серия Эйзенштейна

Ряд Эйзенштейна , названный в честь немецкого математика Готхольда Эйзенштейна . ^[1] — это особые модульные формы с разложением в бесконечный ряд , которые можно записать непосредственно. Первоначально определенные для модулярной группы , ряды Эйзенштейна могут быть обобщены в теории автоморфных форм .

Серия Эйзенштейна для модульной группы [ править ]

Пусть $τ$ — комплексное число со строго положительной мнимой частью . Определим голоморфный ряд Эйзенштейна $G 2 k (τ)$ веса $2 k$ , где $k \geq 2$ — целое число, следующим рядом: ^[2]

G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции от $τ$ в верхней полуплоскости , а приведенное ниже его разложение Фурье показывает, что он продолжается до голоморфной функции при $τ = i \infty$ . Примечательно, что ряд Эйзенштейна представляет собой модулярную форму . Действительно, ключевым свойством является его $\mathbb {Z}$ -ковариантность. Явно, если $\mathbb {Z}$ и $ad - bc = 1$ , тогда

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )

(Доказательство)

{\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}

If $ad - bc = 1$ then

{\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}

so that

(m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}

is a bijection $\mathbb {Z}$ , i.e.:

\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )

Overall, if $ad - bc = 1$ then

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )

and

G 2 k

is therefore a modular form of weight

2 k

. Note that it is important to assume that

k \geq 2

, otherwise it would be illegitimate to change the order of summation, and the

\mathbb {Z}

-invariance would not hold. In fact, there are no nontrivial modular forms of weight 2. Nevertheless, an analogue of the holomorphic Eisenstein series can be defined even for

k = 1

, although it would only be a quasimodular form.

Обратите внимание, что $k \geq 2$ необходимо для того, чтобы ряд сходился абсолютно, тогда как $k$ должно быть четным, в противном случае сумма обращается в нуль, поскольку $члены (- m, - n)$ и $(m, n)$ сокращаются. При $k = 2$ ряд сходится, но не является модулярной формой.

с модульными Связь инвариантами

Модульные инварианты $g 2$ и $g 3$ эллиптической кривой задаются первыми двумя рядами Эйзенштейна: ^[3]

{\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}

В статье о модульных инвариантах приводятся выражения этих двух функций в терминах тэта-функций .

Рекуррентное отношение [ править ]

Любая голоморфная модулярная форма модулярной группы ^[4] можно записать в виде многочлена от $G 4$ и $G 6$ . более высокого порядка $В частности, G 2 k$ может быть записан в терминах $G 4$ и $G 6$ посредством рекуррентного соотношения . Пусть $d k = (2 k + 3) k! G 2 k + 4$ , так, например, $d 0 = 3 G 4$ и $d 1 = 5 G 6$ . Тогда $d k$ удовлетворяют соотношению

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}

для всех $n \geq 0$ . Здесь, $(н k)$ – биномиальный коэффициент .

d $встречаются k$ в разложении в ряд эллиптических функций Вейерштрасса :

{\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}

Ряд Фурье [ править ]

Определим $q = e 2р это$ . (В некоторых старых книгах $q$ определяется как имя $q = e яма $ , но $q = e 2 кв. фута$ теперь является стандартом в теории чисел.) Тогда ряд Фурье Эйзенштейна ^[5] сериал это

G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)

где коэффициенты $c 2 k$ имеют вид

{\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}

Здесь $B n$ — числа Бернулли , $ζ (z)$ — дзета-функция Римана , а $σ p (n)$ — функция суммы делителей , сумма $p$ -х степеней делителей числа $n$ . В частности, имеется

{\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}

Суммирование по $q$ можно представить в виде ряда Ламберта ; то есть у человека есть

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

для произвольного комплекса $| д | <1$ и $а$ . При работе с $q$ -разложением ряда Эйзенштейна часто вводятся альтернативные обозначения:

{\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}

Личности, связанные Эйзенштейна с серией

Как тета-функции [ править ]

Источник: ^[6]

Учитывая $q = e 2 кв. фута$ , позволять

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}

и определим тета-функции Якоби , которые обычно используют имя $e яма $ ,

{\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}

где $θ m$ и $ϑ ij$ — альтернативные обозначения. Тогда мы имеем симметричные отношения,

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}

Из базовой алгебры сразу следует

E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}

выражение, связанное с модульным дискриминантом ,

\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}

С другой стороны, третье симметричное соотношение является следствием равенства $E 8 = E 24$ и $а 4 - б 4 + с 4 = 0$ .

