Дискриминант

Не путать с определителем .

Чтобы узнать о других значениях, см. Дискриминант (значения) .

В математике дискриминант вычисляя многочлена — это величина, зависящая от коэффициентов и позволяющая вывести некоторые свойства корней, не их. Точнее, это полиномиальная функция коэффициентов исходного многочлена. Дискриминант широко используется в полиномиальной факторизации , теории чисел и алгебраической геометрии .

Дискриминант квадратичного многочлена $ax^{2}+bx+c$ является

$b^{2}-4ac,$

величина, которая стоит под квадратным корнем в квадратной формуле . Если $a\neq 0,$ этот дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет двойной корень . В случае вещественных коэффициентов он положителен, если многочлен имеет два различных действительных корня, и отрицателен, если он имеет два различных комплексно-сопряженных корня. Аналогично, дискриминант кубического многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень . В случае кубики с действительными коэффициентами дискриминант положителен, если многочлен имеет три различных вещественных корня, и отрицателен, если он имеет один действительный корень и два различных комплексно-сопряженных корня.

В более общем смысле, дискриминант одномерного многочлена положительной степени равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. Для действительных коэффициентов и отсутствия кратных корней дискриминант положителен, если количество недействительных корней кратно 4 (включая отсутствие кратных корней), и отрицателен в противном случае.

Некоторые обобщения также называются дискриминантами: дискриминант поля алгебраических чисел ; дискриминант квадратичной формы ; в более общем смысле, дискриминант формы и , , однородного многочлена или проективной гиперповерхности (эти три понятия по существу эквивалентны).

Источник

Термин «дискриминант» был придуман в 1851 году британским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром .

Определение

Позволять

$A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

быть многочленом степени n (это означает $a_{n}\neq 0$), такие, что коэффициенты $a_{0},\ldots ,a_{n}$ принадлежат полю или, в более общем смысле, коммутативному кольцу . Результирующий ​ A производная и его ,

$A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},$

является полиномом по $a_{0},\ldots ,a_{n}$ с целыми коэффициентами, который определителем матрицы Сильвестра A является и A ′ . Ненулевые элементы первого столбца матрицы Сильвестра: $a_{n}$ и $na_{n},$ и результат , таким образом, кратен $a_{n}.$ Следовательно, дискриминант — с точностью до своего знака — определяется как частное результирующего A и A' по формуле $a_{n}$:

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$

Исторически этот знак был выбран таким образом, что дискриминант над действительными числами будет положительным, когда все корни многочлена действительны. Деление на $a_{n}$ не может быть определено корректно, если кольцо коэффициентов содержит делители нуля . Такой проблемы можно избежать, заменив $a_{n}$ на 1 в первом столбце матрицы Сильвестра — перед вычислением определителя. В любом случае дискриминант является многочленом от $a_{0},\ldots ,a_{n}$ с целыми коэффициентами.

Выражение через корни

Когда вышеуказанный многочлен определен над полем , он имеет n корней, $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$, не обязательно все различные, в любом алгебраически замкнутом расширении поля. (Если коэффициенты являются действительными числами, корни могут быть взяты в области комплексных чисел , где применяется основная теорема алгебры .)

В терминах корней дискриминант равен

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).$

Таким образом, это квадрат Вандермонда, умноженный на полинома $a_{n}^{2n-2}$.

Это выражение для дискриминанта часто принимают за определение. Понятно, что если многочлен имеет кратный корень , то его дискриминант равен нулю, и что в случае действительных коэффициентов, если все корни вещественные и простые , то дискриминант положителен. В отличие от предыдущего определения, это выражение не является очевидным полиномом от коэффициентов, но это следует либо из фундаментальной теоремы теории Галуа , либо из фундаментальной теоремы о симметричных полиномах и формул Виеты, если отметить, что это выражение является симметричным полиномом от коэффициентов. корни А. ​

Низкие степени

Дискриминант линейного многочлена (степени 1) рассматривается редко. При необходимости его обычно определяют равным 1 (используя обычные соглашения для пустого произведения что один из двух блоков матрицы Сильвестра пуст и учитывая , ). Не существует общего соглашения о дискриминанте постоянного многочлена (т. е. многочлена степени 0).

Для малых степеней дискриминант довольно прост (см. ниже), но для более высоких степеней он может стать громоздким. Например, дискриминант общей квартики имеет 16 членов: квинтика имеет 59 членов , а у секстика 246 терминов. Это OEIS последовательность A007878 .

Степень 2

См. Также: Квадратное уравнение § Дискриминант

Квадратичный полином $ax^{2}+bx+c\,$ имеет дискриминант

$b^{2}-4ac\,.$

Квадратный корень из дискриминанта появляется в квадратной формуле для корней квадратного многочлена:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

где дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда два корня равны. Если a , b , c — действительные числа, многочлен имеет два различных действительных корня, если дискриминант положительный, и два комплексно-сопряженных корня, если он отрицательный.

Дискриминант – это произведение ² и квадрат разности корней.

Если a , b , c — рациональные числа , то дискриминант является квадратом рационального числа тогда и только тогда, когда два корня являются рациональными числами.

Степень 3

См. Также: Кубическое уравнение § Дискриминант

Нулевой набор дискриминанта кубики x ³ + бх ² + cx + d , т.е. точки, удовлетворяющие b ² с ² – 4 с ³ – 4 б ³ д - 27 д ² + 18 дн = 0 .

Кубический полином $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ имеет дискриминант

$b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.$

В частном случае подавленного кубического многочлена $x^{3}+px+q$, дискриминант упрощается до

$-4p^{3}-27q^{2}\,.$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы два корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами, а дискриминант не равен нулю, дискриминант положителен, если корнями являются три различных действительных числа, и отрицателен, если имеется один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня.

Квадратный корень из величины, сильно связанной с дискриминантом, появляется в формулах для корней кубического многочлена . В частности, эта величина может быть в -3 раза больше дискриминанта или его произведения на квадрат рационального числа; например, квадрат 1/18 в случае формулы Кардано .

Если многочлен неприводим и его коэффициенты являются рациональными числами (или принадлежат числовому полю ), то дискриминант является квадратом рационального числа (или числа из числового поля) тогда и только тогда, когда группа Галуа кубического уравнения – циклическая группа порядка третьего .

Степень 4

Дискриминант полинома четвертой степени x ⁴ + сх ² + дх + е . Поверхность представляет точки ( c , d , e ), где многочлен имеет повторяющийся корень. Ребро возврата соответствует многочленам с тройным корнем, а самопересечение соответствует многочленам с двумя разными повторяющимися корнями.

степени Полином четвертой $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$имеет дискриминант

${\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}$

Депрессивный полином четвертой степени $x^{4}+cx^{2}+dx+e\,$имеет дискриминант

${\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}\,.\end{aligned}}$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы два корня равны. Если коэффициенты действительные числа, а дискриминант отрицательный, то имеется два действительных корня и два комплексно-сопряженных корня. И наоборот, если дискриминант положителен, то все корни либо вещественные, либо все невещественные.

Характеристики

Нулевой дискриминант

Дискриминант многочлена над полем равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень в некотором расширении поля .

Дискриминант многочлена в области целого равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен и его производная имеют непостоянный общий делитель.

В характеристике 0 это эквивалентно утверждению, что многочлен не свободен от квадратов (т. е. он делится на квадрат непостоянного многочлена).

В ненулевой характеристике p дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен не является бесквадратным или у него есть неприводимый множитель , который не является отделимым (т. е. неприводимый множитель является многочленом от $x^{p}$).

Инвариантность при изменении переменной

Дискриминант многочлена с точностью до масштабирования инвариантен относительно любого проективного преобразования переменной. Поскольку проективное преобразование можно разложить на произведение сдвигов, гомотетий и инверсий, это приводит к следующим формулам для более простых преобразований, где P ( x ) обозначает полином степени n , с $a_{n}$ в качестве ведущего коэффициента.

• Инвариантность при переводе :

$\operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

Это следует из выражения дискриминанта через корни

• Инвариантность по гомотетии :

$\operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

Это следует из выражения через корни, или квазиоднородности дискриминанта.

• Инвариантность путем инверсии :

$\operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

когда $P(0)\neq 0.$ Здесь, $P^{\mathrm {r} }\!\!\;$ обозначает обратный P ; полином то есть, если $P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},$ и $a_{0}\neq 0,$ затем

$P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.$

Инвариантность относительно кольцевых гомоморфизмов

Позволять $\varphi \colon R\to S$ гомоморфизм — коммутативных колец . Учитывая полином

$A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$

в R [ x ] гомоморфизм $\varphi$ действует на A для получения полинома

$A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})$

в S [ Икс ] .

Дискриминант инвариантен относительно $\varphi$ в следующем смысле. Если $\varphi (a_{n})\neq 0,$ затем

$\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).$

Поскольку дискриминант определяется через определитель, это свойство непосредственно вытекает из аналогичного свойства определителей.

Если $\varphi (a_{n})=0,$ затем $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ может быть нулевым или нет. У человека есть, когда $\varphi (a_{n})=0,$

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).$

Когда вас интересует только то, равен ли дискриминант нулю (как это обычно бывает в алгебраической геометрии ), эти свойства можно резюмировать следующим образом:

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ тогда и только тогда, когда либо $\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0$ или $\deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.$

Это часто интерпретируется как утверждение, что $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ тогда и только тогда, когда $A^{\varphi }$ имеет кратный корень (возможно, на бесконечности ).

Произведение полиномов

Если R = PQ — произведение полиномов от x , то

${\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}$

где $\operatorname {Res} _{x}$ обозначает результат по переменной x , а и q — соответствующие степени P и Q. p

Это свойство немедленно вытекает из замены выражения результирующего и дискриминанта на корни соответствующих многочленов.

Однородность

Дискриминант представляет собой однородный полином по коэффициентам; это также однородный многочлен по корням и, следовательно, квазиоднородный по коэффициентам.

Дискриминант многочлена степени n однороден степени 2 n − 2 по коэффициентам. Это можно увидеть двояко. С точки зрения формулы корней и ведущего члена, умножение всех коэффициентов на λ не меняет корни, но умножает главный член на λ . С точки зрения его выражения как определитель матрицы 2 n - 1) × (2 n - 1) ( ( матрицы Сильвестра разделенной на n _{) ,} , определитель является однородным степени 2 n - 1 по элементам и делит на n ₋ дает степень 2 n 2 .

Дискриминант многочлена степени n однороден степени n ( n − 1) по корням. Это следует из выражения дискриминанта через корни, который является произведением константы и ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ квадрат разности корней.

Дискриминант многочлена степени n квазиоднороден степени n ( n − 1) по коэффициентам, если для каждого i коэффициент при $x^{i}$ присвоен вес n - i . Той же степени он квазиоднороден, если для каждого i коэффициент при $x^{i}$ присвоен вес i . Это является следствием того общего факта, что всякий многочлен, однородный и симметричный по корням, может быть выражен как квазиоднородный многочлен от элементарных симметрических функций корней.

Рассмотрим полином

$P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.$

Из предыдущего следует, что показатели степени в каждом мономе $a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}$ входящие в дискриминант удовлетворяют двум уравнениям

$i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2$

и

$i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),$

а также уравнение

$ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),$

который получается вычитанием второго уравнения из первого, умноженного на n .

Это ограничивает возможные члены дискриминанта. Для общего квадратичного многочлена имеется только две возможности и два члена в дискриминанте, тогда как общий однородный многочлен второй степени от трех переменных имеет 6 членов. Для общего кубического многочлена имеется пять возможностей и пять членов в дискриминанте, тогда как общий однородный многочлен степени 4 от 5 переменных имеет 70 членов.

