Род мультипликативной последовательности

Кобордизм ( W ; M , N ).

В математике род мультипликативной последовательности — это кольцевой гомоморфизм кольца , гладких компактных многообразий с точностью до эквивалентности ограничения гладкого многообразия с краем (т. е. с точностью до подходящего кобордизма ) в другое кольцо, обычно рациональных чисел имеющее Свойство состоит в том, что они строятся из последовательности полиномов характеристических классов, которые возникают как коэффициенты в формальных степенных рядах с хорошими мультипликативными свойствами.

Определение

Класс ​ $\varphi$ присваивает номер $\Phi (X)$ каждому многообразию X такому, что

1. $\Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)$ (где $\sqcup$ – непересекающийся союз);
2. $\Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)$;
3. $\Phi (X)=0$ если X — граница многообразия с краем.

Может потребоваться, чтобы коллекторы и коллекторы с краем имели дополнительную структуру; например, они могут быть ориентированными, спиновыми, стабильно сложными и т. д. ( см. в списке теорий кобордизма дополнительные примеры ). Значение $\Phi (X)$ находится в некотором кольце, часто в кольце рациональных чисел, хотя это могут быть и другие кольца, например $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ или кольцо модульных форм.

Условия на $\Phi$ можно перефразировать так: $\varphi$ является кольцевым гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с дополнительной структурой) в другое кольцо.

Пример: Если $\Phi (X)$ является сигнатурой ориентированного многообразия X , то $\Phi$ — род ориентированных многообразий до кольца целых чисел.

Род, связанный с формальным степенным рядом.

Основная статья: Мультипликативная последовательность

Последовательность полиномов $K_{1},K_{2},\ldots$ в переменных $p_{1},p_{2},\ldots$ называется мультипликативным, если

$1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )$

подразумевает, что

$\sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}$

Если $Q(z)$ является формальным степенным рядом по z с постоянным членом 1, мы можем определить мультипликативную последовательность

$K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots$

к

$K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots$,

где $p_{k}$ — k -я элементарная симметрическая функция неопределённых $z_{i}$. (Переменные $p_{k}$ на практике часто будут занятия Понтрягина .)

Род $\Phi$ компактных многообразий , , связных , гладких , ориентированных соответствующих Q , задается формулой

$\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )$

где $p_{k}$ являются Понтрягина X . классами Степенной ряд Q называется характеристическим степенным рядом рода $\Phi$. Теорема Рене Тома , которая утверждает, что рациональные числа, тензорированные с помощью кольца кобордизмов, представляют собой полиномиальную алгебру от генераторов степени 4 k для положительных целых чисел k , подразумевает, что это дает биекцию между формальным степенным рядом Q с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, и роды от ориентированных многообразий к рациональным числам.

50 видов

Род L - это род формального степенного ряда.

${{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots$

где цифры $B_{2k}$ являются числами Бернулли . Первые несколько значений:

${\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}$

(подробнее о L -полиномах см. или OEIS : A237111 ). Пусть теперь M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4 n с классами Понтрягина $p_{i}=p_{i}(M)$. Фридрих Хирцебрух показал, что L род M в размерности 4 n оценивается по фундаментальному классу $M$, обозначенный $[M]$, равно $\sigma (M)$, сигнатура M (т. е . сигнатура формы пересечения 2 n -й группы когомологий M ):

$\sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle$.

Теперь это известно как сигнатурная теорема Хирцебруха (или иногда теорема об индексе Хирцебруха ).

Тот факт, что $L_{2}$ всегда является целым для гладкого многообразия, был использован Джоном Милнором, чтобы привести пример 8-мерного PL-многообразия без гладкой структуры . Числа Понтрягина также можно определить для PL-многообразий, и Милнор показал, что его PL-многообразие имело нецелое значение $p_{2}$, и так было не сглаживаемым.

Нанесение на поверхности K3

Поскольку проективные поверхности К3 представляют собой гладкие комплексные многообразия размерности два, их единственным нетривиальным классом Понтрягина является $p_{1}$ в $H^{4}(X)$. Его можно вычислить как -48, используя касательную последовательность и сравнение со сложными классами Chern. С $L_{1}=-16$, у нас есть его подпись. Это можно использовать для вычисления формы ее пересечения как унимодулярной решетки, поскольку она имеет $\operatorname {dim} \left(H^{2}(X)\right)=22$и используя классификацию унимодулярных решеток.

