L -теория

В математике алгебраическая L -теория — это K -теория квадратичных форм ; термин был придуман CTC Wall , где L используется как буква K. после Алгебраическая L -теория, также известная как «эрмитова K -теория»,имеет важное значение в теории хирургии .

Определение

можно определить L Для любого кольца с инволюцией R -группы : квадратичные L -группы $L_{*}(R)$ (Волл) и симметрические L -группы $L^{*}(R)$ (Mishchenko, Ranicki).

Четный размер

Четномерные L -группы $L_{2k}(R)$ определяются как группы Витта над ε-квадратичных форм кольцом R с $\epsilon =(-1)^{k}$. Точнее,

$L_{2k}(R)$

— абелева группа классов эквивалентности $[\psi ]$ невырожденных ε-квадратичных форм $\psi \in Q_{\epsilon }(F)$ над R, где лежащие в его основе R-модули F конечно порождены свободными. Отношение эквивалентности задается стабилизацией относительно гиперболических ε-квадратичных форм :

$[\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}$.

Дополнение в $L_{2k}(R)$ определяется

$[\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].$

Нулевой элемент представлен $H_{(-1)^{k}}(R)^{n}$ для любого $n\in {\mathbb {N} }_{0}$. Обратная сторона $[\psi ]$ является $[-\psi ]$.

Нечетное измерение

Определение нечетномерных L -групп более сложное; дальнейшие подробности и определение нечетномерных L -групп можно найти в ссылках, упомянутых ниже.

Примеры и приложения

-группы L группы $\pi$ представляют собой L -группы $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$ группового кольца $\mathbf {Z} [\pi ]$. В приложениях к топологии $\pi$ это фундаментальная группа $\pi _{1}(X)$ пространства $X$. Квадратичные L -группы $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$играют центральную роль в хирургической классификации гомотопических типов $n$-мерные многообразия размерности $n>4$и в формулировке гипотезы Новикова .

Различие между симметричными L -группами и квадратичными L -группами, обозначенное верхними и нижними индексами, отражает их использование в групповых гомологиях и когомологиях. Групповые когомологии $H^{*}$ циклической группы $\mathbf {Z} _{2}$ имеет дело с неподвижными точками $\mathbf {Z} _{2}$-действие, а групповая гомология $H_{*}$ имеет дело с орбитами $\mathbf {Z} _{2}$-действие; сравнивать $X^{G}$ (фиксированные точки) и $X_{G}=X/G$ (орбиты, частное) для обозначения верхнего/нижнего индекса.

Квадратичные L -группы: $L_{n}(R)$ и симметричные L -группы: $L^{n}(R)$ связаны карта симметризации $L_{n}(R)\to L^{n}(R)$ который является изоморфизмом по модулю 2-кручения и соответствует поляризационным тождествам .

Квадратичные и симметричные L -группы являются 4-кратно периодическими (комментарий Раницкого на стр. 12 о непериодичности симметричных L -групп относится к другому типу L -групп, определяемому с помощью «коротких комплексов»).

В связи с приложениями к классификации многообразий проведены обширные расчетыквадратичный $L$-группы $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$. Для конечного $\pi$используются алгебраические методы и в основном геометрические методы (например, контролируемая топология) для бесконечных $\pi$.

В более общем смысле можно определить L -группы для любой аддитивной категории с цепной двойственностью , как у Раницки (раздел 1).

Целые числа

Односвязные также L -группы являются L -группами целых чисел, так как $L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )$ для обоих $L$ = $L^{*}$ или $L_{*}.$ Для квадратичных L -групп это препятствия для односвязной хирургии.

Квадратичные L -группы целых чисел:

${\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}$

В дважды четной размерности (4k ) квадратичные L -группы обнаруживают сигнатуру ; в одночетной размерности (4k +2 ) L -группы обнаруживают инвариант Арфа (топологически инвариант Кервера ).

Симметричные L -группы целых чисел:

${\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}$

В дважды четной размерности (4k ) симметричные L -группы, как и квадратичные L -группы, обнаруживают сигнатуру; в размерности (4k +1 ) L -группы обнаруживают инвариант де Рама .

Ссылки

• Люк, Вольфганг (2002), «Основное введение в теорию хирургии» (PDF) , Топология многомерных многообразий, № 1, 2 (Триест, 2001) , ICTP Lect. Примечания, т. 9, Абдус Салам, международный. Цент. Теория. Phys., Триест, стр. 1–224, MR   1937016.
• Раницки, Эндрю А. (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-42024-2 , МР   1211640
• Уолл, CTC (1999) [1970], Раницки, Эндрю (ред.), Хирургия на компактных многообразиях (PDF) , Математические обзоры и монографии, том. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0942-6 , МР   1687388