Остаток (сложный анализ)

В математике , более конкретно сложном анализе , остаток является сложным числом , пропорциональным контурным интегралу мероморфной функции вдоль пути, окружающего одну из его особости . (В целом, остатки могут быть рассчитаны для любой функции $f\colon \mathbb {C} \smallsetminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ Это голоморфно, за исключением дискретных точек { a _k } _k , даже если некоторые из них являются важными особыми особенностями .) Остатки могут быть рассчитаны довольно легко и, как только известны, позволяют определить общие интегралы контура с помощью теоремы остатка .

Определение

Остаток мероморфной функции $f$ в изолированной сингулярности $a$, часто обозначается $\operatorname {Res} (f,a)$, $\operatorname {Res} _{a}(f)$, $\mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)$ или $\mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)$, это уникальное значение $R$ так что $f(z)-R/(z-a)$ Имеет аналитическую антидервику на проколотом диске $0<\vert z-a\vert <\delta$.

В качестве альтернативы, остатки можно рассчитать путем поиска расширений серии Laurent , и можно определить остаток как коэффициент A _-1 серии Laurent.

Концепция может быть использована для обеспечения значений интеграции контуров определенных интегральных задач контура, рассматриваемых в теореме остатка . Согласно теореме остатка , для мероморфной функции $f$, остаток в точке $a_{k}$ дается как:

$\operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.$

где $\gamma$ это положительно ориентированная простая закрытая кривая вокруг $a_{k}$ и не включая какие -либо другие особенности на кривой или внутри.

Определение остатка может быть обобщено на произвольные поверхности Riemann . Предполагать $\omega$ является 1-й формой на поверхности Римана. Позволять $\omega$ быть мероморфным в какой -то момент $x$, чтобы мы могли написать $\omega$ в местных координатах как $f(z)\;dz$Полем Затем остаток $\omega$ в $x$ определяется как остаток $f(z)$ в точке, соответствующем $x$.

Контурная интеграция

См. Также: Интеграция контура

Контурная интеграция монома

Вычисление остатка монома

$\oint _{C}z^{k}\,dz$

Упрощает большинство вычислений остатков. Поскольку интегральные вычисления пути являются инвариантными гомотопии , мы позволим $C$ быть кругом с радиусом $1$ иду с часовой стрелкой. Затем, используя изменение координат $z\to e^{i\theta }$ Мы находим это

$dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta$

Следовательно, наш интеграл теперь читается как

$\oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Таким образом, остаток $z^{k}$ 1, если целое число $k=-1$ и 0 в противном случае.

Обобщение в серии Laurent

Если функция выражается как расширение серии Laurent, вокруг C следующим образом: $$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.$$Затем остаток в точке C рассчитывается как: $$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}$$Используя результаты контурного интеграла монома для интеграла контура против часовой стрелки. $\gamma$ вокруг точки c. Следовательно, если вокруг C существует представление функции серии Laurent , то его остаток вокруг C известен под коэффициентом $(z-c)^{-1}$ срок.

Применение в теореме остатка

Основная статья: теорема остатка

Для мероморфной функции $f$, с конечным набором особости в пределах положительно ориентированной простой закрытой кривой $C$ который не проходит через какую -либо особенность, ценность контурного интеграла дается в соответствии с теоремой остатка , как: $$\oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$$где $\operatorname {I} (C,a_{k})$, извилистый номер, $1$ если $a_{k}$ находится в интерьере $C$ и $0$ Если нет, упростить: $$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})$$где $a_{k}$ все ли изолированные особенности в контуре $C$.

Расчет остатков

Предположим, что проколотый диск d = { z : 0 <| z - c | < R } в сложной плоскости дается, и F - голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на d . Остаток Res ( , C ) F при C является коэффициентом a _-1 ( c z - ) F ⁻¹ В серии Laurent расширение F вокруг c . Существуют различные методы для расчета этого значения, и выбор того, какой метод использовать зависит от рассматриваемой функции и от природы сингулярности.

Согласно теореме остатка , у нас есть:

$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

где γ прослеживает круг вокруг С в противодействии и не проходит и не содержит другие особенности внутри него. Мы можем выбрать путь γ как круг радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть таким маленьким, как мы желаем, это может быть сделано, чтобы содержать только сингулярность С из -за природы изолированных сингулярностей. Это может быть использовано для расчета в тех случаях, когда интеграл может быть рассчитан напрямую, но обычно это тот случай, когда остатки используются для упрощения расчета интегралов, а не наоборот.

Съемные особенности

Если функция F может быть продолжена до голоморфной функции на весь диск $|y-c|<R$, тогда res ( f , c ) = 0. Конверс обычно не верно.

Простые столбы

Если C - простой полюс F , остатки F дают:

$\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$

Если этого предела не существует, то F вместо этого имеет важную сингулярность в c . Если предел равен 0, то F является либо аналитическим, либо имеет там съемную сингулярность. Если предел равен бесконечности, то порядок полюса выше 1.