Род Тодд

Род Тодда - это род формального степенного ряда.

${\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}$

с $B_{i}$ как и прежде, числа Бернулли. Первые несколько значений

${\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}$

Род Тодда обладает тем особым свойством, что он присваивает значение 1 всем комплексным проективным пространствам (т. е. $\mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1$), и этого достаточно, чтобы показать, что род Тодда согласуется с арифметическим родом для алгебраических многообразий, поскольку арифметический род также равен 1 для комплексных проективных пространств. Это наблюдение является следствием теоремы Хирцебруха-Римана-Роха и фактически является одним из ключевых разработок, которые привели к формулировке этой теоремы.

гонка

Род Â — это род, связанный с характеристическим степенным рядом.

$Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots$

(Существует также род А, который используется реже и связан с характерным рядом $Q(16z)$.) Первые несколько значений

${\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}$

Род Â спинового многообразия является целым числом и даже целым числом, если размерность равна 4 по модулю 8 (что в размерности 4 подразумевает теорему Рохлина ) – для общих многообразий род Â не всегда является целым числом. Это было доказано Хирцебрухом и Арманом Борелем ; этот результат был одновременно мотивирован и позже объяснен теоремой Атьи–Зингера об индексе , которая показала, что Â род спинового многообразия равен индексу его оператора Дирака .

Объединив этот результат об индексе с формулой Вейценбока для лапласиана Дирака, Андре Лихнерович пришел к выводу, что если компактное спиновое многообразие допускает метрику с положительной скалярной кривизной, его род Â должен быть равен нулю. Это препятствует положительной скалярной кривизне только в том случае, когда размерность кратна 4, но позже Найджел Хитчин обнаружил аналогичное явление. $\mathbb {Z} _{2}$-значное препятствие в измерениях 1 или 2 по модулю 8. Эти результаты по существу точны. Действительно, Михаил Громов , Х. Блейн Лоусон и Стефан Штольц позже доказали, что род В и Хитчина $\mathbb {Z} _{2}$-значный аналог являются единственным препятствием к существованию метрик положительной скалярной кривизны на односвязных спиновых многообразиях размерности больше или равной 5.

Эллиптический род

Род называется эллиптическим, если степенной ряд $Q(z)=z/f(z)$ удовлетворяет условию

${f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}$

для констант $\delta$ и $\epsilon$. (Как обычно, Q — характеристический степенной ряд рода.)

Одним явным выражением для f ( z ) является

$f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)$

где

$a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}$

sn – эллиптическая функция Якоби.

Примеры:

• $\delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)$. Это L-род.
• $\delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)$. Это род В.
• $\epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}$. Это обобщение L-рода.

Первые несколько значений таких родов:

${\frac {1}{3}}\delta p_{1}$

${\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]$

${\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]$

Пример (эллиптический род для кватернионной проективной плоскости):

${\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}$

Пример (эллиптический род для октонионной проективной плоскости или плоскости Кэли):

${\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}$

Род Виттен

Род Виттена - это род, связанный с характерным степенным рядом.

$Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)$

где σ _L — сигма-функция Вейерштрасса для решетки L , а G — кратное ряду Эйзенштейна .

Род Виттена 4k - мерного компактного ориентированного гладкого спинового многообразия с исчезающим первым классом Понтрягина представляет собой модулярную форму веса 2k с целыми коэффициентами Фурье.

См. также

• Теорема Атьи – Зингера об индексе
• Список теорий когомологии

Ссылки

• Топологические методы Фридриха Хирцебруха в алгебраической геометрии ISBN   3-540-58663-6 Текст оригинальной немецкой версии: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf.
• Фридрих Хирцебрух, Томас Бергер, Райнер Юнг Многообразия и модульные формы ISBN   3-528-06414-5
• Милнор, Сташефф, Характеристические классы . ISBN   0-691-08122-0
• А. Ф. Харшиладзе (2001) [1994], «Класс Понтрягина» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• «Эллиптические роды» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]