Подпись (топология)

В области топологии сигнатура представляет собой целочисленный инвариант , который определен для ориентированного многообразия M размерности, кратной четырем .

Этот инвариант многообразия детально изучен, начиная с теоремы Рохлина для 4-многообразий и сигнатурной теоремы Хирцебруха .

Определение

Для связного и ориентированного многообразия M размерности 4 k порождает произведение чашки квадратичную форму Q на «средней» вещественной группе когомологий.

H^{2k}(M,\mathbf {R} )

.

Базовая идентичность продукта в виде чашки

\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})

показывает, что при p = q = 2k произведение симметрично . Он принимает значения в

H^{4k}(M,\mathbf {R} )

.

Если мы также предположим, что M компактно двойственность , Пуанкаре отождествляет это с

H^{0}(M,\mathbf {R} )

который можно отождествить с $\mathbf {R}$ . Следовательно, согласно этим гипотезам, произведение чашки действительно порождает симметричную билинейную форму на H. ^{22 тыс.}( МИСТЕР ) ; и, следовательно, к квадратичной форме Q . Форма Q невырождена из - за двойственности Пуанкаре, поскольку она невырожденно спаривается сама с собой. ^[1] В более общем смысле, таким образом можно определить сигнатуру для любого общего компактного многогранника с 4n -мерной двойственностью Пуанкаре.

Подпись $\sigma (M)$ M , по определению является Q сигнатурой то есть $\sigma (M)=n_{+}-n_{-}$ где любая диагональная матрица, определяющая Q, имеет $n_{+}$ положительные записи и $n_{-}$ отрицательные записи. ^[2] Если M несвязно, его подпись определяется как сумма подписей его связных компонентов.

Другие размеры

Если M имеет размерность, не кратную 4, его сигнатура обычно определяется как 0. В L-теории существуют альтернативные обобщения : сигнатуру можно интерпретировать как 4 k -мерную (односвязную) симметричную L-группу. $L^{4k},$ или как 4 k -мерная квадратичная L-группа $L_{4k},$ и эти инварианты не всегда исчезают для других измерений. — Инвариант Кервера это мод 2 (т. е. элемент $\mathbf {Z} /2$ ) для оснащенных многообразий размерности 4 k +2 (квадратичная L-группа $L_{4k+2}$ ), а инвариант де Рама является инвариантом по модулю 2 многообразий размерности 4 k +1 (симметричная L-группа $L^{4k+1}$ ); остальные размерные L-группы исчезают.

Инвариант Кервера

Когда $d=4k+2=2(2k+1)$ дважды является нечетным целым числом ( единственно четным ), та же конструкция приводит к антисимметричной билинейной форме . Такие формы не имеют инварианта подписи; если они невырождены, любые две такие формы эквивалентны. Однако если взять квадратичное уточнение формы, которое происходит, если имеется оснащенное многообразие , то полученные ε-квадратичные формы не обязательно должны быть эквивалентными, поскольку их отличает инвариант Арфа . Полученный инвариант многообразия называется инвариантом Кервера .

Характеристики

Компактные ориентированные многообразия M и N удовлетворяют $\sigma (M\sqcup N)=\sigma (M)+\sigma (N)$ по определению и удовлетворять $\sigma (M\times N)=\sigma (M)\sigma (N)$ по формуле Кюннета .

Если M — ориентированная граница, то $\sigma (M)=0$ .

Рене Том (1954) показал, что сигнатура многообразия является инвариантом кобордизмов и, в частности, задается некоторой линейной комбинацией его Понтрягина чисел . ^[3] Например, в четырех измерениях это определяется выражением ${\frac {p_{1}}{3}}$ . Фридрих Хирцебрух (1954) нашел явное выражение этой линейной комбинации как L-род многообразия.

Уильям Браудер (1962) доказал, что односвязный компактный многогранник с 4 n -мерной двойственностью Пуанкаре гомотопически эквивалентен многообразию тогда и только тогда, когда его сигнатура удовлетворяет выражению сигнатурной теоремы Хирцебруха .

Теорема Рохлина гласит, что сигнатура 4-мерного односвязного многообразия со спиновой структурой делится на 16.

См. также

Ссылки

^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология (PDF) (Переиздание). Кембридж: Кембриджский университет. Пр. п. 250. ИСБН 978-0521795401 . Проверено 8 января 2017 г.
^ Милнор, Джон; Сташефф, Джеймс (1962). Характерные классы . Анналы математических исследований 246. с. 224. CiteSeerX 10.1.1.448.869 . ISBN 978-0691081229 .
^ Том, Рене. «Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий» (PDF) (на французском языке). Комм. Математика. Гельветичи 28 (1954), С. 17–86 . Проверено 26 октября 2019 г.

[1] Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология (PDF) (Переиздание). Кембридж: Кембриджский университет. Пр. п. 250. ИСБН 978-0521795401 . Проверено 8 января 2017 г.

[2] Милнор, Джон; Сташефф, Джеймс (1962). Характерные классы . Анналы математических исследований 246. с. 224. CiteSeerX 10.1.1.448.869 . ISBN 978-0691081229 .

[3] Том, Рене. «Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий» (PDF) (на французском языке). Комм. Математика. Гельветичи 28 (1954), С. 17–86 . Проверено 26 октября 2019 г.

[1]

[2]

[3]