Эта-функция Дирихле

Чтобы узнать о модульной форме, см. эта-функцию Дедекинда .

Цветовое представление эта-функции Дирихле. Он генерируется как график Matplotlib с использованием версии метода раскраски домена .

В математике , в области аналитической теории чисел , эта-функция Дирихле определяется следующим рядом Дирихле , который сходится для любого комплексного числа, имеющего действительную часть > 0: $$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots .$$

Этот ряд Дирихле представляет собой знакопеременную сумму, соответствующую разложению в ряд Дирихле Римана дзета- функции ζ ( s ) — и по этой причине эта-функция Дирихле также известна как знакопеременная дзета-функция , также обозначаемая ζ *( s ). Имеет место следующее соотношение: $$\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$$

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифмов .

Хотя разложение в ряд Дирихле для эта-функции сходится только для любого комплексного числа s с действительной частью > 0, оно суммируется по Абелю для любого комплексного числа. Это служит для определения эта-функции как целой функции . (Вышеупомянутое соотношение и тот факт, что эта-функция является целой и $\eta (1)\neq 0$ вместе показывают, что дзета-функция мероморфна с простым полюсом при s = 1 и, возможно, дополнительными полюсами в других нулях множителя. $1-2^{1-s}$, хотя на самом деле этих гипотетических дополнительных полюсов не существует.)

Аналогично, мы можем начать с определения $$\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}$$которая также определена в области положительной действительной части ( $\Gamma (s)$ представляет гамма-функцию ). Это дает эта-функцию как преобразование Меллина .

Харди дал простое доказательство функционального уравнения для эта-функции: который $$\eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).$$

Отсюда сразу же появляется функциональное уравнение дзета-функции, а также еще один способ распространить определение эта на всю комплексную плоскость.

Нули

эта К нулям -функции относятся все нули дзета-функции: отрицательные четные целые числа (действительные эквидистантные простые нули); нули вдоль критической линии, ни один из которых не известен как кратный и более 40% из которых оказались простыми, а также гипотетические нули в критической полосе, но не на критической линии, которые, если они существуют, должны иметь место. в вершинах прямоугольников, симметричных относительно оси x и критической линии и кратность которых неизвестна. Кроме того, фактор $1-2^{1-s}$ добавляет бесконечное количество комплексных простых нулей, расположенных в равноудаленных точках линии $\Re (s)=1$, в $s_{n}=1+2n\pi i/\ln(2)$ где n — любое ненулевое целое число.

По гипотезе Римана нули эта-функции располагались бы симметрично относительно вещественной оси на двух параллельных прямых. $\Re (s)=1/2,\Re (s)=1$, и на перпендикулярной полупрямой, образованной отрицательной вещественной осью.

Задача Ландау с ζ ( s ) = η ( s )/0 и решения

В уравнении η ( s ) = (1 − 2 ^{1− с} ) ζ ( s ) , «полюс ζ ( s ) при s = 1 сокращается нулем другого множителя» (Титчмарш, 1986, стр. 17), и в результате η (1) не является ни бесконечным, ни ноль (см. § Частные значения ). Однако в уравнении $$\zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}},$$η должно быть равно нулю во всех точках $s_{n}=1+n{\frac {2\pi }{\ln {2}}}i,n\neq 0,n\in \mathbb {Z}$, где знаменатель равен нулю, если дзета-функция Римана там аналитична и конечна. Проблема доказательства этого без определения дзета-функции была обозначена и оставлена ​​открытой Э. Ландау в его трактате по теории чисел 1909 года: «отличен ли эта-ряд от нуля или нет в точках $s_{n}\neq 1$, то есть, являются ли это полюсами дзета или нет, здесь не совсем ясно».

Первое решение проблемы Ландау было опубликовано почти 40 лет спустя Д.В. Виддером в его книге «Преобразование Лапласа». Он использует следующее простое число 3 вместо 2 для определения ряда Дирихле, аналогичного эта-функции, которую мы будем называть $\lambda$ функция, определенная для $\Re (s)>0$ и еще с некоторыми нулями $\Re (s)=1$, но не равны таковым у эта.

Косвенное доказательство η ( s _n ) = 0 по Виддеру

$$\lambda (s)=\left(1-{\frac {3}{3^{s}}}\right)\zeta (s)=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}\right)-{\frac {2}{3^{s}}}+\left({\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}\right)-{\frac {2}{6^{s}}}+\cdots$$

Если $s$ веществен и строго положителен, ряд сходится, поскольку перегруппированные члены меняются по знаку и уменьшаются по абсолютной величине до нуля. Согласно теореме о равномерной сходимости рядов Дирихле, впервые доказанной Каэном в 1894 году, $\lambda (s)$ функция тогда аналитична для $\Re (s)>0$, область, включающая строку $\Re (s)=1$. Теперь мы можем правильно определить, где знаменатели не равны нулю, $$\zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}$$или $$\zeta (s)={\frac {\lambda (s)}{1-{\frac {3}{3^{s}}}}}$$

