Сопоставление периодов

В математике , в области алгебраической геометрии , отображение периода связывает семейства кэлеровых многообразий с семействами структур Ходжа .

Теорема Эресмана

Основная статья: теорема Эресмана

Пусть f : X → B — голоморфный субмерсивный морфизм. точки b из B обозначим слой f над b через Xb _. Для Зафиксируйте точку 0 в B . Теорема Эресмана гарантирует, что существует небольшая открытая окрестность U вокруг 0, в которой f становится расслоением . То есть, ф ⁻¹ ( U ) диффеоморфен X ₀ × U . В частности, составное отображение

$X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}$

является диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм не единственен, поскольку зависит от выбора тривиализации. Тривиализация строится на основе гладких путей в U , и можно показать, что гомотопический класс диффеоморфизма зависит только от выбора гомотопического класса путей из b в 0. В частности, если U стягиваемо, существует колодец -определенный диффеоморфизм с точностью до гомотопии.

Диффеоморфизм из X _b в X ₀ индуцирует изоморфизм групп когомологий

$H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} ),$

а поскольку гомотопические отображения индуцируют тождественные отображения на когомологиях, этот изоморфизм зависит только от гомотопического класса пути от b до 0.

Отображения локального неполяризованного периода

Предположим, что и X f собственное 0 — _{кэлерово} многообразие. Условие Кэлера открыто, поэтому после возможного сжатия X U b _{компактен} и кэлеров для всех b в U . После дальнейшего сжатия U мы можем предположить, что он сжимаем. существует корректно определенный изоморфизм между группами X0 _{когомологий} и Xb _Тогда . вообще говоря, не сохраняют структуры Ходжа X0 и _{поскольку} Xb , _{Эти изоморфизмы групп когомологий ,} они индуцированы диффеоморфизмами, а не биголоморфизмами. Пусть F ^п ЧАС ^к ( Xb _C , фильтрации ) обозначают p -й шаг Ходжа . Числа Ходжа X _b такие же, как и у X ₀ , поэтому число b _{p , k} = dim F ^п ЧАС ^к ( X _b , C ) не зависит от b . – Карта периода это карта

${\mathcal {P}}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),$

где F — многообразие флагов цепочек подпространств размерностей b _{p , k} для всех p , которое отправляет

$b\mapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} ))_{p}.$

Поскольку X _b — кэлерово многообразие, фильтрация Ходжа удовлетворяет билинейным соотношениям Ходжа–Римана . Это означает, что

$H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\oplus {\overline {F^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )}}.$

Не все флаги подпространств удовлетворяют этому условию. Подмножество многообразия флагов, удовлетворяющее этому условию, называется неполяризованной областью локального периода и обозначается ${\mathcal {D}}$. ${\mathcal {D}}$ является открытым подмножеством многообразия флагов F .

Отображения локального поляризованного периода

Предположим теперь не только, что каждый X _b является кэлером, но и что существует кэлеров класс, который голоморфно меняется в b . Другими словами, предположим, что существует класс ω в H ² ( X , Z ) такой, что для каждого b ограничение ω _b ω на X _b является кэлеровым классом. ω _b определяет билинейную форму Q на H ^к ( X _b , C ) по правилу

$Q(\xi ,\eta )=\int \omega _{b}^{n-k}\wedge \xi \wedge \eta .$

Эта форма голоморфно меняется по b , и, следовательно, образ отображения периода удовлетворяет дополнительным ограничениям, которые снова вытекают из билинейных соотношений Ходжа–Римана. Это:

1. Ортогональность : F ^п ЧАС ^к ( X _b , C ) ортогонально F ^{к - р + 1} ЧАС ^к ( Икс _б , C ) относительно Q .
2. Положительная определенность : для всех p + q = k ограничение $\textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{p-q}Q$ к примитивным классам типа ( p , q ) положительно определен.

Поляризованная область локального периода является подмножеством неполяризованной области локального периода, флаги которой удовлетворяют этим дополнительным условиям. Первое условие является закрытым, а второе - открытым, и, следовательно, поляризованная область локального периода является локально замкнутым подмножеством неполяризованной области локального периода и многообразия флагов F . Отображение периода определяется так же, как и раньше.

Область поляризованного локального периода и отображение поляризованного периода по-прежнему обозначаются ${\mathcal {D}}$ и ${\mathcal {P}}$, соответственно.

Глобальные сопоставления периодов

присутствующую в топологии базового пространства B. Сосредоточение внимания только на локальных отображениях периодов игнорирует информацию , Глобальные сопоставления периодов построены таким образом, что эта информация по-прежнему доступна. Трудность построения глобальных отображений периодов связана с монодромией B b : больше не существует единственного гомотопического класса диффеоморфизмов, связывающих X _слои и X ₀ . Вместо этого различные гомотопические классы путей в B индуцируют, возможно, различные гомотопические классы диффеоморфизмов и, следовательно, возможно, различные изоморфизмы групп когомологий. Следовательно, для каждого волокна больше не существует четко определенного флага. Вместо этого флаг определяется только до действия фундаментальной группы.

В неполяризованном случае определим группу монодромии Γ как подгруппу группы GL( H ^к ( X ₀ , Z )) состоящий из всех автоморфизмов, индуцированных гомотопическим классом кривых в B, как указано выше. Многообразие флагов является фактором группы Ли по параболической подгруппе, а группа монодромии является арифметической подгруппой группы Ли. Глобальная область неполяризованного периода представляет собой фактор локальной области неполяризованного периода по действию Γ (таким образом, это набор двойных смежных классов ). В поляризованном случае элементы группы монодромии должны также сохранять билинейную форму Q , и глобальная область поляризованного периода строится как фактор по Γ таким же образом. В обоих случаях отображение периода переводит точку B в класс фильтрации Ходжа на X _b .

