Структура Ходжа

В математике структура Ходжа , названная в честь В.В.Д. Ходжа , — это алгебраическая структура на уровне линейной алгебры , подобная той, которую теория Ходжа дает группам когомологий гладкого и компактного кэлерова многообразия . Структуры Ходжа были обобщены для всех комплексных многообразий (даже если они сингулярны и неполны ) в форме смешанных структур Ходжа , определенных Пьером Делинем (1970). Разновидностью структуры Ходжа является семейство структур Ходжа, параметризованное многообразием, впервые изученное Филлипом Гриффитсом (1968). на смешанные модули Ходжа Все эти концепции были в дальнейшем обобщены Морихико Сайто (1989) над комплексными многообразиями.

Структуры Ходжа

Определение структур Ходжа

Чистая структура Ходжа целого веса n состоит из абелевой группы $H_{\mathbb {Z} }$ и декомпозиция его комплексификации $H$ в прямую сумму комплексных подпространств $H^{p,q}$, где $p+q=n$, со свойством, что комплексно-сопряженное $H^{p,q}$ является $H^{q,p}$:

$H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},$

${\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.$

Эквивалентное определение получается заменой разложения в прямую сумму $H$ фильтрацией Ходжа — конечной фильтрацией убывающей $H$ комплексными подпространствами $F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),$ при условии

$\forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.$

Связь между этими двумя описаниями определяется следующим образом:

$H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},$

$F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.$

Например, если $X$ — компактное кэлерово многообразие , $H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )$ это $n$-я группа когомологий X с целыми коэффициентами, то $H=H^{n}(X,\mathbb {C} )$ это его $n$-я группа когомологий с комплексными коэффициентами и теория Ходжа обеспечивает разложение $H$ в прямую сумму, как указано выше, так что эти данные определяют чистую структуру Ходжа с весом $n$. С другой стороны, спектральная последовательность Ходжа-де Рама дает $H^{n}$ с убывающей фильтрацией $F^{p}H$ как во втором определении.

Для приложений в алгебраической геометрии, а именно классификации комплексных проективных многообразий по их периодам , множество всех структур Ходжа веса $n$ на $H_{\mathbb {Z} }$ слишком велик. Используя билинейные отношения Римана , в данном случае называемые билинейными отношениями Ходжа Римана , его можно существенно упростить. Поляризованная структура Ходжа веса n состоит из структуры Ходжа $(H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})$ и невырожденная целочисленная билинейная форма $Q$ на $H_{\mathbb {Z} }$ ( поляризация ), которая распространяется на $H$ по линейности и удовлетворяющие условиям:

${\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'};\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}$

С точки зрения фильтрации Ходжа из этих условий следует, что

${\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}$

где $C$ является оператором Вейля на $H$, заданный $C=i^{p-q}$ на $H^{p,q}$.

Еще одно определение структуры Ходжа основано на эквивалентности между $\mathbb {Z}$-градуировка в комплексном векторном пространстве и действие группы окружностей U(1) . В этом определении действие мультипликативной группы комплексных чисел $\mathbb {C} ^{*}$ рассматриваемый как двумерный вещественный алгебраический тор, задан на $H$. Это действие должно обладать тем свойством, что действительное число a действует посредством ^н . Подпространство $H^{p,q}$ это подпространство, на котором $z\in \mathbb {C} ^{*}$ действует как умножение на $z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.$

А - структура Ходжа

В теории мотивов становится важным допустить более общие коэффициенты когомологий. Определение структуры Ходжа модифицируется за счет фиксации нётерова подкольца A поля $\mathbb {R}$ действительных чисел , для которых $\mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ это поле. Тогда чистая А -структура Ходжа веса n определяется, как и ранее, с заменой $\mathbb {Z}$ с А. ​Существуют естественные функторы замены базы и ограничения, связывающие A -структуры Ходжа и B -структуры для A, подкольца B .