С ${\frac {\log 3}{\log 2}}$ иррационально, знаменатели в обоих определениях одновременно не равны нулю, за исключением $s=1$и $\zeta (s)\,$ Таким образом, функция четко определена и аналитична для $\Re (s)>0$ кроме как в $s=1$. Наконец, мы косвенно получаем, что $\eta (s_{n})=0$ когда $s_{n}\neq 1$: $$\eta (s_{n})=\left(1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}\right)\zeta (s_{n})={\frac {1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}}{1-{\frac {3}{3^{s_{n}}}}}}\lambda (s_{n})=0.$$

Элементарное прямое и $\zeta \,$-независимое доказательство исчезновения эта-функции при $s_{n}\neq 1$ был опубликован Дж. Сондоу в 2003 году. Он выражает значение эта-функции как предел специальных сумм Римана, связанных с интегралом, который, как известно, равен нулю, используя соотношение между частичными суммами ряда Дирихле, определяющими эта- и дзета-функции. для $\Re (s)>1$.

Прямое доказательство η ( s _n ) = 0 Сондоу

С помощью некоторой простой алгебры, выполняемой над конечными суммами, мы можем написать для любого комплексного s $${\begin{aligned}\eta _{2n}(s)&=\sum _{k=1}^{2n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{s}}}\\&=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {(-1)^{2n-1}}{{(2n)}^{s}}}\\[2pt]&=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}-2\left({\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2}{2^{s}}}\left({\frac {1}{{(n+1)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2n}{{(2n)}^{s}}}\,{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {1}{{(1+1/n)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(1+n/n)}^{s}}}\right).\end{aligned}}$$

Теперь, если $s=1+it$ и $2^{s}=2$, множитель $\zeta _{2n}(s)$ равен нулю, и $$\eta _{2n}(s)={\frac {1}{n^{it}}}R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right),$$где Rn( f ( x ), a , b ) обозначает специальную сумму Римана, аппроксимирующую интеграл от f ( x ) по [ a , b ] .Для t = 0 , т. е. s = 1 , мы получаем $$\eta (1)=\lim _{n\to \infty }\eta _{2n}(1)=\lim _{n\to \infty }R_{n}\left({\frac {1}{1+x}},0,1\right)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\log 2\neq 0.$$

В противном случае, если $t\neq 0$, затем $|n^{1-s}|=|n^{-it}|=1$, что дает $$|\eta (s)|=\lim _{n\to \infty }|\eta _{2n}(s)|=\lim _{n\to \infty }\left|R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right)\right|=\left|\int _{0}^{1}{\frac {dx}{{(1+x)}^{s}}}\right|=\left|{\frac {2^{1-s}-1}{1-s}}\right|=\left|{\frac {1-1}{-it}}\right|=0.$$

Предполагая $\eta (s_{n})=0$, для каждой точки $s_{n}\neq 1$ где $2^{s_{n}}=2$, теперь мы можем определить $\zeta (s_{n})\,$ по непрерывности следующим образом: $$\zeta (s_{n})=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{s-s_{n}}}\,{\frac {s-s_{n}}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}={\frac {\eta '(s_{n})}{\log(2)}}.$$

Кажущаяся сингулярность дзета в $s_{n}\neq 1$ теперь удалена, и доказано, что дзета-функция аналитична всюду в $\Re {s}>0$, кроме как в $s=1$ где $$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=\lim _{s\to 1}{\frac {\eta (s)}{\frac {1-2^{1-s}}{s-1}}}={\frac {\eta (1)}{\log 2}}=1.$$

Интегральные представления

Можно перечислить ряд интегральных формул, включающих эта-функцию. Первый следует из замены переменной интегрального представления гамма-функции (Абель, 1823), дающей преобразование Меллина , которое может быть выражено разными способами в виде двойного интеграла (Сондоу, 2005). Это действительно для $\Re s>0.$$${\begin{aligned}\Gamma (s)\eta (s)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}}\,dy\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}dr\,dt=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\left(-\log(xy)\right)^{s-2}}{1+xy}}\,dx\,dy.\end{aligned}}$$

Преобразование Коши-Шлёмильха (Amdeberhan, Moll et al., 2010) можно использовать для доказательства этого другого представления, справедливого для $\Re s>-1$. Интегрирование по частям первого интеграла, приведенного выше в этом разделе, дает другой вывод.

$$2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2s+1}}{\cosh ^{2}(x^{2})}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{\cosh ^{2}(t)}}\,dt.$$

Следующая формула, принадлежащая Линделёфу (1905), справедлива на всей комплексной плоскости, когда главное значение берется за логарифм, неявный в экспоненте. $$\eta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}\,dt.$$Это соответствует формуле Йенсена (1895) для всей функции $(s-1)\,\zeta (s)$, справедливый на всей комплексной плоскости и также доказанный Линделёфом. $$(s-1)\zeta (s)=2\pi \,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^{2}}}\,dt.$$«Эту формулу, замечательную своей простотой, можно легко доказать с помощью теоремы Коши, столь важной для суммирования рядов», — писал Йенсен (1895). Аналогичным образом, преобразуя пути интегрирования в контурные интегралы, можно получить другие формулы для эта-функции, такие как это обобщение (Milgram, 2013), справедливое для $0<c<1$ и все $s$: $$\eta (s)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(c+it)^{-s}}{\sin {(\pi (c+it))}}}\,dt.$$Нули на отрицательной действительной оси аккуратно исключаются, делая $c\to 0^{+}$ (Milgram, 2013), чтобы получить формулу, действительную для $\Re s<0$: $$\eta (s)=-\sin \left({\frac {s\pi }{2}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-s}}{\sinh {(\pi t)}}}\,dt.$$

