Формула присоединения

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , формула присоединения связывает каноническое расслоение многообразия и гиперповерхность внутри этого многообразия. Его часто используют для вывода фактов о многообразиях, встроенных в пространства с хорошим поведением, такие как проективное пространство , или для доказательства теорем методом индукции.

Приставка для гладких сортов

Формула гладкого подмногообразия

Пусть X — гладкое алгебраическое многообразие или гладкое комплексное многообразие, а Y — гладкое подмногообразие в X . отображение включения Y → X через i , а идеальный пучок Y Обозначим в X через ${\mathcal {I}}$. Конормальная точная последовательность для i равна

$0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to i^{*}\Omega _{X}\to \Omega _{Y}\to 0,$

где Ω обозначает кокасательное расслоение . Определитель этой точной последовательности является естественным изоморфизмом

$\omega _{Y}=i^{*}\omega _{X}\otimes \operatorname {det} ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee },$

где $\vee$ обозначает двойственное линейному расслоению.

Частный случай гладкого делителя

Предположим, что — гладкий дивизор на X. D Его нормальный расслоение продолжается до линейного расслоения ${\mathcal {O}}(D)$ на X , а идеальный пучок D соответствует его двойственному ${\mathcal {O}}(-D)$. Конормальное расслоение ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ является $i^{*}{\mathcal {O}}(-D)$, что в сочетании с приведенной выше формулой дает

$\omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).$

С точки зрения канонических классов это говорит о том, что

$K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.$

Обе эти две формулы называются формулой присоединения .

Примеры

Гиперповерхности степени d

Учитывая гладкую степень $d$ гиперповерхность $i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}$ мы можем вычислить его канонические и антиканонические расслоения, используя формулу присоединения. Это читается как

$\omega _{X}\cong i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d)$

который изоморфен ${\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d)$.

Полные пересечения

Для плавного полного пересечения $i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}$ степеней $(d_{1},d_{2})$, конормальное расслоение ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ изоморфен ${\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})$, поэтому детерминантное расслоение есть ${\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})$ и его двойник ${\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})$, показывая

$\omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2}).$

Это обобщается таким же образом для всех полных пересечений.

Кривые на квадричной поверхности

$\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ встраивается в $\mathbb {P} ^{3}$ как квадратичная поверхность, заданная точкой схода в нуль квадратичного многочлена, происходящего из неособой симметричной матрицы. Тогда мы можем ограничить наше внимание кривыми на $Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$. Мы можем вычислить коткасательное расслоение $Y$ используя прямую сумму коткасательных расслоений на каждом $\mathbb {P} ^{1}$, так оно и есть ${\mathcal {O}}(-2,0)\oplus {\mathcal {O}}(0,-2)$. Тогда канонический пучок имеет вид ${\mathcal {O}}(-2,-2)$, который можно найти с помощью разложения клиньев прямых сумм векторных расслоений. Затем, используя формулу присоединения, кривая, определяемая точкой схода в нуль сечения, $f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(a,b))$, можно вычислить как

$\omega _{C}\,\cong \,{\mathcal {O}}(-2,-2)\otimes {\mathcal {O}}_{C}(a,b)\,\cong \,{\mathcal {O}}_{C}(a{-}2,b{-}2).$

Остаток Пуанкаре

Смотрите также: остаток Пуанкаре

Карта ограничений $\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}$ называется остатком Пуанкаре . Предположим, что X — комплексное многообразие. Тогда на сечениях вычет Пуанкаре можно выразить следующим образом. Зафиксируем открытое множество U , на котором D задается обращением в нуль функции f . над U Любое сечение ${\mathcal {O}}(D)$ можно записать как s / f , где s голоморфная функция на U. — Пусть η — сечение над U пространства ω _X . Вычет Пуанкаре — это отображение

$\eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0},$

то есть оно формируется путем применения векторного поля ∂/∂ f к форме объема η с последующим умножением на голоморфную функцию s . Если U допускает локальные координаты z ₁ , ..., z _n такие, что для некоторого i , ∂ f /∂ z _i ≠ 0 , то это также можно выразить как

${\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}.$

Другой способ рассмотрения вычета Пуанкаре сначала интерпретирует формулу присоединения как изоморфизм.

$\omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.$

На открытом множестве U, как и ранее, сечение $i^{*}{\mathcal {O}}(-D)$ является произведением голоморфной функции s вида df / f . Вычет Пуанкаре — это отображение, которое принимает клиновое произведение сечения ω _D и сечения $i^{*}{\mathcal {O}}(-D)$.

Инверсия присоединения

Формула присоединения неверна, если конормальная точная последовательность не является короткой точной последовательностью. Однако можно использовать эту неудачу, чтобы связать особенности X с особенностями D . Теоремы такого типа называются обращением присоединения . Они являются важным инструментом в современной бирациональной геометрии.

Канонический делитель плоской кривой

Позволять $C\subset \mathbf {P} ^{2}$ быть гладкой плоской кривой, обрезанной на градус $d$ однородный полином $F(X,Y,Z)$. Мы утверждаем, что канонический дивизор есть $K=(d-3)[C\cap H]$ где $H$ – дивизор гиперплоскости.

