Логарифмическая форма

В алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий логарифмическая . дифференциальная форма — это дифференциальная форма с полюсами определенного вида Понятие было предложено Пьером Делинем . Короче говоря, логарифмические дифференциалы имеют самые мягкие особенности, необходимые для того, чтобы дать информацию об открытом подмногообразии (дополнении к делителю полюсов). (Эта идея уточняется с помощью нескольких версий теоремы де Рама, обсуждаемых ниже.)

Пусть X — комплексное многообразие, D ⊂ X — дивизор ( сумма различных комплексных подпространств коразмерности 1), а ω — голоморфная p -форма на X − D. приведенный Если и ω, и dω имеют полюс порядка не более 1 вдоль D , то говорят, что ω имеет логарифмический полюс D. вдоль ω также известна как логарифмическая p -форма. p - формы с лог-полюсами вдоль D образуют подпучок мероморфных p -форм на X , обозначаемый

$\Omega _{X}^{p}(\log D).$

Название происходит от того, что в комплексном анализе $d(\log z)=dz/z$; здесь $dz/z$ является типичным примером 1-формы комплексных чисел C с логарифмическим полюсом в начале координат. Дифференциальные формы, такие как $dz/z$ имеют смысл в чисто алгебраическом контексте, где нет аналога функции логарифма .

Логарифмический комплекс де Рама

Пусть X — комплексное многообразие, а — приведенный дивизор на X. D По определению $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ и тот факт, что внешняя производная d удовлетворяет условию d ² = 0, имеется

$d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)$

для каждого открытого подмножества U из X . Таким образом, логарифмические дифференциалы образуют комплекс пучков $(\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)$, известный как логарифмический комплекс де Рама, связанный с дивизором D . Это подкомплекс прямого образа $j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })$, где $j:X-D\rightarrow X$ это включение и $\Omega _{X-D}^{\bullet }$ – комплекс пучков голоморфных форм на X − D .

Особый интерес представляет случай, когда D имеет нормальные пересечения : то есть D локально представляет собой сумму комплексных подмногообразий коразмерности 1, которые пересекаются трансверсально. В этом случае пучок логарифмических дифференциальных форм является подалгеброй $j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })$ порожденный голоморфными дифференциальными формами $\Omega _{X}^{\bullet }$ вместе с 1-формами $df/f$ для голоморфных функций $f$ которые ненулевые вне D . Обратите внимание, что

${\frac {d(fg)}{fg}}={\frac {df}{f}}+{\frac {dg}{g}}.$

Конкретно, если D — дивизор с нормальными пересечениями на комплексном многообразии X , то каждая точка x имеет открытую окрестность U , на которой существуют голоморфные координатные функции $z_{1},\ldots ,z_{n}$ такой, что x является началом координат, а D определяется уравнением $z_{1}\cdots z_{k}=0$ для некоторых $0\leq k\leq n$. На открытом множестве U сечения $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ даны

$\Omega _{X}^{1}(\log D)={\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{k}}{z_{k}}}\oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{k+1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{n}.$

Это описывает голоморфное векторное расслоение $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ на $X$. Тогда для любого $k\geq 0$, векторное расслоение $\Omega _{X}^{k}(\log D)$ – k -я внешняя мощность ,

$\Omega _{X}^{k}(\log D)=\bigwedge ^{k}\Omega _{X}^{1}(\log D).$

Логарифмическое касательное расслоение $TX(-\log D)$ означает двойственное векторное расслоение на $\Omega _{X}^{1}(\log D)$. Явно, раздел $TX(-\log D)$ — голоморфное векторное поле на X , касающееся D во всех гладких точках D .

и

Пусть X — комплексное многообразие, а — дивизор с нормальными пересечениями на X. D Делинь доказал голоморфный аналог теоремы де Рама в терминах логарифмических дифференциалов. А именно,

$H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} ),$

где левая часть обозначает когомологии X с коэффициентами в комплексе пучков, иногда называемые гиперкогомологиями . Это следует из естественного включения комплексов пучков

$\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X-D}^{\bullet }$

являющийся квазиизоморфизмом .