Смешанные структуры Ходжа

Основная статья: Смешанная структура Ходжа

заметил Жан-Пьер Серр в 1960-х годах на основе гипотез Вейля , что даже сингулярные (возможно, приводимые) и неполные алгебраические многообразия должны допускать «виртуальные числа Бетти». нужно уметь сопоставить Точнее, любому алгебраическому многообразию X многочлен P _X ( t ), называемый его виртуальным полиномом Пуанкаре , со свойствами

• Если X неособый и проективный (или полный) $$P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}$$
• Если Y — замкнутое алгебраическое подмножество X и U = X \ Y $$P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)$$

Существование таких полиномов следовало бы из существования аналога структуры Ходжа в когомологиях общего (сингулярного и неполного) алгебраического многообразия. Новизна состоит в том, что n- я когомология общего многообразия выглядит так, как если бы она содержала кусочки разного веса. Это привело Александра Гротендика к его предположительной теории мотивов и мотивировало поиск расширения теории Ходжа, кульминацией которого стали работы Пьера Делиня . Он ввел понятие смешанной структуры Ходжа, разработал приемы работы с ними, дал их конструкцию (на основе Хиронаки Хейсуке разрешения особенностей ) и связал их с весами на 1-адических когомологиях , доказав последнюю часть формулы Вейля. домыслы .

Пример кривых

Чтобы мотивировать определение, рассмотрим случай приводимой комплексной алгебраической кривой X, состоящей из двух неособых компонент: $X_{1}$ и $X_{2}$, которые трансверсально пересекаются в точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Далее предположим, что компоненты не компактны, но могут быть компактифицированы добавлением точек $P_{1},\dots ,P_{n}$. Первая группа когомологий кривой X (с компактным носителем) двойственна первой группе гомологий, которую легче визуализировать. В этой группе выделяют три типа одноциклов. Во-первых, это элементы $\alpha _{i}$ представляющие собой небольшие петли вокруг проколов $P_{i}$. Тогда есть элементы $\beta _{j}$ которые исходят из первых гомологии компактификации каждого из компонентов. Один цикл в $X_{k}\subset X$ ( $k=1,2$), соответствующий циклу в компактификации этой компоненты, не является каноническим: эти элементы определяются по модулю оболочки $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$. Наконец, по модулю первых двух типов группа порождается комбинаторным циклом $\gamma$ который идет от $Q_{1}$ к $Q_{2}$по пути в одном компоненте $X_{1}$ и возвращается по пути в другом компоненте $X_{2}$. Это говорит о том, что $H_{1}(X)$ допускает возрастающую фильтрацию

$0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),$

чьи последовательные факторы W _n / W _{n −1} происходят из когомологий гладких полных многообразий, следовательно, допускают (чистые) структуры Ходжа, хотя и разных весов. Дополнительные примеры можно найти в «Наивном руководстве по смешанной теории Ходжа».

Определение смешанной структуры Ходжа

Смешанная структура Ходжа на абелевой группе. $H_{\mathbb {Z} }$ состоит из конечной убывающей фильтрации F ^п на комплексном векторном пространстве H (комплексификация $H_{\mathbb {Z} }$), называемая фильтрацией Ходжа , и конечная возрастающая фильтрация Wi _в рациональном векторном пространстве $H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ (полученную путем расширения скаляров до рациональных чисел), называемую весовой фильтрацией , при условии, что n -е соответствующее градуированное частное $H_{\mathbb {Q} }$ относительно весовой фильтрации вместе с фильтрацией, индуцированной F при его комплексификации, является чистой структурой Ходжа веса n для всех целых n . Здесь индуцированная фильтрация на

$\operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C}$

определяется

$F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .$

Можно определить понятие морфизма смешанных структур Ходжа, который должен быть согласован с фильтрациями F и W, и доказать следующее:

Теорема. Смешанные структуры Ходжа образуют абелеву категорию . Ядра и коядра в этой категории совпадают с обычными ядрами и коядрами в категории векторных пространств с индуцированными фильтрациями.

Полные когомологии компактного кэлерова многообразия имеют смешанную структуру Ходжа, где n- е пространство весовой фильтрации Wn _равной представляет собой прямую сумму групп когомологий (с рациональными коэффициентами) степени, меньшей или n . Следовательно, можно думать о классической теории Ходжа в компактном комплексном случае как о двойной градуировке группы комплексных когомологий, которая определяет возрастающую фильтрацию F ^п и убывающую фильтрацию W _n, согласованные определенным образом. В общем, полное пространство когомологий все еще имеет эти две фильтрации, но они больше не возникают в результате прямого разложения суммы. В отношении третьего определения чистой структуры Ходжа можно сказать, что смешанную структуру Ходжа нельзя описать действием группы $\mathbb {C} ^{*}.$ Важным открытием Делиня является то, что в смешанном случае существует более сложная некоммутативная проалгебраическая группа, которую можно использовать для того же эффекта, используя формализм Таннака .

