Функции Вейерштрасса

О фрактальной непрерывной функции без определенной производной см. функцию Вейерштрасса .

В математике — функции Вейерштрасса это специальные функции комплексной переменной , вспомогательные по отношению к эллиптической функции Вейерштрасса . Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Связь между сигмой, дзета и $\wp$ функции аналогичны функциям синуса, котангенса и квадрата косеканса: логарифмическая производная синуса представляет собой котангенс, производная которого отрицательна в квадрате косеканса.

Сигма-функция Вейерштрасса

График сигма-функции с использованием раскраски домена .

связанная Сигма-функция Вейерштрасса, с двумерной решеткой $\Lambda \subset \mathbb {C}$ определяется как продукт

${\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}$

где $\Lambda ^{*}$ обозначает $\Lambda -\{0\}$ или $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ являются фундаментальной парой периодов .

Благодаря тщательному манипулированию теоремой факторизации Вейерштрасса , поскольку она также относится к синусоидальной функции, можно получить еще одно потенциально более управляемое определение бесконечного произведения:

$\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)$

для любого $\{i,j\}\in \{1,2,3\}$ с $i\neq j$ и где мы использовали обозначение $\eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )$ (см. дзета-функцию ниже).

Дзета-функция Вейерштрасса

График дзета-функции с использованием раскраски домена

определяется Дзета-функция Вейерштрасса суммой

$\operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).$

Дзета-функция Вейерштрасса представляет собой логарифмическую производную сигма-функции. Дзета-функция может быть переписана как:

$\operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}$

где ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ — ряд Эйзенштейна веса 2 k + 2.

Производная дзета-функции равна $-\wp (z)$, где $\wp (z)$ – эллиптическая функция Вейерштрасса .

Дзета-функцию Вейерштрасса не следует путать с дзета-функцией Римана в теории чисел.

Эта-функция Вейерштрасса

определяется Эта-функция Вейерштрасса как

$\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C}$ и любой w в решетке $\Lambda$

Это четко определено, т.е. $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ зависит только от вектора решетки w . Эта-функция Вейерштрасса не следует путать ни с эта-функцией Дедекинда, ни с эта-функцией Дирихле .

℘-функция Вейерштрасса

График p-функции с использованием раскраски домена

связана p-функция Вейерштрасса с дзета-функцией соотношением

$\operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C}$

℘-функция Вейерштрасса — это четная эллиптическая функция порядка N=2 с двойным полюсом в каждой точке решетки и без других полюсов.

Вырожденный случай

Рассмотрим ситуацию, когда один период является реальным, и мы можем масштабировать его до $\omega _{1}=2\pi$ а другой доведен до предела $\omega _{2}\rightarrow i\infty$ так что функции являются только однопериодическими. Соответствующие инварианты: $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ дискриминанта $\Delta =0$. Тогда у нас есть $\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}$ и, таким образом, из приведенного выше определения бесконечного произведения следует следующее равенство:

$\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}$

Обобщение для других синусоидальных функций на других двоякопериодических решетках:

$f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}$

Эта статья включает в себя материал из сигма-функции Вейерштрасса на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .