Инвариант Арфа

Арф и формула инварианта Арфа изображены на обратной стороне турецкой банкноты номиналом 10 лир 2009 года выпуска.

В математике неособой инвариант Арфа квадратичной формы над полем характеристики ), когда он начал систематическое 2 был определен турецким математиком Джахитом Арфом ( 1941 изучение квадратичных форм над произвольными полями характеристики 2. Инвариант Арфа - это замена, в характеристике 2 - для дискриминанта квадратичных форм в характеристике, а не в характеристике 2. Арф использовал свой инвариант, среди прочего, в своей попытке классифицировать квадратичные формы в характеристике 2.

В частном случае двухэлементного поля F ₂ инвариант Arf можно описать как элемент F ₂ , который чаще всего встречается среди значений формы. Две неособые квадратичные формы над F ₂ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и один и тот же Arf-инвариант. Этот факт был по существу известен Леонарду Диксону ( 1901 ) даже для любого конечного поля характеристики 2, и Арф доказал его для произвольного совершенного поля .

Инвариант Арфа особенно применяется в геометрической топологии , где он в основном используется для определения инварианта (4 k + 2) -мерных многообразий ( одномерных четных многообразий : поверхностей (2-многообразий), 6-многообразий, 10-мерных многообразий и т. д.) с некоторой дополнительной структурой, называемой оснащением , и, следовательно, инвариантом Арфа – Кервера и инвариантом узла Арфа . Инвариант Арфа аналогичен сигнатуре многообразия , которая определена для 4 -мерных многообразий ( двукратно четных ); эта 4-кратная периодичность соответствует 4-кратной периодичности L-теории . Инвариант Арфа также можно определить в более общем смысле для некоторых 2 k -мерных многообразий.

Определения

Инвариант Арфа определен для квадратичной формы q над полем K характеристики 2 такой, что q невырождена в том смысле, что соответствующая билинейная форма $b(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)$ является невырожденным . Форма $b$ является знакопеременным , поскольку К имеет характеристику 2; отсюда следует, что неособая квадратичная форма в характеристике 2 должна иметь четную размерность. Любая бинарная (2-мерная) неособая квадратичная форма над K эквивалентна форме $q(x,y)=ax^{2}+xy+by^{2}$ с $a,b$ чернила ​ . Инвариант Арфа определяется как произведение $ab$. Если форма $q'(x,y)=a'x^{2}+xy+b'y^{2}$ эквивалентно $q(x,y)$, то продукты $ab$ и $a'b'$ отличаются элементом формы $u^{2}+u$ с $u$ чернила ​ . образуют аддитивную подгруппу U группы K. Эти элементы Следовательно, класс $ab$ по модулю U является инвариантом $q$, что означает, что оно не изменяется, когда $q$ заменяется эквивалентной формой.

Любая неособая квадратичная форма $q$ над K эквивалентно прямой сумме $q=q_{1}+\cdots +q_{r}$ неособых бинарных форм. Это было показано Арфом, но ранее это наблюдалось Диксоном в случае конечных полей характеристики 2. Инвариант Арфа Arf( $q$) определяется как сумма инвариантов Arf $q_{i}$. это смежный класс K по модулю U. По определению , Арф показал, что действительно $\operatorname {Arf} (q)$ не изменится, если $q$ заменяется эквивалентной квадратичной формой, то есть она является инвариантом $q$.

Инвариант Арфа аддитивен; другими словами, Arf-инвариант ортогональной суммы двух квадратичных форм есть сумма их Arf-инвариантов.

Для поля K характеристики 2 теория Артина – Шрайера отождествляет факторгруппу поля K по подгруппе U, приведенной выше, с когомологий Галуа группой H. ¹ ( К , Ф2 ₎ . Другими словами, ненулевые элементы K / U находятся во взаимно однозначном соответствии с сепарабельными полями расширения K. квадратичными Таким образом, инвариант Арфа неособой квадратичной формы над K либо равен нулю, либо описывает сепарабельное поле квадратичного расширения K . Это аналогично дискриминанту неособой квадратичной формы над полем F характеристики, отличной от 2. В этом случае дискриминант принимает значения из F ^* /( Ф ^* ) ² , который можно отождествить с H ¹ ( F , F ₂ ) по теории Куммера .