Для более высоких степеней могут существовать мономы, удовлетворяющие приведенным выше уравнениям и не входящие в дискриминант. Первый пример относится к полиному четвертой степени. $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, и в этом случае моном $bc^{4}d$ удовлетворяет уравнениям, не фигурируя в дискриминанте.

Настоящие корни

В этом разделе все полиномы имеют действительные коэффициенты.

было видно В § низких степеней , что знак дискриминанта предоставляет полезную информацию о природе корней многочленов степени 2 и 3. Для более высоких степеней информация, предоставляемая дискриминантом, менее полная, но все же полезная. Точнее, для многочлена степени n имеем:

• Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
• Если дискриминант положителен, количество невещественных корней кратно 4. То есть существует целое неотрицательное число k ≤ n /4 такое, что существует 2 k пар комплексно-сопряженных корней и n - 4 k вещественных корней. .
• Если дискриминант отрицательный, количество невещественных корней не кратно 4. То есть существует целое неотрицательное число k ≤ ( n - 2)/4 такое, что существует 2 k + 1 пары комплексно-сопряженных корней. и n − 4 k + 2 вещественных корня.

Однородный двумерный полином

Позволять

$A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}$

— однородный многочлен степени n от двух неопределенных.

Предположим на данный момент, что $a_{0}$ и $a_{n}$ оба ненулевые, у одного есть

$\operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).$

Обозначая эту величину через $\operatorname {Disc} ^{h}(A),$у одного есть

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),$

и

$\operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).$

Благодаря этим свойствам количество $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ называется дискриминантом или дискриминантом A . однородным

Если $a_{0}$ и $a_{n}$ разрешено равняться нулю, полиномы A ( x , 1) и A (1, y ) могут иметь степень меньше n . В этом случае приведенные выше формулы и определения остаются в силе, если дискриминанты вычисляются так, как если бы все полиномы имели степень n . Это означает, что дискриминанты должны быть вычислены с помощью $a_{0}$ и $a_{n}$ неопределенные, замена для них их действительных значений производится после этого вычисления. формулы § Инвариантности относительно кольцевых гомоморфизмов Эквивалентно, необходимо использовать .

Использование в алгебраической геометрии

Типичное использование дискриминантов в алгебраической геометрии — для изучения плоских алгебраических кривых и, в более общем плане, алгебраических гиперповерхностей . Пусть V — такая кривая или гиперповерхность; V определяется как нулевой набор многомерного многочлена . Этот многочлен можно рассматривать как одномерный многочлен от одной из неопределенных величин, с полиномами от других неопределенных величин в качестве коэффициентов. Дискриминант по выбранной неопределенности определяет гиперповерхность W в пространстве остальных неопределенностей. Точки W являются в точности проекциями точек V (включая точки на бесконечности ), которые либо являются особыми, либо имеют касательную гиперплоскость , параллельную оси выбранной неопределенности.

Например, пусть f — двумерный полином от X и Y с действительными коэффициентами, так что f = 0 — неявное уравнение вещественной плоской алгебраической кривой . Если рассматривать f как одномерный полином от Y с коэффициентами, зависящими от X , то дискриминант — это многочлен от X , корнями которого являются X -координаты особых точек, точек с касательной, параллельной оси Y , и некоторых из асимптоты параллельны Y. оси Другими словами, вычисление корней Y -дискриминанта и X -дискриминанта позволяет вычислить все замечательные точки кривой, кроме точек перегиба .

Обобщения

Есть два класса понятия дискриминанта. Первый класс — это дискриминант поля алгебраических чисел , который, в некоторых случаях, включая квадратичные поля , является дискриминантом многочлена, определяющего поле.

