейные пакеты ${\mathcal {L}}^{\otimes k}$ над стеком модулей ${\mathcal {M}}_{1,1}$ разделы которого соответствуют модульным функциям $f$ в верхней полуплоскости ${\mathfrak {h}}$ . На $\mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}$ есть ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ -действия, совместимые с действием на ${\mathfrak {h}}$ данный ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\times {\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}\to {\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}$ Степень $k$ действие задается ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:(z,\tau )\mapsto \left((c\tau +d)^{k}z,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)$ следовательно, тривиальное линейное расслоение $\mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}$ со степенью $k$ действие спускается к уникальному набору строк, обозначенному ${\mathcal {L}}^{\otimes k}$ . Обратите внимание на действие фактора $\mathbb {C}$ является представлением ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ на $\mathbb {Z}$ следовательно, такие представления можно тензорировать вместе, показывая ${\mathcal {L}}^{\otimes k}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes l}\cong {\mathcal {L}}^{\otimes (k+l)}$ . Разделы ${\mathcal {L}}^{\otimes k}$ тогда это разделы функций $f\in \Gamma (\mathbb {C} \times {\mathfrak {h}})$ совместим с действием ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ или, что то же самое, функции $f:{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$ такой, что $f\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot \tau \right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$ Это и есть условие модулярности голоморфной функции.

Модульные формы

Модульные формы — это модульные функции, которые можно расширить до компактификации. ${\overline {{\mathcal {L}}^{\otimes k}}}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ это потому, что для компактификации стека ${\mathcal {M}}_{1,1}$ , необходимо добавить точку на бесконечности, что делается посредством процесса склеивания путем склеивания $q$ -disk (где модульная функция имеет свою $q$ -расширение) ^[2]^{стр. 29-33}.

Универсальные кривые

Построение универсальных кривых ${\mathcal {E}}\to {\mathcal {M}}_{1,1}$ представляет собой двухэтапный процесс: (1) построить версальную кривую ${\mathcal {E}}_{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}$ а затем (2) показать, что это ведет себя хорошо по отношению к ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ -действие на ${\mathfrak {h}}$ . Объединение этих двух действий вместе дает стек частных $[({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {Z} ^{2})\backslash \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}]$

Версальная кривая

Каждый ранг 2 $\mathbb {Z}$ -решетка в $\mathbb {C}$ вызывает канонический $\mathbb {Z} ^{2}$ -действие на $\mathbb {C}$ . Как и раньше, поскольку каждая решетка гомотетична решетке вида $(1,\tau )$ затем действие $(m,n)$ отправляет точку $z\in \mathbb {C}$ к $(m,n)\cdot z\mapsto z+m\cdot 1+n\cdot \tau$ Потому что $\tau$ в ${\mathfrak {h}}$ может варьироваться в этом действии, существует индуцированная $\mathbb {Z} ^{2}$ -действие на $\mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}$ $(m,n)\cdot (z,\tau )\mapsto (z+m\cdot 1+n\cdot \tau ,\tau )$ давая факторпространство ${\mathcal {E}}_{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}$ проецируя на ${\mathfrak {h}}$ .

СЛ ₂ - действие по Z ²

Существует ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ -действие на $\mathbb {Z} ^{2}$ что совместимо с действием на ${\mathfrak {h}}$ , то есть с учетом точки $z\in {\mathfrak {h}}$ и $g\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ , новая решетка $g\cdot z$ и индуцированное действие со стороны $\mathbb {Z} ^{2}\cdot g$ , который ведет себя так, как ожидалось. Это действие задается ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:(m,n)\mapsto (m,n)\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ что является умножением матриц справа, поэтому $(m,n)\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=(am+cn,bm+dn)$

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сильверман, Джозеф Х. (2009). Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6 . OCLC 405546184 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хейн, Ричард (25 марта 2014 г.). «Лекции по пространствам модулей эллиптических кривых». arXiv : 0812.1803 [ math.AG ].
^ Гэлбрейт, Стивен. «Эллиптические кривые» (PDF) . Математика криптографии с открытым ключом . Издательство Кембриджского университета – через Оклендский университет.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк. ISBN 978-1-4684-9884-4 . OCLC 853266550 .
^ Энрикес, Андре Г. «Стек модулей эллиптических кривых». В Дугласе, Кристофер Л.; Фрэнсис, Джон; Энрикес, Андре Г; Хилл, Майкл А. (ред.). Топологические модульные формы (PDF) . Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-1884-7 . OCLC 884782304 . Архивировано из оригинала (PDF) 9 июня 2020 года – через Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе.

Хейн, Ричард (2008), Лекции по пространствам модулей эллиптических кривых , arXiv : 0812.1803 , Bibcode : 2008arXiv0812.1803H
Лурье, Джейкоб (2009), Обзор эллиптических когомологий (PDF)
Олссон, Мартин (2016), Алгебраические пространства и стеки , Публикации коллоквиума, том. 62, Американское математическое общество, ISBN. 978-1470427986

Внешние ссылки

модули+стопка+эллиптических+кривых в n Lab
«Стек модулей эллиптических кривых» , проект Stacks

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сильверман, Джозеф Х. (2009). Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6 . OCLC 405546184 .

[:2-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хейн, Ричард (25 марта 2014 г.). «Лекции по пространствам модулей эллиптических кривых». arXiv : 0812.1803 [ math.AG ].

[3] Гэлбрейт, Стивен. «Эллиптические кривые» (PDF) . Математика криптографии с открытым ключом . Издательство Кембриджского университета – через Оклендский университет.

[:1-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк. ISBN 978-1-4684-9884-4 . OCLC 853266550 .

[5] Энрикес, Андре Г. «Стек модулей эллиптических кривых». В Дугласе, Кристофер Л.; Фрэнсис, Джон; Энрикес, Андре Г; Хилл, Майкл А. (ред.). Топологические модульные формы (PDF) . Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-1884-7 . OCLC 884782304 . Архивировано из оригинала (PDF) 9 июня 2020 года – через Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]