Основные результаты Арфа

Если поле K совершенно, то каждая неособая квадратичная форма над K однозначно (с точностью до эквивалентности) определяется своей размерностью и своим Arf-инвариантом. В частности, это справедливо над полем F ₂ . В этом случае подгруппа U выше равна нулю, и, следовательно, инвариант Arf является элементом базового поля F ₂ ; это либо 0, либо 1.

Если поле K характеристики 2 несовершенно (т. е. K отлично от своего подполя K ² квадратов), то алгебра Клиффорда является еще одним важным инвариантом квадратичной формы. Исправленная версия исходного утверждения Арфа состоит в том, что если степень [ K : K ² ] не превосходит 2, то каждая квадратичная форма над K полностью характеризуется своей размерностью, инвариантом Арфа и алгеброй Клиффорда. Примерами таких полей являются функциональные поля (или поля степенных рядов ) одной переменной над идеальными базовыми полями.

Квадратичные формы над F ₂

Над F ₂ инвариант Arf равен 0, если квадратичная форма эквивалентна прямой сумме копий двоичной формы. $xy$, и это 1, если форма представляет собой прямую сумму $x^{2}+xy+y^{2}$ с несколькими копиями $xy$.

Уильям Браудер назвал инвариант Арфа демократическим инвариантом. потому что это значение, которое чаще всего принимается квадратичной формой. Другая характеристика: q имеет Arf-инвариант 0 тогда и только тогда, когда базовое 2 k -мерное векторное пространство над полем F ₂ имеет k -мерное подпространство, на котором q тождественно равно 0, то есть полностью изотропное подпространство половины размерности. Другими словами, неособая квадратичная форма размерности 2 k имеет Arf-инвариант 0 тогда и только тогда, когда ее индекс изотропии равен k (это максимальная размерность вполне изотропного подпространства неособой формы).

Инвариант Арфа в топологии.

Пусть M — компактное связное многообразие 2k - мерное краем с $\partial M$такие, что индуцированные морфизмы в $\mathbb {Z} _{2}$-коэффициент гомологии

$H_{k}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k-1}(\partial M;\mathbb {Z} _{2}),\quad H_{k}(\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})$

оба равны нулю (например, если $M$ закрыто). Форма пересечения

$\lambda :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\times H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}$

не является особенным. (Топологи обычно пишут F ₂ как $\mathbb {Z} _{2}$.) Квадратичное уточнение для $\lambda$ это функция $\mu :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}$ который удовлетворяет

$\mu (x+y)+\mu (x)+\mu (y)\equiv \lambda (x,y){\pmod {2}}\;\forall \,x,y\in H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})$

Позволять $\{x,y\}$ любое двумерное подпространство $H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})$, такой, что $\lambda (x,y)=1$. Тогда есть две возможности. Либо все $\mu (x+y),\mu (x),\mu (y)$ равны 1, или только один из них равен 1, а два других равны 0. Вызовите первый случай $H^{1,1}$, и второй случай $H^{0,0}$. Поскольку каждая форма эквивалентна симплектической форме, мы всегда можем найти подпространства $\{x,y\}$ где x и y являются $\lambda$-двойной. Поэтому мы можем разделить $H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})$ в прямую сумму подпространств, изоморфных либо $H^{0,0}$ или $H^{1,1}$. Более того, благодаря умному изменению основы, $H^{0,0}\oplus H^{0,0}\cong H^{1,1}\oplus H^{1,1}.$ Поэтому мы определяем инвариант Арфа

$\operatorname {Arf} (H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2});\mu )=({\text{number of copies of }}H^{1,1}{\text{ in a decomposition mod 2}})\in \mathbb {Z} _{2}.$