Дискриминанты второго класса возникают для задач, зависящих от коэффициентов, когда вырожденные случаи или особенности задачи характеризуются исчезновением одного многочлена в коэффициентах. Так обстоит дело с дискриминантом многочлена, который равен нулю, когда два корня схлопываются. Большинство случаев, когда определяется такой обобщенный дискриминант, являются примерами следующего.

Пусть A — однородный многочлен от n неопределенных над полем характеристики 0 или простой характеристики, не делящей степень многочлена. Многочлен A определяет проективную гиперповерхность , которая имеет особые точки тогда и только тогда, когда частных производных A n имеют нетривиальный общий нуль . Это тот случай, когда и только если многомерный результат этих частных производных равен нулю, и этот результат можно рассматривать как дискриминант A . Однако из-за целочисленных коэффициентов, полученных в результате вывода, этот многомерный результат может делиться на степень n , и лучше взять в качестве дискриминанта примитивную часть результата, вычисленную с использованием общих коэффициентов. Ограничение на характеристику необходимо, поскольку в противном случае общий нуль частной производной не обязательно будет нулем многочлена (см. тождество Эйлера для однородных многочленов ).

В случае однородного двумерного полинома степени d этот общий дискриминант равен $d^{d-2}$ раз дискриминант, определенный в § Однородный двумерный полином . Несколько других классических типов дискриминантов, которые являются примерами общего определения, описаны в следующих разделах.

Квадратичные формы

См. Также: Фундаментальный дискриминант

Квадратичная форма — это функция над векторным пространством , которая определяется по некоторому базису однородным полиномом степени 2:

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},$

или, в матричной форме,

$Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },$

для $n\times n$ симметричная матрица $A=(a_{ij})$, $1\times n$ вектор-строка $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$и $n\times 1$ вектор-столбец $X^{\mathrm {T} }$. В характеристике, отличной от 2, дискриминант ​ или определитель Q ​ является определителем A ​ .

Определитель Гессе Q ​ равен $2^{n}$ раз его дискриминант. Многомерный результат частных производных Q равен его определителю Гессе. Итак, дискриминант квадратичной формы является частным случаем приведенного выше общего определения дискриминанта.

Дискриминант квадратичной формы инвариантен относительно линейных замен переменных (т.е. замены базиса векторного пространства, на котором определена квадратичная форма) в следующем смысле: линейная замена переменных определяется неособой матрицей S , превращает матрицу A в $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ и таким образом умножает дискриминант на квадрат определителя S . Таким образом, дискриминант корректно определен только с точностью до умножения на квадрат. Другими словами, дискриминант квадратичной формы над полем K является элементом K /( K ^× ) ² , фактор мультипликативного моноида K , по подгруппе ненулевых квадратов (т. е. два элемента K находятся в одном классе эквивалентности если один из них является произведением другого на ненулевой квадрат). Отсюда следует, что для комплексных чисел дискриминант эквивалентен 0 или 1. Для действительных чисел дискриминант эквивалентен −1, 0 или 1. Для рациональных чисел дискриминант эквивалентен уникальному бесквадратному целое число .

По теореме Якоби квадратичная форма над полем характеристики, отличной от 2, может быть выражена после линейной замены переменных в диагональной форме как

$a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

Точнее, квадратичная форма на может быть выражена в виде суммы

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}$

где L _i — независимые линейные формы, а n — количество переменных (некоторые из a _i могут быть равны нулю). Эквивалентно, для любой симметричной матрицы A существует элементарная матрица S такая, что $S^{\mathrm {T} }A\,S$ является диагональной матрицей .Тогда дискриминант является произведением a _i , которое корректно определено как класс в K /( K ^× ) ² .

Геометрически дискриминант квадратичной формы от трех переменных представляет собой уравнение квадратичной проективной кривой . Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда кривая разложена на прямые (возможно, по алгебраически замкнутому расширению поля).