Более того, категория (смешанных) структур Ходжа допускает хорошее понятие тензорного произведения, соответствующего произведению многообразий, а также родственные понятия внутреннего Hom и двойственного объекта , что превращает ее в категорию Таннака . Согласно философии Таннаки-Крейна , эта категория эквивалентна категории конечномерных представлений некоторой группы, которую Делинь, Милн и др. подробно описал, см. Deligne & Milne (1982). и Делинь (1994) . Описание этой группы было переработано в более геометрических терминах Капрановым (2012) . Соответствующий (гораздо более сложный) анализ рациональных чистых поляризуемых структур Ходжа был проведен Патрикисом (2016) .

Смешанная структура Ходжа в когомологиях (теорема Делиня)

Делинь доказал, что n- я группа когомологий произвольного алгебраического многообразия имеет каноническую смешанную структуру Ходжа. Эта структура функториальна и совместима с произведениями многообразий ( изоморфизм Кюннета ) и произведением когомологий. Для полного неособого многообразия X эта структура имеет чистый вес n , и фильтрация Ходжа может быть определена через гиперкогомологии усеченного комплекса де Рама.

Доказательство грубо состоит из двух частей, учитывающих некомпактность и особенности. Обе части существенно используют разрешение сингулярностей (принадлежащее Хиронаке). В единственном случае многообразия заменяются симплициальными схемами, что приводит к более сложной гомологической алгебре, и используется техническое понятие структуры Ходжа на комплексах (в отличие от когомологий).

Используя теорию мотивов , можно уточнить весовую фильтрацию на когомологиях с рациональными коэффициентами до когомологий с целыми коэффициентами.

Примеры

• Структура Тейта -Ходжа $\mathbb {Z} (1)$ представляет собой структуру Ходжа с лежащей в ее основе $\mathbb {Z}$ модуль предоставлен $2\pi i\mathbb {Z}$ (подгруппа $\mathbb {C}$), с $\mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.$ Таким образом, она имеет чистый вес −2 по определению и является единственной одномерной чистой структурой Ходжа веса −2 с точностью до изоморфизмов. В более общем смысле его n- я тензорная степень обозначается как $\mathbb {Z} (n);$ он одномерен и имеет вес −2 n .
• Когомологии компактного кэлерова многообразия имеют структуру Ходжа, а n- я группа когомологий имеет чистый вес n .
• Когомологии комплексного многообразия (возможно, особого или несобственного) имеют смешанную структуру Ходжа. Это было показано для гладких разновидностей Делинем (1971) , Делинем (1971а) и вообще Делинем (1974) .
• Для проективного разнообразия $X$ с нормальными пересекающимися особенностями существует спектральная последовательность с вырожденной E ₂ -страницей, которая вычисляет все свои смешанные структуры Ходжа. На E ₁ -странице есть явные члены с дифференциалом, исходящим из симплициального множества.
• Любое гладкое многообразие X допускает гладкую компактификацию с дополнением нормальным делителем пересечения. Соответствующие логарифмические формы можно использовать для описания смешанной структуры Ходжа на когомологиях X. явного
• Структура Ходжа для гладкой проективной гиперповерхности. $X\subset \mathbb {P} ^{n+1}$ степени $d$ был подробно разработан Гриффитсом в его статье «Интегралы по периоду алгебраических многообразий». Если $f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]$ – многочлен, определяющий гиперповерхность $X$ то градуированное факторкольцо Якобиана $$R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}$$ содержит всю информацию средних когомологий $X$. Он показывает, что $$H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}$$ Например, рассмотрим поверхность K3 , заданную формулой $g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}$, следовательно $d=4$ и $n=2$. Тогда градуированное якобианское кольцо будет $${\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}$$ Тогда изоморфизм примитивных групп когомологий будет выглядеть следующим образом: $$H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}$$ следовательно $${\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}$$ Обратите внимание, что $R(g)_{4}$ векторное пространство, охватываемое $${\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}$$ который является 19-мерным. Есть лишний вектор $H^{1,1}(X)$ заданный классом Лефшеца $[L]$. Согласно теореме Лефшеца о гиперплоскости и двойственности Ходжа остальная часть когомологий находится в $H^{k,k}(X)$ как есть $1$-мерный. Следовательно, ромб Ходжа гласит:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