Примеры

• Позволять $M$ быть компактным связным ориентированным двумерным многообразием , т. е поверхностью рода . $g$ такая, что граница $\partial M$ либо пусто, либо связно. Встроить $M$ в $S^{m}$, где $m\geq 4$. Выберите оснащение M , которое является тривиализацией на нормальной ( m − 2)-плоскости векторного расслоения . (Это возможно для $m=3$, поэтому, безусловно, возможно для $m\geq 4$). Выберите симплектический базис $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2g-1},x_{2g}$ для $H_{1}(M)=\mathbb {Z} ^{2g}$. Каждый базовый элемент представлен вставленным кружком. $x_{i}:S^{1}\subset M$. Нормальное ( m − 1)-плоское векторное расслоение $S^{1}\subset M\subset S^{m}$ имеет две тривиализации, одна из которых определяется стандартным оснащением стандартного вложения $S^{1}\subset S^{m}$ и один, определяемый оснащением M , которые отличаются отображением $S^{1}\to SO(m-1)$ то есть элемент $\pi _{1}(SO(m-1))\cong \mathbb {Z} _{2}$ для $m\geq 4$. Это также можно рассматривать как класс оформленных кобордизмов. $S^{1}$ с этим оснащением в одномерной оснащенной группе кобордизмов $\Omega _{1}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-1})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}$, который порождается кругом $S^{1}$ с групповым оформлением Ли. Изоморфизм здесь осуществляется посредством конструкции Понтрягина-Тома . Определять $\mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}$ быть этим элементом. Теперь определен Arf-инвариант каркасной поверхности.

$\Phi (M)=\operatorname {Arf} (H_{1}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2});\mu )\in \mathbb {Z} _{2}$

Обратите внимание, что $\pi _{1}(SO(2))\cong \mathbb {Z} ,$ поэтому нам пришлось стабилизироваться, взяв $m$ быть не менее 4, чтобы получить элемент $\mathbb {Z} _{2}$. Дело $m=3$ также допустимо, если взять вычет по модулю 2 оснащения.

• Инвариант Арфа $\Phi (M)$ оснащенной поверхности определяет, существует ли 3-многообразие, границей которого является заданная поверхность, продолжающая данное оснащение. Это потому, что $H^{1,1}$ не связывает. $H^{1,1}$ представляет собой тор $T^{2}$ с тривиализацией обоих генераторов $H_{1}(T^{2};\mathbb {Z} _{2})$ который перекручивается нечетное число раз. Ключевой факт заключается в том, что с точностью до гомотопии существует два варианта тривиализации тривиального расслоения на 3 плоскости над окружностью, соответствующие двум элементам $\pi _{1}(SO(3))$. Нечетное количество витков, известное как оснащение группы Ли, не распространяется на диск, а четное количество витков - распространяется. (Обратите внимание, что это соответствует помещению спиновой структуры на нашу поверхность.) Понтрягин использовал инвариант Арфа оснащенных поверхностей для вычисления двумерной оснащенной кобордизмов. группы $\Omega _{2}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-2})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}$, порожденный тором $T^{2}$ с групповым оформлением Ли. Изоморфизм здесь осуществляется посредством конструкции Понтрягина-Тома .

• Позволять $(M^{2},\partial M)\subset S^{3}$ быть поверхностью Зейферта для узла, $\partial M=K:S^{1}\hookrightarrow S^{3}$, который можно представить в виде диска $D^{2}$ с прикрепленными лентами. Полосы обычно скручены и завязаны узлами. Каждая полоса соответствует генератору $x\in H_{1}(M;\mathbb {Z} _{2})$. $x$ можно представить в виде окружности, пересекающей одну из полос. Определять $\mu (x)$ — количество полных витков в полосе по модулю 2. Предположим, мы позволяем $S^{3}$ граница $D^{4}$и сдвинем поверхность Зейферта $M$ в $D^{4}$, так что его граница все еще находится в $S^{3}$. Вокруг любого генератора $x\in H_{1}(M,\partial M)$, теперь у нас есть тривиальное нормальное векторное расслоение с тремя плоскостями. Тривиализуйте его, используя тривиальное оснащение нормального расслоения до вложения $M\hookrightarrow D^{4}$ для 2 необходимых секций. В-третьих, выберите раздел, который остается нормальным для $x$, всегда оставаясь касательной к $M$. Эта тривиализация снова определяет элемент $\pi _{1}(SO(3))$, который мы принимаем за $\mu (x)$. Обратите внимание, что это совпадает с предыдущим определением $\mu$.

• Арф -инвариант узла определяется через его поверхность Зейферта. Это не зависит от выбора поверхности Зейферта (Основная операция: изменение S-эквивалентности, добавление/удаление трубки, добавление/удаление $H^{0,0}$ прямое слагаемое), а также инвариант узла . Он аддитивен относительно связной суммы и исчезает на узлах срезов , поэтому является инвариантом согласования узла .