Численные алгоритмы

Большинство методов ускорения рядов , разработанных для чередующихся рядов, можно с успехом применить для оценки эта-функции. Один особенно простой, но разумный метод — применить преобразование Эйлера чередующихся рядов , чтобы получить $$\eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.$$

Обратите внимание, что второе внутреннее суммирование представляет собой прямую разность .

Метод Борвейна

Питер Борвейн использовал аппроксимации с использованием полиномов Чебышева , чтобы разработать метод эффективной оценки эта-функции. Если $$d_{k}=n\sum _{\ell =0}^{k}{\frac {(n+\ell -1)!4^{\ell }}{(n-\ell )!(2\ell )!}}$$затем $$\eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),$$где для $\Re (s)\geq {\frac {1}{2}}$ член ошибки γ _n ограничен $$|\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp \left({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|\right).$$

Фактор $3+{\sqrt {8}}\approx 5.8$ в оценке ошибки указывает на то, что ряд Борвейна сходится довольно быстро с увеличением n .

Особые ценности

Дополнительная информация: Дзета-константа.

• ч (0) = 1 ⁄ 2 , сумма Абеля ряда Гранди 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·.
• η (−1) = 1 ⁄ 4 , сумма Абеля 1 - 2 + 3 - 4 + · · · .
• Для k целое число > 1, если B _k - k -е число Бернулли , то $$\eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.$$

Также:

• $\eta (1)=\ln 2$, это знакопеременный гармонический ряд
• $\eta (2)={\pi ^{2} \over 12}$ ОЭИС : A072691
• $\eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0.94703283$
• $\eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0.98555109$
• $\eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0.99623300$
• $\eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0.99903951$
• $\eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0.99975769$

Общая форма для четных положительных целых чисел: $$\eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}\left(2^{2n-1}-1\right)} \over {(2n)!}}.$$

Принимая предел $n\to \infty$, получается $\eta (\infty )=1$.

Производные

Производная по параметру s равна $s\neq 1$$$\eta '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n^{s}}}=2^{1-s}\ln(2)\,\zeta (s)+(1-2^{1-s})\,\zeta '(s).$$$$\eta '(1)=\ln(2)\,\gamma -\ln(2)^{2}\,2^{-1}$$

Ссылки

• Дженсен, JLWV (1895). «Замечания по поводу ответов гг. Франеля и Клюйвера» . Посредник математиков . II : 346].
• Линделеф, Эрнст (1905). Вычисление вычетов и его приложения к теории функций . Готье-Виллар. п. 103 .
• Виддер, Дэвид Вернон (1946). Преобразование Лапласа . Издательство Принстонского университета. п. 230 .
• Ландау, Эдмунд, Справочник по доктрине распределения простых чисел, том первый, Берлин, 1909, с. 160. (Второе издание Челси, Нью-Йорк, 1953, стр. 160, 933)
• Титчмарш, ЕС (1986). Теория дзета-функции Римана, второе исправленное издание (Хит-Браун). Издательство Оксфордского университета.
• Конри, Дж. Б. (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии». Журнал для королевы и математики . 1989 (399): 1–26. дои : 10.1515/crll.1989.399.1 . S2CID   115910600 .
• Кнопп, Конрад (1990) [1922]. Теория и применение бесконечных рядов . Дувр. ISBN  0-486-66165-2 .
• Борвейн, П., Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана. Архивировано 26 июля 2011 г. в Wayback Machine , Конструктивный экспериментальный и нелинейный анализ, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
• Сондоу, Джонатан (2005). «Двойные интегралы для постоянной Эйлера и ln 4/π и аналог формулы Хаджикостаса». амер. Математика. Ежемесячно . 112 : 61–65. arXiv : math.CO/0211148 . амер. Математика. Ежемесячник 112 (2005) 61–65, формула 18.
• Сондоу, Джонатан (2003). «Нули знакопеременной дзета-функции на прямой R(s)=1». амер. Математика. Ежемесячно . 110 : 435–437. arXiv : math/0209393 . амер. Математика. Ежемесячно, 110 (2003) 435–437.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2003). «Численная оценка дзета-функции Римана» (PDF) .
• Амдеберхан, Т.; Глассер, ML; Джонс, MC; Молл, В.Х.; Поузи, Р.; Варела, Д. (2010). «Преобразование Коши – Шломильха». arXiv : 1004.2445 [ math.CA ]. п. 12.
• Милгрэм, Майкл С. (2012). «Интегральные и серийные представления дзета-функции Римана, эта-функции Дирихле и смеси связанных результатов» . Журнал математики . 2013 : 1–17. arXiv : 1208.3429 . дои : 10.1155/2013/181724 . .