Изделия серии Эйзенштейна [ править ]

Ряды Эйзенштейна представляют собой наиболее явные примеры модулярных форм полной модулярной группы $\mathbb {Z}$ . Поскольку пространство модулярных форм веса $2 k$ имеет размерность 1 для $2 k = 4, 6, 8, 10, 14$ , различные произведения рядов Эйзенштейна, имеющие эти веса, должны быть равны с точностью до скалярного кратного. Фактически получаем тождества: ^[7]

E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.

Используя $приведенные выше q$ -разложения ряда Эйзенштейна, их можно переформулировать как тождества, включающие суммы степеней делителей:

\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},

следовательно

\sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),

и аналогично для остальных. Тэта -функция восьмимерной четной унимодулярной решетки $Γ$ представляет собой модулярную форму веса 4 для полной модулярной группы, которая дает следующие тождества:

\theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)

для числа $r Γ (n)$ векторов квадрата длины $2 n$ в решетке корней типа $E 8$ .

Подобные методы, включающие голоморфные ряды Эйзенштейна, скрученные характером Дирихле, дают формулы для количества представлений положительного целого числа $n$ ' как суммы двух, четырех или восьми квадратов через делители $n$ .

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение, все высшие $E 2 k$ можно выразить в виде полиномов от $E 4$ и $E 6$ . Например:

{\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}

Многие отношения между произведениями рядов Эйзенштейна можно элегантно записать, используя определители Ханкеля , например тождество Гарвана.

\left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}

где

\Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}

– модульный дискриминант . ^[8]

Личности Рамануджана [ править ]

Шриниваса Рамануджан привел несколько интересных тождеств между первыми сериями Эйзенштейна, включающими дифференциацию. ^[9] Позволять

{\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}

затем

{\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}

Эти тождества, как и тождества между рядами, дают тождества арифметической свертки, включающие функцию суммы делителей . Следуя Рамануджану, чтобы представить эти тождества в простейшей форме, необходимо расширить область определения $σ p (n)$ , включив в нее нуль, полагая

{\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}

Тогда, например

\sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).

Другие тождества этого типа, но не связанные напрямую с предыдущими соотношениями между $функциями L$ , $M$ и $N$ , были доказаны Рамануджаном и Джузеппе Мелфи . ^[10]^[11] как например

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}

Обобщения [ править ]

Автоморфные формы обобщают идею модулярных форм для общих групп Ли ; и ряды Эйзенштейна обобщаются аналогичным образом.

Определив $OK как$ кольцо целых чисел , полностью вещественного поля алгебраических чисел $затем$ определяют модулярную группу Гильберта – Блюменталя как $PSL(2, OK K)$ . Тогда можно связать ряд Эйзенштейна с каждым возвратом модулярной группы Гильберта – Блюменталя.

Ссылки [ править ]

^ «Готхольд Эйзенштейн — Биография» . История математики . Проверено 5 сентября 2023 г.
^ Гекелер, Эрнст-Ульрих (2011). «ПАРАЭЙЗЕНШТЕЙНОВСКИЙ РЯД ДЛЯ МОДУЛЬНОЙ ГРУППЫ GL(2, 𝔽q[T])» . Тайваньский математический журнал . 15 (4): 1463–1475. дои : 10.11650/twjm/1500406358 . ISSN 1027-5487 . S2CID 119499748 .
^ Оберс, Н.А.; Пиолин, Б. (07 марта 2000 г.). «Ряд Эйзенштейна по теории струн». Классическая и квантовая гравитация . 17 (5): 1215–1224. arXiv : hep-th/9910115 . дои : 10.1088/0264-9381/17/5/330 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250864942 .
^ Мертенс, Майкл Х.; Ролен, Ларри (2015). «Лакунарные рецидивы для рядов Эйзенштейна» . Исследования в области теории чисел . 1 . arXiv : 1504.00356 . дои : 10.1007/s40993-015-0010-x . ISSN 2363-9555 .
^ Карел, Мартин Л. (1974). «Коэффициенты Фурье некоторых рядов Эйзенштейна» . Анналы математики . 99 (1): 176–202. дои : 10.2307/1971017 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1971017 .
^ «Как доказать идентичность этого ряда с участием ряда Эйзенштейна?» . Математический обмен стеками . Проверено 5 сентября 2023 г.
^ Диксон, Мартин; Нейрурер, Майкл (2018). «Произведения рядов Эйзенштейна и разложения Фурье модульных форм на точках возврата». Журнал теории чисел . 188 : 137–164. arXiv : 1603.00774 . дои : 10.1016/j.jnt.2017.12.013 . S2CID 119614418 .
^ Милн, Стивен С. (2000). «Определители Ханкеля ряда Эйзенштейна». arXiv : math/0009130v3 . В статье используется неэквивалентное определение понятия $\Delta$ , но это учтено в этой статье.
^ Бхуван, EN; Васуки, КР (24 июня 2019 г.). «О личности пятнадцатого уровня из серии Эйзенштейна Рамануджана» . Труды - Математические науки . 129 (4): 57. дои : 10.1007/s12044-019-0498-4 . ISSN 0973-7685 . S2CID 255485301 .
^ Рамануджан, Шриниваса (1962). «О некоторых арифметических функциях». Сборник статей . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. стр. 136–162.
^ Мелфи, Джузеппе (1998). «О некоторых модульных тождествах». Теория чисел, диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты: материалы международной конференции, проходившей в Эгере, Венгрия . Уолтер де Грутье и компания, стр. 371–382.