• Форма пересечения на (2 k + 1) -мерном пространстве $\mathbb {Z} _{2}$-коэффициент гомологии $H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})$ оснащенного уточнение (4 k + 2) -мерного многообразия M имеет квадратичное $\mu$, что зависит от кадра. Для $k\neq 0,1,3$ и $x\in H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})$ представленный вложением $x\colon S^{2k+1}\subset M$ ценность $\mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}$ равно 0 или 1, в соответствии с нормальным набором $x$ тривиально или нет. оснащенного Инвариант Кервера ( 4 k + 2) -мерного многообразия M является инвариантом Арфа квадратичного уточнения $\mu$ на $H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})$. Инвариант Кервера является гомоморфизмом $\pi _{4k+2}^{S}\to \mathbb {Z} _{2}$ на (4k + 2) -мерной стабильной гомотопической группе сфер. Инвариант Кервера также можно определить для (4 k + 2) -мерного многообразия M , оснащенного кроме одной точки.

• В теории хирургии для любого $4k+2$-мерная карта нормалей $(f,b):M\to X$ определена неособая квадратичная форма $(K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2}),\mu )$ на $\mathbb {Z} _{2}$-коэффициент ядра гомологии

$K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})=ker(f_{*}:H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{2k+1}(X;\mathbb {Z} _{2}))$

уточнение формы гомологического пересечения $\lambda$. Инвариант Арфа этой формы является инвариантом Кервера ( f , b ). В особом случае $X=S^{4k+2}$ это инвариант M . Кервера Особенности инварианта Кервера в классификации экзотических сфер Мишелем Кервером и Джоном Милнором и, в более общем плане, в классификации многообразий по теории хирургии . Уильям Браудер определил $\mu$ с использованием функциональных квадратов Стинрода и CTC Wall определения $\mu$ в рамку с помощью погружений . Квадратичное усиление $\mu (x)$ существенно предоставляет больше информации, чем $\lambda (x,x)$ : можно убить x хирургическим путем тогда и только тогда, когда $\mu (x)=0$. Соответствующий инвариант Кервера обнаруживает хирургическую обструкцию $(f,b)$ в L-группе $L_{4k+2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} _{2}$.

См. также

• инвариант де Рама , инвариант по модулю 2 $(4k+1)$-мерные многообразия

Ссылки

• См. Ликориш (1997) о связи между инвариантом Арфа и полиномом Джонса .
• См. главу 3 книги Картера для другого эквивалентного определения инварианта Арфа в терминах самопересечения дисков в 4-мерном пространстве.
• Арф, Кахит (1941), «Исследования квадратичных форм в полях характеристики 2, I», Дж. Рейн Ангью. Math , 183 : 148–167, doi : 10.1515/crll.1941.183.148 , S2CID   122490693.
• Глен Бредон : Топология и геометрия , 1993, ISBN   0-387-97926-3 .
• Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных коллекторах , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0358813
• Дж. Скотт Картер: Как поверхности пересекаются в космосе , серия «Узлы и все такое», 1993, ISBN   981-02-1050-7 .
• А. В. Чернавский (2001) [1994], «Инвариант Арфа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Диксон, Леонард Юджин (1901), Линейные группы: с изложением теории поля Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications, MR   0104735
• Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий , Конспект лекций по математике, том. 1374, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN  0-387-51148-2 , МР   1001966
• WB Раймонд Ликориш , Введение в теорию узлов , Тексты для аспирантов по математике, Springer, 1997, ISBN   0-387-98254-X
• Мартино, Дж.; Придди, С. (2003), «Расширения групп и групповые кольца автоморфизмов», Гомологии, гомотопии и приложения , 5 (1): 53–70, arXiv : 0711.1536 , doi : 10.4310/hha.2003.v5.n1.a3 , S2CID   15403121
• Лев Понтрягин , Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, Сер. 2, Том. 11, стр. 1–114 (1959).

Дальнейшее чтение

• Лоренц, Фалько; Рокетт, Питер (2013), «Каит Арф и его инвариант» (PDF) , Вклад в историю теории чисел в 20 веке , Наследие европейской математики , Цюрих: Европейское математическое общество , стр. 189–222, ISBN  978-3-03719-113-2 , МР   2934052 , Збл   1276.11001
• Кнус, Макс-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовы формы над кольцами , Основные учения математических наук, том. 294, Берлин: Springer-Verlag , стр. 211–222, doi : 10.1007/978-3-642-75401-2 , ISBN.  3-540-52117-8 , МР   1096299 , Збл   0756.11008