Характеристики

Гриффитс доказал, что отображение периодов голоморфно. Его теорема трансверсальности ограничивает диапазон карты периодов.

Матрицы периодов

Фильтрация Ходжа может быть выражена в координатах с использованием матриц периодов. Выберем базис δ ₁ , ..., δ _r для части без кручения k- й целой группы гомологий H _k ( X , Z ) . Зафиксируйте p и q так, что p + q = k , и выберите базис ω ₁ ,..., ω _s для гармонических форм типа ( p , q ) . Матрица периодов матрицей X ₀ по этим базам является

$\Omega ={\Big (}\int _{\delta _{i}}\omega _{j}{\Big )}_{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s}.$

Элементы матрицы периодов зависят от выбора базиса и комплексной структуры. δs можно изменять выбором матрицы Λ в SL( r , Z ) , а ωs можно изменять выбором матрицы A в GL( s , C ) . Матрица периодов эквивалентна Ω, если ее можно записать как A ΩΛ для некотороговыбор A и Λ.

Случай эллиптических кривых

Рассмотрим семейство эллиптических кривых

$y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

где λ — любое комплексное число, не равное нулю или единице. Фильтрация Ходжа на первой группе когомологий кривой имеет два шага: F ⁰ и Ф ¹ . Однако Ф ⁰ — вся группа когомологий, поэтому единственный интересный член фильтрации — это F ¹ , то есть H ^1,0 , пространство голоморфных гармонических 1-форм.

ЧАС ^1,0 является одномерным, поскольку кривая эллиптическая и для всех λ натянута на дифференциальную форму ω = dx / y . Чтобы найти явных представителей группы гомологии кривой, заметим, что кривую можно представить в виде графика многозначной функции

$y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}$

на сфере Римана . Точки ветвления этой функции находятся в нуле, единице, λ и бесконечности. Сделайте два разреза ветвей: один от нуля до единицы, а другой от λ до бесконечности. Они исчерпывают точки ветвления функции, поэтому разрезают многозначную функцию на два однозначных листа. Зафиксируйте маленькое ε > 0 . На одном из этих листов проследите кривую γ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2π it ) . При достаточно малом ε эта кривая окружает разрез ветвления [0, 1] и не пересекает разрез ветвления [λ, ∞] . Теперь проследим другую кривую δ( t ), которая начинается на одном листе как δ( t ) = 1 + 2(λ − 1)t для 0 ≤ t ≤ 1/2 и продолжается на другом листе как δ( t ) = λ + 2(1 − λ)(t − 1/2) для 1/2 ≤ t ≤ 1 . Каждая половина этой кривой соединяет точки 1 и λ на двух листах римановой поверхности . По теореме Зейферта – Ван Кампена группа гомологий кривой свободна от второго ранга. Поскольку кривые встречаются в одной точке 1 + ε , ни один из их классов гомологии не является кратным какому-либо другому классу гомологии, и, следовательно, они образуют базис Ч ₁ . Таким образом, матрица периодов для этого семейства имеет вид

${\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta }\omega \end{pmatrix}}.$

Первую запись этой матрицы мы будем сокращать как A вторую как B. , а

Билинейная форма √ −1 Q положительно определена, поскольку локально мы всегда можем записать ω как f dz , следовательно,

${\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.$

По двойственности Пуанкаре γ и δ соответствуют классам когомологий γ ^* и δ ^* которые вместе являются основой для H ¹ ( Икс ₀ , Z ) . Отсюда следует, что ω можно записать как линейную комбинацию γ ^* и δ ^* . Коэффициенты задаются путем оценки ω относительно двойственных базисных элементов γ и δ:

$\omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.$

Когда мы перепишем положительную определенность Q в этих терминах, мы получим

${\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0$

Поскольку γ ^* и δ ^* целые, они не изменяются при сопряжении. Кроме того, поскольку γ и δ пересекаются в одной точке и одна точка является генератором H ₀ , чашечное произведение γ ^* и δ ^* является фундаментальным классом X ₀ . Следовательно, этот интеграл равен $\operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B$. Интеграл строго положительный, поэтому ни A , ни B не могут быть равны нулю.

После масштабирования ω можно считать, что матрица периодов равна (1 τ) для некоторого комплексного числа τ со строго положительной мнимой частью. Это устраняет двусмысленность, исходящую от действия GL(1, C ) . Тогда действие SL(2, Z ) является обычным действием модулярной группы на верхней полуплоскости. Следовательно, областью периода является сфера Римана . Это обычная параметризация эллиптической кривой в виде решетки.

См. также

• Теория Ходжа
• Якобианская разновидность
• Модульная группа

Ссылки

Расчеты

• Явное вычисление матриц периодов для кривых вида $x^{m}+y^{n}=1$ - включает примеры
• Явный расчет матриц периодов для гиперэллиптических кривых - включает примеры.
• Алгоритм расчета периодов гиперповерхностей

Общий

• Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I, II

Приложения

• Кривые Шимуры внутри локуса гиперэллиптических якобианов третьего рода

Внешние ссылки

• Отображение периодов в Математической энциклопедии