Логарифмические дифференциалы в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии векторное расслоение логарифмических дифференциальных p -форм $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ на гладкой схеме X над полем относительно дивизора $D=\sum D_{j}$ с простыми нормальными пересечениями определяется, как указано выше: сечения $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ являются (алгебраическими) дифференциальными формами ω на $X-D$ такие, что и ω, и d ω имеют полюс порядка не выше единицы вдоль D . Явно, для замкнутой точки x , лежащей в $D_{j}$ для $1\leq j\leq k$ и не в $D_{j}$ для $j>k$, позволять $u_{j}$ — регулярные функции в некоторой открытой окрестности U точки x такие, что $D_{j}$ является замкнутой подсхемой, определяемой $u_{j}=0$ внутри U для $1\leq j\leq k$, а x — замкнутая подсхема U , определенная формулой $u_{1}=\cdots =u_{n}=0$. Тогда основу разделов $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ на U определяется следующим образом:

${du_{1} \over u_{1}},\dots ,{du_{k} \over u_{k}},\,du_{k+1},\dots ,du_{n}.$

Это описывает векторное расслоение $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ на X , а затем $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ — это p -я внешняя степень $\Omega _{X}^{1}(\log D)$.

существует точная последовательность когерентных пучков На X :

$0\to \Omega _{X}^{1}\to \Omega _{X}^{1}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}{\mathcal {O}}_{D_{j}}\to 0,$

где $i_{j}:D_{j}\to X$ есть включение неприводимой компоненты D . Здесь β называется отображением вычетов ; поэтому эта последовательность говорит, что 1-форма с лог-полюсами вдоль D является регулярной (т. е. не имеет полюсов) тогда и только тогда, когда ее вычеты равны нулю. В более общем смысле, для любого p ≥ 0 существует точная последовательность когерентных пучков на X :

$0\to \Omega _{X}^{p}\to \Omega _{X}^{p}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}\Omega _{D_{j}}^{p-1}(\log(D-D_{j}))\to \cdots \to 0,$

где суммы пробегают все неприводимые компоненты заданной размерности пересечений дивизоров D _j . Здесь снова β называется отображением вычетов.

Явно, на открытом подмножестве $X$ который соответствует только одному компоненту $D_{j}$ из $D$, с $D_{j}$ локально определяется $f=0$, остаток логарифмического $p$-форма вдоль $D_{j}$ определяется следующим образом: вычет регулярной p -формы равен нулю, тогда как

${\text{Res}}_{D_{j}}{\bigg (}{\frac {df}{f}}\wedge \alpha {\bigg )}=\alpha |_{D_{j}}$

для любого регулярного $(p-1)$-форма $\alpha$. Некоторые авторы определяют остаток, говоря, что $\alpha \wedge (df/f)$ имеет остаток $\alpha |_{D_{j}}$, которое отличается от данного определения знаком $(-1)^{p-1}$.

Пример остатка

Над комплексными числами остаток дифференциальной формы с логарифмическими полюсами вдоль делителя $D_{j}$ можно рассматривать как результат интегрирования по циклам в $X$ вокруг $D_{j}$. В этом контексте остаток можно назвать остатком Пуанкаре .

Для явного примера: рассмотрим эллиптическую кривую D в комплексной проективной плоскости $\mathbf {P} ^{2}=\{[x,y,z]\}$, определенный в аффинных координатах $z=1$ по уравнению $g(x,y)=y^{2}-f(x)=0,$ где $f(x)=x(x-1)(x-\lambda )$ и $\lambda \neq 0,1$ является комплексным числом. Тогда D — гладкая гиперповерхность степени 3 в $\mathbf {P} ^{2}$ и, в частности, дивизор с простыми нормальными пересечениями. Существует мероморфная 2-форма на $\mathbf {P} ^{2}$ заданный в аффинных координатах

$\omega ={\frac {dx\wedge dy}{g(x,y)}},$

который имеет лог-поля вдоль D . Поскольку канонический расслоение $K_{\mathbf {P} ^{2}}=\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}$ изоморфно линейному расслоению ${\mathcal {O}}(-3)$, делитель полюсов $\omega$ должен иметь степень 3. Значит, делитель полюсов $\omega$ состоит только из D (в частности, $\omega$ не имеет столба вдоль линии $z=0$ на бесконечности). Вычет ω вдоль D задается голоморфной 1-формой

${\text{Res}}_{D}(\omega )=\left.{\frac {dy}{\partial g/\partial x}}\right|_{D}=\left.-{\frac {dx}{\partial g/\partial y}}\right|_{D}=\left.-{\frac {1}{2}}{\frac {dx}{y}}\right|_{D}.$

Отсюда следует, что $dx/y|_{D}$ продолжается до голоморфной формы на проективной кривой D в $\mathbf {P} ^{2}$, эллиптическая кривая.

