Нормальная особенность пересечения

В алгебраической геометрии нормальная пересекающаяся особенность — это особенность, подобная объединению координатных гиперплоскостей. Этот термин может сбивать с толку, поскольку нормальные пересекающиеся особенности обычно не являются нормальными схемами (в том смысле, что локальные кольца являются целозамкнутыми).

Нормальные пересекающиеся делители

В алгебраической геометрии нормальные пересекающиеся дивизоры представляют собой класс дивизоров , обобщающих гладкие дивизоры. Интуитивно они пересекаются только поперечным образом.

Пусть A — алгебраическое многообразие и $Z=\bigcup _{i}Z_{i}$ уменьшенный делитель Картье , с $Z_{i}$ его неприводимые компоненты. Тогда Z называется гладким нормальным пересекающимся делителем, если либо

(i) A — кривая или

(ii) все $Z_{i}$ гладкие, и для каждой компоненты $Z_{k}$, $(Z-Z_{k})|_{Z_{k}}$ – гладкий нормальный делитель.

Эквивалентно, говорят, что приведенный дивизор имеет нормальные пересечения, если каждая этальная точка локально выглядит как пересечение координатных гиперплоскостей.

Нормальная особенность пересечения

В алгебраической геометрии особенность нормальных пересечений — это точка алгебраического многообразия , локально изоморфная дивизору нормальных пересечений.

Особенность простого нормального пересечения

В алгебраической геометрии особенность простых нормальных пересечений — это точка алгебраического многообразия , имеющая гладкие неприводимые компоненты , локально изоморфная дивизору нормальных пересечений.

Примеры

• Нормальные точки пересечения в алгебраическом многообразии, называемом зонтиком Уитни, не являются простыми особенностями нормальных пересечений.
• Начало координат в алгебраическом многообразии, определяемом формулой $xy=0$ представляет собой особенность простых нормальных пересечений. Само многообразие, рассматриваемое как подмногообразие двумерной аффинной плоскости, является примером делителя нормальных пересечений.
• Любое многообразие, представляющее собой объединение гладких многообразий, все из которых имеют гладкие пересечения, является многообразием с нормальными пересекающимися особенностями. Например, пусть $f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{3}]$ — неприводимые многочлены, определяющие гладкие гиперповерхности такие, что идеал $(f,g)$ определяет гладкую кривую. Затем ${\text{Proj}}(\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{3}]/(fg))$ — поверхность с нормальными пересекающимися особенностями.

Ссылки

• Роберт Лазарсфельд, Позитивность в алгебраической геометрии , Springer-Verlag, Берлин, 1994.