Остаток Пуанкаре

В математике является вычет Пуанкаре обобщением на несколько комплексных переменных и комплексных многообразий теории вычета в полюсе теории комплексных функций . Это лишь одно из множества таких возможных расширений.

Учитывая гиперповерхность $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ определяется степенью $d$ полиномиальный $F$ и рациональное $n$-форма $\omega$ на $\mathbb {P} ^{n}$ со столбом порядка $k>0$ на $X$, то мы можем построить класс когомологий $\operatorname {Res} (\omega )\in H^{n-1}(X;\mathbb {C} )$. Если $n=1$ мы восстанавливаем классическую конструкцию вычета.

Историческое строительство

Когда Пуанкаре впервые ввел вычеты он изучал интегралы периода вида

${\underset {\Gamma }{\iint }}\omega$ для $\Gamma \in H_{2}(\mathbb {P} ^{2}-D)$

где $\omega$ была рациональной дифференциальной формой с полюсами вдоль делителя $D$. Ему удалось привести этот интеграл к интегралу вида

$\int _{\gamma }{\text{Res}}(\omega )$ для $\gamma \in H_{1}(D)$

где $\Gamma =T(\gamma )$, отправка $\gamma$ до границы твердого тела $\varepsilon$-трубка вокруг $\gamma$ на гладком месте $D^{*}$делителя. Если

$\omega ={\frac {q(x,y)dx\wedge dy}{p(x,y)}}$

на аффинной диаграмме, где $p(x,y)$ является неприводимым степени $N$ и $\deg q(x,y)\leq N-3$ (поэтому на бесконечной линии нет полюсов ^{стр. 150} ). Затем он дал формулу для вычисления этого остатка как

${\text{Res}}(\omega )=-{\frac {qdx}{\partial p/\partial y}}={\frac {qdy}{\partial p/\partial x}}$

которые обе являются когомологичными формами.

Строительство

Предварительное определение

Учитывая настройку, описанную во введении, пусть $A_{k}^{p}(X)$ — пространство мероморфных $p$-формы на $\mathbb {P} ^{n}$ которые имеют полюса порядка до $k$. Обратите внимание, что стандартный дифференциал $d$ отправляет

$d:A_{k-1}^{p-1}(X)\to A_{k}^{p}(X)$

Определять

${\mathcal {K}}_{k}(X)={\frac {A_{k}^{p}(X)}{dA_{k-1}^{p-1}(X)}}$

как рациональные группы когомологий де Рама . Они образуют фильтрацию

${\mathcal {K}}_{1}(X)\subset {\mathcal {K}}_{2}(X)\subset \cdots \subset {\mathcal {K}}_{n}(X)=H^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)$

соответствующий фильтрации Ходжа.

Определение остатка

Рассмотрим $(n-1)$-цикл $\gamma \in H_{n-1}(X;\mathbb {C} )$. Берем трубку $T(\gamma )$ вокруг $\gamma$ (который локально изоморфен $\gamma \times S^{1}$), который лежит в дополнении $X$. Поскольку это $n$-цикл, мы можем интегрировать рациональный $n$-форма $\omega$ и получить номер. Если мы напишем это как

$\int _{T(-)}\omega :H_{n-1}(X;\mathbb {C} )\to \mathbb {C}$

тогда мы получим линейное преобразование классов гомологии. Из двойственности гомологий/когомологий следует, что это класс когомологий.

$\operatorname {Res} (\omega )\in H^{n-1}(X;\mathbb {C} )$

который мы называем остатком. Обратите внимание, если мы ограничимся случаем $n=1$, это всего лишь стандартный остаток комплексного анализа (хотя мы расширяем нашу мероморфную $1$-форма для всех $\mathbb {P} ^{1}$. Это определение можно резюмировать как карту

${\text{Res}}:H^{n}(\mathbb {P} ^{n}\setminus X)\to H^{n-1}(X)$

Алгоритм вычисления этого класса

Существует простой рекурсивный метод вычисления остатков, который сводится к классическому случаю $n=1$. Напомним, что остаток a $1$-форма

$\operatorname {Res} \left({\frac {dz}{z}}+a\right)=1$

Если мы рассмотрим диаграмму, содержащую $X$ где это исчезающее место $w$, мы можем написать мероморфный $n$-форма с шестом на $X$ как

${\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho$

Тогда мы можем записать это как

${\frac {1}{(k-1)}}\left({\frac {d\rho }{w^{k-1}}}+d\left({\frac {\rho }{w^{k-1}}}\right)\right)$

Это показывает, что два класса когомологий

$\left[{\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho \right]=\left[{\frac {d\rho }{(k-1)w^{k-1}}}\right]$

равны. Таким образом, мы уменьшили порядок полюса, поэтому мы можем использовать рекурсию, чтобы получить полюс порядка. $1$ и определим остаток $\omega$ как

$\operatorname {Res} \left(\alpha \wedge {\frac {dw}{w}}+\beta \right)=\alpha |_{X}$

Пример

Например, рассмотрим кривую $X\subset \mathbb {P} ^{2}$ определяется полиномом

$F_{t}(x,y,z)=t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz$

Затем мы можем применить предыдущий алгоритм для вычисления остатка

$\omega ={\frac {\Omega }{F_{t}}}={\frac {x\,dy\wedge dz-y\,dx\wedge dz+z\,dx\wedge dy}{t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}}$

С

${\begin{aligned}-z\,dy\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dy-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dy\wedge dz\\y\,dz\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dz-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy\wedge dz\end{aligned}}$

и

$3F_{t}-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}=x{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}$

у нас есть это

$\omega ={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}\wedge {\frac {dF_{t}}{F_{t}}}+{\frac {3\,dy\wedge dz}{\partial F_{t}/\partial x}}$

Это означает, что

$\operatorname {Res} (\omega )={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}$

См. также

• Остаток Гротендика
• Остаток Лере
• Остаток Ботта
• Пучок логарифмических дифференциальных форм
• нормальное пересечение сингулярности
• Формула присоединения # Вычет Пуанкаре
• Структура Ходжа
• Якобианский идеал

Ссылки

Вводный

• Пуанкаре и алгебраическая геометрия
• Бесконечно малые вариации структуры Ходжа и глобальная проблема Торелли . Страница 7 содержит общую формулу расчета с использованием когомологий Чеха.

• Введение в остатки и результаты (PDF)
• Остатки более высоких размерностей — Mathoverflow

Передовой

• Николаеску, Ливиу, остатки и теория Ходжа (PDF)
• Шнелл, Кристиан, О вычислении уравнений Пикара-Фукса (PDF)

Ссылки

• Борис А. Хесин , Роберт Вендт, Геометрия бесконечномерных групп (2008) с. 171
• Вебер, Анджей, Остаток Лере для особых многообразий (PDF)