• Мы также можем использовать предыдущий изоморфизм для проверки рода степени $d$ плоская кривая. С $x^{d}+y^{d}+z^{d}$ является гладкой кривой, а теорема о расслоении Эресмана гарантирует, что любая другая гладкая кривая рода $g$ диффеоморфен, то мы имеем, что род тогда один и тот же. Итак, используя изоморфизм примитивных когомологий с градуированной частью якобиева кольца, мы видим, что $$H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}$$ Это означает, что размерность $${2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$$ по желанию.
• Числа Ходжа для полного пересечения также легко вычислимы: существует комбинаторная формула, найденная Фридрихом Хирцебрухом .

Приложения

Механизм, основанный на понятиях структуры Ходжа и смешанной структуры Ходжа, образует часть все еще во многом гипотетической теории мотивов , предложенной Александром Гротендиком . Арифметическая информация для неособого алгебраического многообразия X , закодированная собственным значением элементов Фробениуса, действующих на его l-адические когомологии , имеет нечто общее со структурой Ходжа, возникающей из X, рассматриваемого как комплексное алгебраическое многообразие. Сергей Гельфанд и Юрий Манин заметили примерно в 1988 году в своих «Методах гомологической алгебры» , что в отличие от симметрий Галуа, действующих на другие группы когомологий, происхождение «симметрий Ходжа» очень загадочно, хотя формально они выражаются через действие довольно несложной группы $R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}$ о когомологиях де Рама. С тех пор загадка усугубилась с открытием и математической формулировкой зеркальной симметрии.

Вариант структуры Ходжа

Разновидность структуры Ходжа ( Гриффитс (1968) , Гриффитс (1968а) , Гриффитс (1970) ) — семейство структур Ходжа.параметризованное комплексным многообразием X . Точнее, вариант структуры Ходжа веса n на комплексном многообразии X состоит из локально постоянного пучка S конечно порожденных абелевых групп на X вместе с убывающей фильтрацией Ходжа F на S ⊗ O _X при соблюдении следующих двух условий:

• Фильтрация индуцирует структуру Ходжа веса n на каждом слое пучка S
• ( Трансверсальность Гриффитса ) Естественная связность на S ⊗ O _X отображает $F^{n}$ в $F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.$

Здесь естественная (плоская) связность на S ⊗ O _X, индуцированная плоской связностью на S и плоской связностью d на O _X , а OX _— пучок голоморфных функций на X , и $\Omega _{X}^{1}$ есть пучок 1-форм на X . Эта естественная плоская связность является связностью Гаусса–Манина ∇ и может быть описана уравнением Пикара–Фукса .

Вариант смешанной структуры Ходжа можно определить аналогичным образом, добавив градуировку или W к S. фильтрацию Типичные примеры можно найти в алгебраических морфизмах. $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$. Например,

${\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}$

имеет волокна

$X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}$

которые представляют собой гладкие плоские кривые рода 10 для $t\neq 0$ и вырождается в особую кривую при $t=0.$ Тогда пучки когомологий

$\mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)$

дать варианты смешанных структур ходжа.

Модули Ходжа

Основная статья: Модуль Mixed Hodge

Модули Ходжа являются обобщением вариации структур Ходжа на комплексном многообразии. Неформально их можно рассматривать как нечто вроде пучков структур Ходжа на многообразии; Точное определение Сайто (1989) является довольно техническим и сложным. Имеются обобщения на смешанные модули Ходжа и на многообразия с особенностями.

Каждому гладкому комплексному многообразию соответствует абелева категория смешанных модулей Ходжа. Формально они ведут себя как категории пучков над многообразиями; например, морфизмы f между многообразиями индуцируют функторы f _∗ , f* , f _! , ж ^! между ( производными категориями ) смешанными модулями Ходжа, подобными модулям для пучков.

