Геометрическая теория функций

Геометрическая теория функций — это изучение геометрических свойств аналитических функций . Фундаментальным результатом теории является теорема Римана об отображении .

Темы

Ниже приведены некоторые из наиболее важных тем геометрической теории функций:

Конформные карты

Основная статья: Конформная карта

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформным отображением f (внизу). Видно, что f отображает пары линий, пересекающихся под углом 90°, в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90°.

Конформное отображение — это функция , локально сохраняющая углы . В наиболее распространенном случае функция имеет область определения и диапазон значений в комплексной плоскости .

Более формально, карта,

$f:U\rightarrow V\qquad$ с $U,V\subset \mathbb {C} ^{n}$

называется конформным (или сохраняющим угол ) в точке $u_{0}$ если он сохраняет ориентированные углы между кривыми через $u_{0}$ относительно их ориентации (т.е. не только величины угла). Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну .

Квазиконформные карты

Основная статья: Квазиконформное отображение

В математическом комплексном анализе квазиконформное отображение , введенное Гречем (1928) и названное Альфорсом (1935) , представляет собой гомеоморфизм между плоскими областями, который в первом порядке переводит малые круги в малые эллипсы с ограниченным эксцентриситетом .

Интуитивно пусть f : D → D ′ — ориентацию сохраняющий гомеоморфизм между открытыми множествами на плоскости. Если f , непрерывно дифференцируемо то оно K -квазиконформно, если производная f ограниченным K. в каждой точке отображает окружности в эллипсы с эксцентриситетом ,

Если K равно 0, то функция конформна .

Аналитическое продолжение

Аналитическое продолжение натурального логарифма (мнимая часть)

Аналитическое продолжение — это метод расширения области определения заданной аналитической функции . Аналитическое продолжение часто позволяет определить дальнейшие значения функции, например, в новой области, где представление бесконечной серии , в терминах которого она первоначально определена, становится расходящимся.

Однако метод поэтапного продолжения может столкнуться с трудностями. Они могут иметь по существу топологическую природу, что приводит к несогласованности (определению более одного значения). Альтернативно они могут быть связаны с наличием математических особенностей . Случай нескольких комплексных переменных совершенно иной, поскольку тогда особенности не могут быть изолированными точками, и его исследование было основной причиной развития пучковых когомологий .

Геометрические свойства многочленов и алгебраических функций

Темы в этой области включают римановы поверхности для алгебраических функций и нули для алгебраических функций.

Риманова поверхность

Основная статья: Риманова поверхность

Риманова поверхность , впервые изученная Бернхардом Риманом и названная в его честь , представляет собой одномерное комплексное многообразие . Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости : локально вблизи каждой точки они выглядят как участки комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут иметь вид сферы , тора или нескольких склеенных между собой листов.

Главное достоинство римановых поверхностей состоит в том, что голоморфные функции между ними могут быть определены . Римановы поверхности в настоящее время считаются естественным местом для изучения глобального поведения этих функций, особенно многозначных функций, таких как квадратный корень и другие алгебраические функции или логарифм .

Экстремальные задачи

Темы в этой области включают «Принцип максимума; лемма Шварца, принцип Линделефа, аналоги и обобщения».

Одновалентные и многовалентные функции

Основная статья: Одновалентная функция

Голоморфная функция на открытом подмножестве комплексной плоскости называется однолистной, если она инъективна .

Можно доказать, что если $G$ и $\Omega$ два открытых связных множества в комплексной плоскости, а

$f:G\to \Omega$

является однолистной функцией такой, что $f(G)=\Omega$ (то есть, $f$ сюръективен ) , то производная от $f$ никогда не равен нулю, $f$ является обратимым , и его обратная $f^{-1}$ также голоморфен. Более того, по правилу цепочки

Альтернативными широко используемыми терминами являются schlicht (по-немецки «простой», «простой») и «простой» . Замечательным фактом, фундаментальным для теории однолистных функций, является то, что однолистность по существу сохраняется при равномерной сходимости.

Важные

Римана

Позволять $z_{0}$ быть точкой в ​​односвязной области $D_{1}(D_{1}\neq \mathbb {C} )$ и $D_{1}$ иметь не менее двух граничных точек. Тогда существует единственная аналитическая функция $w=f(z)$ картографирование $D_{1}$ биективно в открытый единичный диск $|w|<1$ такой, что $f(z_{0})=0$ и $f'(z_{0})>0$.

Хотя теорема Римана об отображении демонстрирует существование отображающей функции, на самом деле она не демонстрирует эту функцию. Пример приведен ниже.

На приведенном выше рисунке рассмотрим $D_{1}$ и $D_{2}$ как две односвязные области, отличные от $\mathbb {C}$. Теорема Римана об отображении обеспечивает существование $w=f(z)$ картографирование $D_{1}$ на единичный диск и существование $w=g(z)$ картографирование $D_{2}$ на диск устройства. Таким образом $g^{-1}f$ представляет собой взаимно однозначное отображение $D_{1}$ на $D_{2}$.Если мы сможем это показать $g^{-1}$и, следовательно, композиция аналитична, то мы имеем конформное отображение $D_{1}$ на $D_{2}$, доказывая, что «любые две односвязные области, отличные от всей плоскости $\mathbb {C}$ могут быть конформно отображены друг на друга».