Квадратичная форма от четырех переменных — это уравнение проективной поверхности . Поверхность имеет особую точку тогда и только тогда, когда ее дискриминант равен нулю. В этом случае либо поверхность может быть разложена по плоскостям, либо она имеет единственную особую точку и представляет собой конус или цилиндр . Если над вещественными числами дискриминант положителен, то поверхность либо не имеет вещественной точки, либо всюду имеет отрицательную гауссову кривизну . Если дискриминант отрицательный, поверхность имеет вещественные точки и отрицательную гауссову кривизну.

Конические сечения

Коническое сечение — это плоская кривая, определяемая неявным уравнением вида

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,$

где a , b , c , d , e , f — действительные числа.

две квадратичные формы Коническому сечению могут быть сопоставлены и, следовательно, два дискриминанта.

Первая квадратичная форма

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.$

Его дискриминант является определителем

${\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.$

Оно равно нулю, если коническое сечение вырождается в две прямые, двойную линию или одну точку.

Второй дискриминант, единственный, который рассматривается во многих учебниках элементарной математики, — это дискриминант однородной части второй степени уравнения. Это равно

$b^{2}-ac,$

и определяет форму конического сечения. Если этот дискриминант отрицателен, кривая либо не имеет действительных точек, либо представляет собой эллипс или окружность , либо, если она вырождена, сводится к одной точке. Если дискриминант равен нулю, кривая представляет собой параболу или , если она вырождена, двойную линию или две параллельные линии. Если дискриминант положителен, кривая представляет собой гиперболу или , если она вырождена, пару пересекающихся прямых.

Реальные квадратичные поверхности

Вещественная квадрика в евклидовом пространстве размерности три — это поверхность, которую можно определить как нули многочлена второй степени от трех переменных. Что касается конических сечений, то есть два дискриминанта, которые можно определить естественным путем. Оба полезны для получения информации о природе квадрики.

Позволять $P(x,y,z)$ — многочлен второй степени от трех переменных, определяющий вещественную квадрику. Первая ассоциированная квадратичная форма, $Q_{4},$ зависит от четырех переменных и получается путем гомогенизации P ; то есть

$Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).$

Обозначим его дискриминант через $\Delta _{4}.$

Вторая квадратичная форма, $Q_{3},$ зависит от трех переменных и состоит из членов второй степени P ; то есть

$Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).$

Обозначим его дискриминант через $\Delta _{3}.$

Если $\Delta _{4}>0,$ и поверхность имеет вещественные точки, это либо гиперболический параболоид , либо однополостный гиперболоид . В обоих случаях это линейчатая поверхность , имеющая отрицательную гауссову кривизну в каждой точке.

Если $\Delta _{4}<0,$ поверхность представляет собой либо эллипсоид , либо двуполостный гиперболоид , либо эллиптический параболоид . Во всех случаях он имеет положительную гауссову кривизну в каждой точке.

Если $\Delta _{4}=0,$ поверхность имеет особую точку , возможно, на бесконечности . Если имеется только одна особая точка, поверхность представляет собой цилиндр или конус . При наличии нескольких особых точек поверхность состоит из двух плоскостей, двойной плоскости или одной прямой.

Когда $\Delta _{4}\neq 0,$ знак $\Delta _{3},$ если не 0, то не дает никакой полезной информации, поскольку замена P на − P не меняет поверхность, но меняет знак $\Delta _{3}.$ Однако, если $\Delta _{4}\neq 0$ и $\Delta _{3}=0,$ поверхность представляет собой параболоид , который бывает эллиптическим или гиперболическим, в зависимости от знака $\Delta _{4}.$

Дискриминант поля алгебраических чисел

Основная статья: Дискриминант поля алгебраических чисел

Дискриминант поля алгебраических чисел измеряет размер ( кольца целых чисел ) поля алгебраических чисел.

Точнее, оно пропорционально квадрату объема фундаментальной области кольца целых чисел и определяет, какие простые числа являются разветвленными .

