Другой идеал

В теории алгебраических чисел другой идеал (иногда просто другой ) определяется для измерения (возможного) отсутствия двойственности в кольце целых чисел поля алгебраических чисел K по отношению к полю следа . Затем он кодирует данные ветвления для простых идеалов кольца целых чисел. Он был введен Ричардом Дедекиндом в 1882 году. ^[1]^[2]

Определение

Если OK _— кольцо целых чисел K , а tr обозначает след поля от K до поля рациональных чисел Q , то

x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}

является формой на OK _{целой квадратичной} . Его дискриминант как квадратичная форма не обязательно должен быть +1 (на самом деле это происходит только для случая K = Q ). Определите обратное разное или кодифференцное ^[3]^[4] или дополнительный модуль Дедекинда ^[5] множество I x OK ∈ K что tr( xy ) является целым числом для всех из такое , , _{поскольку} то I является дробным идеалом K , содержащим OK _y . По определению, другой идеал δ _K — это обратный дробный идеал I ⁻¹ идеал ОК _{: это} .

Идеальная норма δK _, равна Z порожденному дискриминантом DK _K. поля полевым идеалу

Разница элемента α из K с минимальным многочленом f определяется как δ(α) = f ′(α), если α порождает поле K (и ноль в противном случае): ^[6] мы можем написать

\delta (\alpha )=\prod \left({\alpha -\alpha ^{(i)}}\right)\

где α ^{( я )} перебрать все корни характеристического многочлена α, кроме самого α. ^[7] Другой идеал порождается дифференциалами всех целых чисел α OK _из . ^[6]^[8] Это оригинальное определение Дедекинда. ^[9]

Дифференциал также определен для конечной степени расширения локальных полей . Он играет основную роль в двойственности Понтрягина для p-адических полей .

Относительно разные

Относительная разница δ _{L / K} определяется аналогичным образом для расширения числовых полей L / K . Относительная норма относительной разницы тогда равна относительному дискриминанту Δ _{L / K} . ^[10] В башне полей L / K / F относительные различия связаны соотношением δ _{L / F} = δ _{L / K} δ _{K / F} . ^[5]^[11]

Относительная разница равна аннулятору относительного Кэлера. дифференциального модуля $\Omega _{O_{L}/O_{K}}^{1}$ : ^[10]^[12]

$\delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{ for all }}y\in O_{L}\}.$

Идеальный класс относительного различного δ _{/ K всегда} является квадратом в группе классов OL , _L кольце целых L. чисел ^[13] Поскольку относительный дискриминант является нормой относительного различия, он представляет собой квадрат класса в группе OK _{классов} : ^[14] это квадрат класса Стейница для OL _{действительно} как OK _, -модуля. ^[15]

Разветвление

Относительное различие кодирует данные ветвления расширения поля L / K . Простой идеал p группы K разветвляется в L, если факторизация p в L содержит простое число L в степени выше 1: это происходит тогда и только тогда, когда p делит относительный дискриминант Δ _{L / K} . Точнее, если

р = Р ₁^{и (1)} ... П _к^{е ( к )}

является факторизацией p на простые идеалы L , то Pi _делит относительную разность δ _{L / K} тогда и только тогда, когда Pi _{разветвлен} , то есть тогда и только тогда, когда индекс ветвления e ( i ) больше 1. ^[11]^[16] Точная экспонента, на которую разветвленное простое число P называется дифференциальным показателем P делит δ , и равна e - 1, если P : корректно разветвлено то есть, когда P не делит e . ^[17] В случае, когда P дифференциальный сильно разветвлен, показатель лежит в диапазоне от e до e + e ν _P (e) − 1. ^[16]^[18]^[19] Дифференциальный показатель степени можно вычислить по порядкам высших групп ветвления расширений Галуа: ^[20] $\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).$

Локальные вычисления

Иное может быть определено для расширения локальных полей L / K . В этом случае мы можем считать расширение простым , порожденным примитивным элементом α, который также порождает базис степенного интеграла . Если f — минимальный полином для α, то разность порождается f' (α).

Примечания

^ Дедекинд 1882 г.
^ Бурбаки 1994 , с. 102
^ Теплица 1979 , с. 50
^ Фрелих и Тейлор 1991 , с. 125
^ Jump up to: ^а ^б Нойкирх 1999 , с. 195
^ Jump up to: ^а ^б Наркевич 1990 , с.160.
^ Хедж 1981 , с. 116
^ Хедж 1981 , с. 121
^ Нойкирх 1999 , стр. 197–198.
^ Jump up to: ^а ^б Нойкирх 1999 , с. 201
^ Jump up to: ^а ^б Фрелих и Тейлор 1991 , с. 126
^ Теплица 1979 , с. 59
^ Хедж 1981 , стр. 234–236.
^ Наркевич 1990 , стр. 304.
^ Наркевич 1990 , стр. 401.
^ Jump up to: ^а ^б Нойкирх 1999 , стр. 199.
^ Наркевич 1990 , стр. 166.
^ Вайс 1976 , с. 114
^ Наркевич 1990 , стр. 194, 270
^ Вайс 1976 , с. 115

Ссылки

Бурбаки, Николя (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрама, Джона . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6 . МР 1290116 .
Дедекинд, Рихард (1882), «О дискриминантах конечных тел» , Трактаты Королевского общества наук в Геттингене , 29 (2): 1–56 . Проверено 5 августа 2009 г.
Фрелих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1991), Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 27, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-36664-Х , Збл 0744.11001
Хекке, Эрих (1981), Лекции по теории алгебраических чисел , Тексты для аспирантов по математике , вып. 77, перевод Джорджа У. Брауэра; Джей Р. Голдман; при содействии Р. Коцена, Нью-Йорк – Гейдельберг – Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90595-2 , Збл 0504.12001
Наркевич, Владислав (1990), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е, существенно переработанное и расширенное издание), Springer-Verlag ; PWN-Польское научное издательство , ISBN 3-540-51250-0 , Збл 0717.11045
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике , том. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7 , Збл 0423.12016
Вайс, Эдвин (1976), Алгебраическая теория чисел (2-е неизмененное издание), Chelsea Publishing , ISBN 0-8284-0293-0 , Збл 0348.12101

[1] Дедекинд 1882 г.

[2] Бурбаки 1994 , с. 102

[Serre50-3] Теплица 1979 , с. 50

[FT125-4] Фрелих и Тейлор 1991 , с. 125

[Neukirch195-5] Jump up to: ^а ^б Нойкирх 1999 , с. 195

[Nark160-6] Jump up to: ^а ^б Наркевич 1990 , с.160.

[Hecke116-7] Хедж 1981 , с. 116

[Hecke121-8] Хедж 1981 , с. 121

[Neukirch1978-9] Нойкирх 1999 , стр. 197–198.

[Neukirch201-10] Jump up to: ^а ^б Нойкирх 1999 , с. 201

[FT126-11] Jump up to: ^а ^б Фрелих и Тейлор 1991 , с. 126

[Serre59-12] Теплица 1979 , с. 59

[Hecke2346-13] Хедж 1981 , стр. 234–236.

[Nark304-14] Наркевич 1990 , стр. 304.

[Nark401-15] Наркевич 1990 , стр. 401.

[Neukirch199-16] Jump up to: ^а ^б Нойкирх 1999 , стр. 199.

[Nark166-17] Наркевич 1990 , стр. 166.

[18] Вайс 1976 , с. 114

[Nark194270-19] Наркевич 1990 , стр. 194, 270

[20] Вайс 1976 , с. 115

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]