Гипотеза Новикова

Гипотеза Новикова — одна из важнейших нерешённых проблем топологии . Он назван в честь Сергея Новикова , который первоначально выдвинул эту гипотезу в 1965 году.

Гипотеза Новикова касается гомотопической инвариантности некоторых многочленов в классах Понтрягина многообразия , возникающих из фундаментальной группы . Согласно гипотезе Новикова, высшие сигнатуры , являющиеся некоторыми числовыми инвариантами гладких многообразий, являются гомотопическими инвариантами.

Гипотеза доказана для конечно порожденных абелевых групп . Пока неизвестно, верна ли гипотеза Новикова для всех групп. не известно Никаких контрпримеров этой гипотезе .

Точная формулировка гипотезы [ править ]

Позволять $G$ быть дискретной группой и $BG$ его классифицирующее пространство , которое представляет собой пространство Эйленберга – Маклейна типа $K(G,1)$ , и, следовательно, уникален с точностью до гомотопической эквивалентности как комплекс CW. Позволять

f\colon M\rightarrow BG

быть непрерывным отображением замкнутого ориентированного $n$ -мерное многообразие $M$ к $BG$ , и

x\in H^{n-4i}(BG;\mathbb {Q} ).

Новиков рассмотрел числовое выражение, полученное путем сравнения класса когомологий в верхнем измерении с фундаментальным классом $[M]$ и известный как более высокая подпись :

\left\langle f^{*}(x)\cup L_{i}(M),[M]\right\rangle \in \mathbb {Q}

где $L_{i}$ это $i^{\rm {th}}$ Полином Хирцебруха , или иногда (менее описательно) как $i^{\rm {th}}$ $L$ -полиномиальный. Для каждого $i$ , этот многочлен выражается через классы Понтрягина касательного расслоения многообразия. Гипотеза Новикова утверждает, что высшая сигнатура является инвариантом ориентированного гомотопического типа $M$ за каждую такую карту $f$ и каждый такой класс $x$ другими словами, если $h\colon M'\rightarrow M$ - это гомотопическая эквивалентность, сохраняющая ориентацию, более высокая сигнатура, связанная с $f\circ h$ равен тому, который связан с $f$ .

Связь с гипотезой Бореля [ править ]

Гипотеза Новикова эквивалентна рациональной инъективности отображения сборки в L -теории . Гипотеза Бореля о жесткости асферических многообразий эквивалентна тому, что отображение сборки является изоморфизмом.

Ссылки [ править ]

Дэвис, Джеймс Ф. (2000), «Многообразные аспекты гипотезы Новикова» (PDF) , в Каппелле, Сильвен ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан (ред.), Обзоры по теории хирургии. Том. 1 , Анналы математических исследований, Princeton University Press , стр. 195–224, ISBN 978-0-691-04937-3 , МР 1747536
Джон Милнор и Джеймс Д. Сташефф , Характеристические классы, Анналы математических исследований 76, Принстон (1974).
Новиков Сергей П. , Алгебраическая конструкция и свойства эрмитовых аналогов k-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамильтонова формализма. Некоторые приложения к дифференциальной топологии и теории характеристических классов . Изв.Акад.Наук СССР, т. 34, 1970 I N2, стр. 253–288; II: N3, стр. 475–500. Английское резюме в Actes Congr. Стажер. Математика, т. 2, 1970, стр. 39–45.

Внешние ссылки [ править ]