Дискриминант является одним из самых основных инвариантов числового поля и встречается в нескольких важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение дзета Дедекинда - функции K и формула числа аналитических классов для K . Теорема Эрмита утверждает , что существует только конечное число числовых полей ограниченного дискриминанта, однако определение этой величины все еще остается открытой проблемой и предметом текущих исследований.

Пусть K — поле алгебраических чисел и OK _— его кольцо целых чисел . Пусть b ₁ , ..., b _n — целочисленный базис O 1 _K (т. е. базис как Z -модуль ), и пусть {σ _, ..., σ _n } — множество вложений K в комплексные числа (т.е. инъективные кольцевые гомоморфизмы K → C ). Дискриминант ( K , это квадрат определителя b матрицы n размером n, i B которой j j ) -элементом _{является σ i} ( — _на ). Символически,

$\Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.$

Дискриминант K можно назвать абсолютным дискриминантом K, чтобы отличить его от расширения K / L числовых полей. Последний является идеалом в кольце целых чисел L и, подобно абсолютному дискриминанту, указывает, какие простые числа разветвлены в K / L . Это обобщение абсолютного дискриминанта, позволяющее L быть больше Q ; фактически, когда L = Q , относительный дискриминант K / Q является главным идеалом Z, порожденным абсолютным K. дискриминантом

Фундаментальные дискриминаторы

Особым типом дискриминанта, полезным при изучении квадратичных полей, является фундаментальный дискриминант. Он возникает в теории целых бинарных квадратичных форм , которые являются выражениями вида: $$Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$$

где ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, и ${\textstyle c}$ являются целыми числами. Дискриминант ${\textstyle Q(x,y)}$ дается: $$D=b^{2}-4ac$$Не каждое целое число может возникнуть как дискриминант целой двоичной квадратичной формы. Целое число ${\textstyle D}$ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих критериев:

• Случай 1: ${\textstyle D}$ конгруэнтно 1 по модулю 4 ( ${\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$) и не содержит квадратов, то есть не делится на квадрат любого простого числа.
• Случай 2: ${\textstyle D}$ равно четырехкратному целому числу ${\textstyle m}$ ( ${\textstyle D=4m}$) где ${\textstyle m}$ конгруэнтно 2 или 3 по модулю 4 ( ${\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}$) и не имеет квадратов.

Эти условия гарантируют, что каждый фундаментальный дискриминант однозначно соответствует определенному типу квадратичной формы.

Первые одиннадцать положительных фундаментальных дискриминантов:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 (последовательность A003658 в OEIS ).

Первые одиннадцать отрицательных фундаментальных дискриминантов:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (последовательность A003657 в OEIS ).

Поля квадратичных чисел

Квадратичное поле — это расширение поля рациональных чисел. ${\textstyle \mathbb {Q} }$ имеющее степень 2. Дискриминант квадратичного поля играет роль, аналогичную дискриминанту квадратичной формы.

Существует фундаментальная связь: целое число ${\textstyle D_{0}}$ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда:

• ${\textstyle D_{0}=1}$, или
• ${\textstyle D_{0}}$ является дискриминантом квадратичного поля.

Для каждого фундаментального дискриминанта ${\textstyle D_{0}\neq 1}$, существует единственное (с точностью до изоморфизма) квадратичное поле с ${\textstyle D_{0}}$ в качестве его дискриминанта. Это связывает теорию квадратичных форм и изучение квадратичных полей.

Простая факторизация

Фундаментальные дискриминанты также можно охарактеризовать их простой факторизацией. Рассмотрим набор ${\textstyle S}$ состоящий из простых чисел, соответствующих 1 по модулю 4 (положительных), и простых чисел, соответствующих 3 по модулю 4 (отрицательных): $$S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,...\}$$Целое число ${\textstyle D_{0}\neq 1}$ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда его можно выразить как произведение попарно относительно простых членов множества ${\textstyle S}$.

Внешние ссылки

• Wolfram Mathworld: Полиномиальный дискриминант
• Планетоматика: Дискриминант