Шварца

Основная статья: лемма Шварца

Лемма Шварца , названная в честь Германа Амандуса Шварца , является результатом комплексного анализа голоморфных функций из открытого единичного круга в себя. Лемма менее известна, чем более сильные теоремы, такие как теорема об отображении Римана , которую она помогает доказать. Однако это один из простейших результатов, отражающих жесткость голоморфных функций.

Заявление

Лемма Шварца. Пусть D = { z : | г | < 1} — открытый единичный диск в комплексной плоскости C с центром в начале координат , и пусть f : D → D — голоморфное отображение такое, что f (0) = 0.

Тогда | ж ( z )| ≤ | г | для всех z в D и | е' (0)| ≤ 1.

Более того, если | ж ( z )| = | г | для некоторого ненулевого z или если | е' (0)| = 1, то f ( z ) = az для некоторого a из C с | а | (обязательно) равен 1.

Принцип максимума

Основная статья: Принцип максимума

Принцип максимума — свойство решений некоторых уравнений в производных эллиптического частных и параболического типов. Грубо говоря, это говорит о том, что максимум функции в области находится на границе этой области. В частности, сильный принцип максимума гласит, что если функция достигает максимума внутри области, функция равномерно является константой. Слабый принцип максимума гласит , что максимум функции находится на границе, но может повторяться и внутри. Существуют и другие, еще более слабые принципы максимума, которые просто ограничивают функцию с точки зрения ее максимума на границе.

Формула Римана-Гурвица

Основная статья: формула Римана-Гурвица

формула Римана-Гурвица , названная в честь Бернхарда Римана и Адольфа Гурвица , описывает взаимосвязь эйлеровых характеристик двух поверхностей , когда одна является разветвленным покрытием другой. Следовательно, в данном случае оно связывает ветвление с алгебраической топологией . Это прототип результата для многих других, и он часто применяется в теории римановых поверхностей (которая является его источником) и алгебраических кривых .

Заявление

Для ориентируемой поверхности S эйлерова характеристика χ( S ) равна

$2-2g\,$

где g — род ( количество ручек ), поскольку числа Бетти равны 1, 2 g , 1, 0, 0, ... . В случае ( неразветвленного ) покрытия поверхностей

$\pi :S'\to S\,$

которое является сюръективным и имеет степень N , мы должны иметь формулу

$\chi (S')=N\cdot \chi (S).\,$

Это потому, что каждый симплекс , на что мы имеем право , поскольку S должен быть покрыт ровно N в S' — по крайней мере, если мы используем достаточно точную триангуляцию S эйлерова характеристика является топологическим инвариантом . Формула Римана-Гурвица добавляет поправку, позволяющую учесть разветвление ( листы собираются вместе ).

Предположим теперь, что S и S′ — римановы поверхности и что отображение π комплексно-аналитическое . Отображение π называется разветвленным в точке P в S ′, если существуют аналитические координаты вблизи P и π( P ) такие, что π принимает вид π( z ) = z ^н и n > 1. Эквивалентный способ думать об этом состоит в том, что существует небольшая окрестность U точки P такая, что π( P ) имеет ровно один прообраз в U , но образ любой другой точки в U имеет ровно n прообразов в У. ​Число n называется индексом ветвления в точке P и также обозначается e _P . При вычислении эйлеровой характеристики S ′ мы замечаем потерю e _P − 1 копий P выше π( P ) (то есть в прообразе π( P )). Теперь давайте выберем триангуляции S и S ' с вершинами в точках ветвления и ветвления соответственно и используем их для вычисления эйлеровых характеристик. Тогда S' будет иметь одинаковое количество d -мерных граней для d, отличного от нуля, но меньшее, чем ожидалось, число вершин. Следовательно, находим «исправленную» формулу

$\chi (S')=N\cdot \chi (S)-\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)$

(все P, кроме конечного числа, имеют e _P = 1, так что это вполне безопасно). Эта формула известна как формула Римана-Гурвица , а также как теорема Гурвица .

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1935), «К теории поверхностей суперпозиции», Acta Mathematica (на немецком языке), 65 (1): 157–194, doi : 10.1007/BF02420945 , ISSN   0001-5962 , JFM   61.0365.03 , Zbl   0012.17204 .
• Гретч, Герберт (1928), «О некоторых экстремальных проблемах конформного отображения. I, II.», сообщает о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математико-физический класс (на немецком языке), 80 : 367–376, 497–502, JFM   54.0378.01 .
• Гурвиц-Куран, преподаватель общей теории функций , 1922 (4-е изд., приложение Х. Рёрля, т. 3, Основные учения математических наук . Springer, 1964.)
• Кранц, Стивен (2006). Геометрическая теория функций: исследования в области комплексного анализа . Спрингер. ISBN  0-8176-4339-7 .
• Бульбоакэ, Т.; Чо, штат Невада; Канас, САР (2012 г.). «Новые тенденции в геометрической теории функций, 2011 г.» (PDF) . Международный журнал математики и математических наук . 2012 : 1–2. дои : 10.1155/2012/976374 .
• Альфорс, Ларс (2010). Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций . Издательство AMS Челси. ISBN  978-0821852705 .