См. также

• Смешанная структура Ходжа
• Гипотеза Ходжа
• Якобианский идеал
• Структура Ходжа – Тейта , p -адический аналог структур Ходжа.

Вводные ссылки

• Дебарр, Оливье, Периоды и модули.
• Арапура, Дону, Комплексные алгебраические многообразия и их когомологии (PDF) , стр. 120–123, заархивировано из оригинала (PDF) 4 января 2020 г. (предоставляет инструменты для вычисления чисел Ходжа с использованием пучковых когомологий)
• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Димка, Александру (1992). Особенности и топология гиперповерхностей . Университеттекст. Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 240, 261. doi : 10.1007/978-1-4612-4404-2 . ISBN  0-387-97709-0 . МР   1194180 . S2CID   117095021 . (Приводит формулу и генераторы смешанных чисел Ходжа аффинного слоя Милнора взвешенного однородного многочлена, а также формулу для дополнений к взвешенным однородным многочленам во взвешенном проективном пространстве.)

Обзорные статьи

• Арапура, Дону (2006), Смешанные структуры Ходжа, связанные с геометрическими вариациями (PDF) , arXiv : math/0611837 , Bibcode : 2006math.....11837A

Ссылки

• Делинь, Пьер (1971b), Работы Гриффитса , Сем. Бурбаки Эксп. 376, Лект. конспекты по математике. Том 180, стр. 213–235
• Делинь, Пьер (1971), «Теория Ходжа. I» (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , том. 1, Готье-Вилларс, стр. 425–430, MR   0441965 , заархивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 г. Это создает смешанную структуру Ходжа на когомологиях сложного многообразия.
• Делинь, Пьер (1971a), Теория де Ходж. II. , Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 40, стр. 5–57, MR   0498551. Здесь строится смешанная структура Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1974), Теория де Ходж. III. , Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 44, стр. 5–77, MR   0498552. Здесь строится смешанная структура Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1994), «Структуры Ходжа смешанные réelles», Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991), Часть 1 , Труды симпозиумов по чистой математике , том. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 509–514, MR   1265541.
• Делинь, Пьер ; Милн, Джеймс (1982), «Таннакские категории», Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры Пьера Делиня, Джеймса С. Милна, Артура Огуса, Куанг-йен Ши , Конспекты лекций по математике , том. 900, Springer-Verlag , стр. 1–414 . Аннотированную версию этой статьи можно найти на домашней странице Дж. Милна .
• Гриффитс, Филлип (1968), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях I (Построение и свойства модульных многообразий)», American Journal of Mathematics , 90 (2): 568–626, doi : 10.2307/2373545 , JSTOR   2373545
• Гриффитс, Филлип (1968a), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях II (Локальное исследование отображения периодов)», American Journal of Mathematics , 90 (3): 808–865, doi : 10.2307/2373485 , JSTOR   2373485
• Гриффитс, Филлип (1970), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях III. Некоторые глобальные дифференциально-геометрические свойства отображения периодов». , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 38 : 228–296, doi : 10.1007/BF02684654 , S2CID   11443767
• Капранов, Михаил (2012), «Реальные смешанные структуры Ходжа», Журнал некоммутативной геометрии , 6 (2): 321–342, arXiv : 0802.0215 , doi : 10.4171/jncg/93 , MR   2914868 , S2CID   56416260
• Овсеевич, Александр Иванович (2001) [1994], «Структура Ходжа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Патрикис, Стефан (2016), «Группы Мамфорда-Тейта поляризуемых структур Ходжа», Труды Американского математического общества , 144 (9): 3717–3729, arXiv : 1302.1803 , doi : 10.1090/proc/13040 , MR   3513533 , S2CID   40142493
• Сайто, Морихико (1989), Введение в смешанные модули Ходжа. Материалы конференции по теории Ходжа (Luminy, 1987). , Звездочка № 179–180, с. 145–162, МР   1042805
• Шнелл, Кристиан (2014), Обзор теории смешанных модулей Ходжа Морихико Сайто (PDF) , arXiv : 1405.3096
• Стинбринк, Джозеф Х.М. (2001) [1994], «Вариация структуры Ходжа» , Энциклопедия математики , EMS Press