Разветвление (математика)

В геометрии различающиеся ветвление — это «разветвление», то есть квадратного корня функция для комплексных чисел имеет две ветви, знаком. Этот термин также используется с противоположной точки зрения (ветви собираются вместе), например, когда покрывающее отображение вырождается в точке пространства с некоторым схлопыванием слоев отображения.

В комплексном анализе

В комплексном анализе базовую модель можно принять как z → z ^н отображение в комплексной плоскости вблизи z = 0. Это стандартная локальная картина в теории римановых поверхностей ветвления порядка n . Это происходит, например, в формуле Римана-Гурвица для влияния отображений на род .

В алгебраической топологии

В покрывающем отображении характеристика Эйлера – Пуанкаре должна быть умножена на количество листов; поэтому разветвление может быть обнаружено путем некоторого исключения из него. г → г ^н отображение показывает это как локальный шаблон: если мы исключим 0, глядя на 0 < | г | < 1, скажем, мы имеем (с гомотопии точки зрения ) круг , отображенный в себя n -й степенью отображения (характеристика Эйлера–Пуанкаре 0), но для всего круга характеристика Эйлера–Пуанкаре равна 1, n – 1. это «потерянные» точки, когда n листов собираются вместе в точке z = 0.

В геометрических терминах ветвление — это то, что происходит в коразмерности два (как в теории узлов и монодромии ); поскольку вещественная коразмерность два является комплексной коразмерностью один, локальный комплексный пример устанавливает образец для многомерных комплексных многообразий . В комплексном анализе листы не могут просто перегибаться по линии (одна переменная) или иметь коразмерность в одно подпространство в общем случае. Набор ветвления (локус ветвления в основании, набор двойной точки выше) будет на два действительных измерения ниже, чем окружающее многообразие , и поэтому не будет разделять его на две «стороны» локально — будут пути, которые огибают локус ветвления. , как в примере. В алгебраической геометрии над любым полем по аналогии это происходит и в алгебраической коразмерности один.

В алгебраической теории чисел

В алгебраических расширениях рациональных чисел

Ветвление в теории алгебраических чисел означает факторизацию простых идеалов в расширении, чтобы получить несколько повторяющихся простых идеальных факторов. А именно, пусть ${\mathcal {O}}_{K}$ — кольцо целых чисел поля алгебраических чисел $K$ , и ${\mathfrak {p}}$ главный идеал ${\mathcal {O}}_{K}$ . Для расширения поля $L/K$ мы можем рассмотретькольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{L}$ (что является интегральным замыканием ${\mathcal {O}}_{K}$ в $L$ ), и идеал ${\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$ из ${\mathcal {O}}_{L}$ . Этот идеал может быть простым, а может и не быть, но для конечных $[L:K]$ , он имеет факторизацию на простые идеалы:

{\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}

где ${\mathfrak {p}}_{i}$ являются отдельными первичными идеалами ${\mathcal {O}}_{L}$ . Затем ${\mathfrak {p}}$ говорят, что он разветвляется в $L$ если $e_{i}>1$ для некоторых $i$ ; в противном случае это неразветвленный . Другими словами, ${\mathfrak {p}}$ разветвляется в $L$ если индекс ветвления $e_{i}$ больше единицы для некоторых ${\mathfrak {p}}_{i}$ . Эквивалентное условие состоит в том, что ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$ имеет ненулевой нильпотентный элемент: он не является произведением конечных полей . На аналогию со случаем римановой поверхности уже указывали Рихард Дедекинд и Генрих М. Вебер в девятнадцатом веке.

Ветвление закодировано в $K$ относительным дискриминантом и в $L$ относительный другой . Первое является идеалом ${\mathcal {O}}_{K}$ и делится на ${\mathfrak {p}}$ тогда и только тогда, когда некоторый идеал ${\mathfrak {p}}_{i}$ из ${\mathcal {O}}_{L}$ разделяющий ${\mathfrak {p}}$ является разветвленным. Последний является идеалом ${\mathcal {O}}_{L}$ и делится на простой идеал ${\mathfrak {p}}_{i}$ из ${\mathcal {O}}_{L}$ именно тогда, когда ${\mathfrak {p}}_{i}$ является разветвленным.

Ветвление является ручным, когда индексы ветвления $e_{i}$ все относительно просты с характеристикой вычета p числа ${\mathfrak {p}}$ , иначе дикий . Это условие важно в теории модулей Галуа . Конечное вообще этальное расширение $B/A$ дедекиндовых доменов является ручным тогда и только тогда, когда след $\operatorname {Tr} :B\to A$ является сюръективным.

На местных полях

Более детальный анализ ветвления в числовых полях можно провести с помощью расширений p-адических чисел , поскольку это локальный вопрос. В этом случае количественная мера ветвления определяется для расширений Галуа , в основном путем опроса, насколько далеко группа Галуа перемещает элементы поля относительно метрики. последовательность групп ветвления Определена , материализующая (помимо прочего) дикое (неручное) ветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.

По алгебре

В теории теория оценок множество расширений оценки оценки поля K K. до расширения поля изучает ветвления Это обобщает понятия теории алгебраических чисел, локальных полей и дедекиндовых областей.

В алгебраической геометрии

существует и Соответствующее понятие неразветвленного морфизма в алгебраической геометрии. Он служит для определения этальных морфизмов .

Позволять $f:X\to Y$ быть морфизмом схем. Носитель квазикогерентного пучка $\Omega _{X/Y}$ называется ветвления локусом $f$ и изображение локуса ветвления, $f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)$ , называется ветвления локусом $f$ . Если $\Omega _{X/Y}=0$ мы говорим это $f$ и формально неразветвлен если $f$ также имеет локально конечное представление, мы говорим, что $f$ неразветвлен Вакиль (см. 2017 ).

См. также

Ссылки

Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Вакил, Рави (18 ноября 2017 г.). Восходящее море: Основы алгебраической геометрии (PDF) . Проверено 5 июня 2019 г.

Внешние ссылки

«Разделение и ветвление в числовых полях и расширениях Галуа» . ПланетаМатематика .