Остаток на бесконечности

В комплексном анализе , разделе математики, вычет на бесконечности — это вычет голоморфной функции на кольце, имеющем бесконечный внешний радиус. Бесконечность ​ $\infty$ это точка, добавленная в локальное пространство $\mathbb {C}$ чтобы сделать его компактным (в данном случае это одноточечная компактификация ). Это пространство обозначало ${\hat {\mathbb {C} }}$ изоморфна ​ сфере Римана . Вычет на бесконечности можно использовать для вычисления некоторых интегралов .

Определение

Дана голоморфная функция f на кольце $A(0,R,\infty )$ (с центром 0, с внутренним радиусом $R$ и бесконечный внешний радиус), вычет на бесконечности функции f можно определить через обычный вычет следующим образом:

$\operatorname {Res} (f,\infty )=-\operatorname {Res} \left({1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$

Таким образом, можно перенести изучение $f(z)$ в бесконечности к изучению $f(1/z)$ в начале.

Обратите внимание, что $\forall r>R$, у нас есть

$\operatorname {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)\,dz$

Поскольку для голоморфных функций сумма вычетов в изолированных особенностях плюс вычет на бесконечности равна нулю, ее можно выразить как:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),a_{k}\right).$

Мотивация

Можно было бы сначала догадаться, что определение остатка $f(z)$ на бесконечности должен быть просто остаток $f(1/z)$ в $z=0$. Однако причина, по которой мы рассматриваем вместо этого $-{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)$ заключается в том, что берутся вычеты не функций , а дифференциальных форм , т. е. вычетов $f(z)dz$ на бесконечности — остаток $f\left({\frac {1}{z}}\right)d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)dz$ в $z=0$.

См. также

• сфера Римана
• Алгебраическое разнообразие
• Теорема о вычетах

Ссылки

• Мюррей Р. Шпигель, Переменные комплексы , пена, ISBN   2-7042-0020-3
• Анри Картан , Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных , Герман, 1961.
• Марк Дж. Абловиц и Атанассиос С. Фокас, Комплексные переменные: введение и применение (второе издание), 2003 г., ISBN   978-0-521-53429-1 , P211-212.