Первая работа в аффинной диаграмме $Z\neq 0$. Уравнение становится $f(x,y)=F(x,y,1)=0$ где $x=X/Z$ и $y=Y/Z$.Мы явно вычислим делитель дифференциала

$\omega :={\frac {dx}{\partial f/\partial y}}={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}.$

В любой момент $(x_{0},y_{0})$ или $\partial f/\partial y\neq 0$ так $x-x_{0}$ является локальным параметром или $\partial f/\partial x\neq 0$ так $y-y_{0}$ является локальным параметром.В обоих случаях порядок исчезновения $\omega$ в этой точке ноль. Таким образом, все вклады в делитель ${\text{div}}(\omega )$ находятся на линии в бесконечности, $Z=0$.

Теперь посмотрите на линию ${Z=0}$. Предположим, что $[1,0,0]\not \in C$ так что достаточно посмотреть на график $Y\neq 0$ с координатами $u=1/y$ и $v=x/y$. Уравнение кривой становится

$g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).$

Следовательно

$\partial f/\partial x=y^{d}{\frac {\partial g}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=y^{d-1}{\frac {\partial g}{\partial v}}$

так

$\omega ={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{y^{d-1}\partial g/\partial v}}=u^{d-3}{\frac {dy}{\partial g/\partial v}}$

с порядком исчезновения $\nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)$. Следовательно ${\text{div}}(\omega )=(d-3)[C\cap \{Z=0\}]$ что согласуется с формулой присоединения.

Приложения к кривым

Формулу рода и степени для плоских кривых можно вывести из формулы присоединения. Пусть C ⊂ P ² — гладкая плоская кривая степени d и рода g . Пусть H — класс гиперплоскости в P ² , то есть класс линии. Канонический класс P ² −3 Ч. составляет Следовательно, формула присоединения говорит, что ограничение ( d − 3) H на C равно каноническому классу C . Это ограничение такое же, как произведение пересечений ( d − 3) H ⋅ dH, ограниченное C , и поэтому степень канонического класса C равна d ( d −3) . По –Роха теореме Римана g − 1 = ( d −3) d − g + 1 , из чего следует формула

$g={\tfrac {1}{2}}(d{-}1)(d{-}2).$

Сходным образом, если C — гладкая кривая на квадрике P ¹ × P ¹ с бистепенью ( d ₁ , d ₂ ) (то есть d ₁ , d ₂ — это степени его пересечения со слоем каждой проекции на P ¹ ), поскольку канонический класс P ¹ × P ¹ имеет бистепень (−2,−2), формула присоединения показывает, что канонический класс C является произведением пересечений дивизоров бистепеней ( d ₁ , d ₂ ) и ( d ₁ −2, d ₂ −2). Форма пересечения на P ¹ × P ¹ является $((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}$ по определению бистепени и билинейности, поэтому применение Римана – Роха дает $2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)$ или

$g=(d_{1}{-}1)(d_{2}{-}1)\,=\,d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1.$

Род кривой C , являющейся полным пересечением двух поверхностей D и E в P. ³ также можно вычислить по формуле присоединения. Предположим, что d и e — степени D и E соответственно. Применение формулы присоединения к D показывает, что его канонический делитель равен ( d − 4) H | _D , который является произведением пересечения ( d − 4) H и D . Проделав это снова с E , что возможно, поскольку C является полным пересечением, показывает, что канонический дивизор C является произведением ( d + e − 4) H ⋅ dH ⋅ eH , то есть он имеет степень de ( d + e − 4) . По теореме Римана–Роха это означает, что род C равен

$g=de(d+e-4)/2+1.$

В более общем смысле, если C — полное пересечение n − 1 гиперповерхностей D ₁ , ..., D _{n − 1} степеней d ₁ , ..., d _{n − 1} в P ^н , то индуктивные вычисления показывают, что канонический класс C равен $(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}$. Из теоремы Римана–Роха следует, что род этой кривой равен

$g=1+{\tfrac {1}{2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.$

В низкоразмерной топологии

Пусть S — комплексная поверхность (в частности, 4-мерное многообразие) и пусть $C\to S$ — гладкая (неособая) связная комплексная кривая. Затем

$2g(C)-2=[C]^{2}-c_{1}(S)[C]$

где $g(C)$ это род C , $[C]^{2}$ обозначает самопересечения и $c_{1}(S)[C]$ обозначает спаривание Кронекера $<c_{1}(S),[C]>$.

См. также

• Логарифмическая форма
• Остаток Пуанкаре
• Гипотеза Тома

Ссылки

• Теория пересечения, 2-е издание, Уильям Фултон, Спрингер, ISBN   0-387-98549-2 , пример 3.2.12.
• Принципы алгебраической геометрии , Гриффитс и Харрис, классическая библиотека Уайли, ISBN   0-471-05059-8, стр. 146–147.
• Алгебраическая геометрия , Робин Хартшорн , Springer GTM 52, ISBN   0-387-90244-9 , Предложение II.8.20.