Карта остатков $H^{0}(\mathbf {P} ^{2},\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}(\log D))\to H^{0}(D,\Omega _{D}^{1})$ рассматриваемый здесь является частью линейной карты $H^{2}(\mathbf {P} ^{2}-D,\mathbf {C} )\to H^{1}(D,\mathbf {C} )$, которую можно назвать «картой Гайсина». Это часть последовательности Гайзина , связанной с любым гладким дивизором D в комплексном многообразии X :

$\cdots \to H^{j-2}(D)\to H^{j}(X)\to H^{j}(X-D)\to H^{j-1}(D)\to \cdots .$

Историческая терминология

XIX века В теории эллиптических функций 1-формы с логарифмическими полюсами иногда назывались интегралами второго рода (и, с досадной непоследовательностью, иногда дифференциалами третьего рода ). Например, дзета-функция Вейерштрасса, связанная с решеткой $\Lambda$ в C назывался «интегралом второго рода», что означало, что его можно было записать

$\zeta (z)={\frac {\sigma '(z)}{\sigma (z)}}.$

Говоря современным языком, отсюда следует, что $\zeta (z)dz=d\sigma /\sigma$ является 1-формой на C с логарифмическими полюсами на $\Lambda$, с $\Lambda$ - нулевое множество сигма-функции Вейерштрасса $\sigma (z).$

для гладких

Над комплексными числами Делинь доказал усиление Александра Гротендика алгебраической теоремы де Рама , связав когерентные когомологии пучков с сингулярными когомологиями . А именно, для любой гладкой схемы X над C с дивизором с простыми нормальными пересечениями D существует естественный изоморфизм

$H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} )$

для каждого целого числа k , где группы слева определяются с использованием топологии Зарисского , а группы справа используют классическую (евклидову) топологию.

Более того, когда X гладкое и собственное над C , результирующая спектральная последовательность

$E_{1}^{pq}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))\Rightarrow H^{p+q}(X-D,\mathbf {C} )$

вырождается в $E_{1}$. Итак, когомологии $X-D$ с комплексными коэффициентами имеет убывающую фильтрацию, фильтрацию Ходжа , связанные с ней градуированные векторные пространства являются алгебраически определенными группами. $H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))$.

Это часть смешанной структуры Ходжа , которую Делинь определил на когомологиях любого комплексного алгебраического многообразия. В частности, существует также весовая фильтрация на рациональных когомологиях $X-D$. В результате фильтрация по $H^{*}(X-D,\mathbf {C} )$ можно построить с помощью логарифмического комплекса де Рама. А именно, определим возрастающую фильтрацию $W_{\bullet }\Omega _{X}^{p}(\log D)$ к

$W_{m}\Omega _{X}^{p}(\log D)={\begin{cases}0&m<0\\\Omega _{X}^{p-m}\cdot \Omega _{X}^{m}(\log D)&0\leq m\leq p\\\Omega _{X}^{p}(\log D)&m\geq p.\end{cases}}$

Результирующая фильтрация по когомологиям является весовой фильтрацией:

$W_{m}H^{k}(X-D,\mathbf {C} )={\text{Im}}(H^{k}(X,W_{m-k}\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\rightarrow H^{k}(X-D,\mathbf {C} )).$

Опираясь на эти результаты, Элен Эсно и Эккарт Фивег обобщили теорему об исчезновении Кодайры–Акизуки–Накано в терминах логарифмических дифференциалов. А именно, пусть X — гладкое комплексное проективное многообразие размерности n , D дивизор с простыми нормальными пересечениями на X , а L — обильное линейное расслоение на X. — Затем

$H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes L)=0$

и

$H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes O_{X}(-D)\otimes L)=0$

для всех $p+q>n$.

См. также

• Формула присоединения
• Гомологии Бореля – Мура
• Дифференциал первого рода
• Структура журнала
• Смешанная структура Ходжа
• Теорема о вычетах
• Остаток Пуанкаре

Ссылки

• Делинь, Пьер (1970), Дифференциальные уравнения в регулярных особых точках , Конспект лекций по математике, том. 163, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/BFb0061194 , ISBN.  3540051902 , МР   0417174 , OCLC   169357
• Делинь, Пьер (1971), «Теория Ходжа II» , Опубл. Математика. IHÉS , 40 : 5–57, doi : 10.1007/BF02684692 , MR   0498551 , S2CID   118967613
• Эно, Элен ; Фивег, Эккарт (1992), Лекции по теоремам об исчезновении , Биркхойзер, doi : 10.1007/978-3-0348-8600-0 , ISBN  978-3-7643-2822-1 , МР   1193913
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978], Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN  0-471-05059-8 , МР   0507725
• Питерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф Х.М. (2008), Смешанные структуры Ходжа , результаты математики и ее границы. 3-я серия / Серия современных обзоров по математике, вып. 52, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-540-77017-6 , ISBN.  978-3-540-77017-6 , МР   2393625

Внешние ссылки

• Айзе Йохан де Йонг , Алгебраические когомологии де Рама .