Может случиться так, что функция F может быть выражена как коэффициент двух функций, $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$, где G и H являются голоморфными функциями в районе C правило L' , с H ( C ) = 0 и H ' ( C ) ≠ 0. В таком случае Hôpital может использоваться для упрощения вышеуказанной формулы до:

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}$

Ограничить формулу для полюсов высшего порядка

В целом, если C - полюс порядка n , то остаток F вокруг z = c можно найти по формуле:

$\operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).$

Эта формула может быть очень полезна при определении остатков для полюсов низкого порядка. Для полюсов высшего порядка расчеты могут стать неуправляемыми, а расширение серии обычно проще. Для важнейших особости такого простой формулы не существует, и остатки обычно должны быть взяты непосредственно из серийных расширений.

Остаток в бесконечности

В общем, остаток в бесконечности определяется как:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).$

Если выполнено следующее условие:

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,$

Затем остаток в бесконечности можно рассчитать с помощью следующей формулы:

$\operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).$

Если вместо этого

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,$

тогда остаток в бесконечности

$\operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).$

Для функций Meromorphic на всей сложной плоскости с конечным количеством сингулярностей, сумма остатков в (обязательно) изолированных сингулярности плюс остатки в бесконечности равна нулю, что дает::

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).$

Серии методов

Если детали или вся функция могут быть расширены в серию Тейлора или серии Laurent , что может быть возможно, если части или вся функция имеет стандартное расширение ряда, то расчет остатка значительно проще, чем другими методами. Остаток функции просто определяется коэффициентом $(z-c)^{-1}$ В серии Лоурент расширение функции.

Примеры

Остаток из серии расширения

Пример 1

В качестве примера рассмотрим интеграл контура

$\oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz$

где C - это простая закрытая кривая около 0.

Давайте оценим этот интеграл, используя стандартный результат конвергенции в отношении интеграции по ряду. Мы можем заменить серию Тейлора на $e^{z}$ в интеграцию. Интеграл тогда становится

$\oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

Давайте принесем 1/ Z ⁵ фактор в серию. Контурный интеграл сериала затем пишет

${\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}$

Поскольку серия равномерно сходится к поддержке пути интеграции, нам разрешено обмениваться интеграцией и суммированием. Серия интегралов Path затем падает на гораздо более простую форму из -за предыдущих вычислений. Итак, теперь интеграл вокруг C любого другого термина не в форме CZ ⁻¹ равен нулю, а интеграл сводится к

$\oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.$

Значение 1/4! остаток ​ E ​ ^С / С ⁵ при z = 0 и обозначается

$\operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.$

Пример 2

В качестве второго примера рассмотрите возможность вычисления остатков в сингулярности функции $$f(z)={\sin z \over z^{2}-z}$$который может использоваться для расчета определенных контурных интегралов. Эта функция, по -видимому, обладает особой при z = 0, но если кто -то фактор определяет знаменатель и, таким образом, записывает функцию как $$f(z)={\sin z \over z(z-1)}$$Очевидно, что сингулярность при z = 0 является съемной сингулярностью , а затем остаток при z = 0, следовательно, 0. Единственная другая особенность - это z = 1. Напомним выражение для серии Тейлора для функции g ( z ) о z = a : $$g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots$$Итак, для G ( z ) = sin z и a = 1 у нас $$\sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .$$и для g ( z ) = 1/ z и a = 1 у нас $${\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .$$Умножение этих двух серий и введение 1/( z - 1) дает нам $${\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .$$Таким образом, остаток f ( z ) при z = 1 является грехом 1.

Пример 3

Следующий пример показывает, что, вычисляя остатки по расширению серии, главная роль играет теорема инверсии Лагранжа . Позволять $$u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}$$быть целой функцией и пусть $$v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}$$с положительным радиусом сходимости и с ${\textstyle v_{1}\neq 0}$Полем Так ${\textstyle v(z)}$ имеет местный обратный ${\textstyle V(z)}$ в 0, и ${\textstyle u(1/V(z))}$ Мероморфен в 0. Тогда у нас есть: $$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.$$Действительно, $$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}$$Потому что первая серия сходится равномерно на любом небольшом круге вокруг 0. Использование теоремы инверсии Лагранжа $$\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},$$И мы получаем вышеупомянутое выражение. Например, если $u(z)=z+z^{2}$ а также $v(z)=z+z^{2}$, затем $$V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}$$и $$u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.$$Первый термин вносит вклад 1 в остаток, а второй термин вносит вклад 2, поскольку он асимптотически $1/z^{2}+2/z$.

Обратите внимание, что с соответствующими более сильными симметричными предположениями на ${\textstyle u(z)}$ и ${\textstyle v(z)}$, это также следует $$\operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),$$где ${\textstyle U(z)}$ местный обратный ${\textstyle u(z)}$ в 0.

Смотрите также

• Теорема остатка связывает контурный интеграл вокруг некоторых полюсов функции с суммой их остатков
• Интегральная формула Коши
• Интегральная теорема Коши
• Теорема Миттаг-Леффлер
• Методы интеграции контура
• Теорема Морры
• Частичные фракции в сложном анализе

Ссылки

• Ahlfors, Lars (1979). Сложный анализ . МакГроу Хилл.
• Марсден, Джерролд Э.; Хоффман, Майкл Дж. (1998). Основной сложный анализ (3 -е изд.). WH Freeman. ISBN  978-0-7167-2877-1 .

Внешние ссылки

• «Остаток аналитической функции» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• Вейсштейн, Эрик У. "Сложный остаток" . MathWorld .