Дальнейшее чтение [ править ]

Ахиезер, Наум Ильич (1970). Элементы теории эллиптических функций . Москва. {{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) Translated into English as Элементы теории эллиптических функций . Переводы математических монографий AMS 79 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . 1990. ISBN 0-8218-4532-2 .
Апостол, Том М. (1990). Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер . ISBN 0-387-97127-0 .
Чан, Хэн Хуат; Онг, Яу Линь (1999). «О серии Эйзенштейна» (PDF) . Учеб. амер. Математика. Соц . 127 (6): 1735–1744. дои : 10.1090/S0002-9939-99-04832-7 .
Иванец, Хенрик (2002). Спектральные методы автоморфных форм . Аспирантура по математике 53 (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . гл. 3. ISBN 0-8218-3160-7 .
Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Тексты для аспирантов по математике 7 (перевод ред.). Нью-Йорк и Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 9780387900407 .

[1] «Готхольд Эйзенштейн — Биография» . История математики . Проверено 5 сентября 2023 г.

[2] Гекелер, Эрнст-Ульрих (2011). «ПАРАЭЙЗЕНШТЕЙНОВСКИЙ РЯД ДЛЯ МОДУЛЬНОЙ ГРУППЫ GL(2, 𝔽q[T])» . Тайваньский математический журнал . 15 (4): 1463–1475. дои : 10.11650/twjm/1500406358 . ISSN 1027-5487 . S2CID 119499748 .

[3] Оберс, Н.А.; Пиолин, Б. (07 марта 2000 г.). «Ряд Эйзенштейна по теории струн». Классическая и квантовая гравитация . 17 (5): 1215–1224. arXiv : hep-th/9910115 . дои : 10.1088/0264-9381/17/5/330 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250864942 .

[4] Мертенс, Майкл Х.; Ролен, Ларри (2015). «Лакунарные рецидивы для рядов Эйзенштейна» . Исследования в области теории чисел . 1 . arXiv : 1504.00356 . дои : 10.1007/s40993-015-0010-x . ISSN 2363-9555 .

[5] Карел, Мартин Л. (1974). «Коэффициенты Фурье некоторых рядов Эйзенштейна» . Анналы математики . 99 (1): 176–202. дои : 10.2307/1971017 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1971017 .

[6] «Как доказать идентичность этого ряда с участием ряда Эйзенштейна?» . Математический обмен стеками . Проверено 5 сентября 2023 г.

[7] Диксон, Мартин; Нейрурер, Майкл (2018). «Произведения рядов Эйзенштейна и разложения Фурье модульных форм на точках возврата». Журнал теории чисел . 188 : 137–164. arXiv : 1603.00774 . дои : 10.1016/j.jnt.2017.12.013 . S2CID 119614418 .

[8] Милн, Стивен С. (2000). «Определители Ханкеля ряда Эйзенштейна». arXiv : math/0009130v3 . В статье используется неэквивалентное определение понятия $\Delta$ , но это учтено в этой статье.

[9] Бхуван, EN; Васуки, КР (24 июня 2019 г.). «О личности пятнадцатого уровня из серии Эйзенштейна Рамануджана» . Труды - Математические науки . 129 (4): 57. дои : 10.1007/s12044-019-0498-4 . ISSN 0973-7685 . S2CID 255485301 .

[10] Рамануджан, Шриниваса (1962). «О некоторых арифметических функциях». Сборник статей . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. стр. 136–162.

[11] Мелфи, Джузеппе (1998). «О некоторых модульных тождествах». Теория чисел, диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты: материалы международной конференции, проходившей в Эгере, Венгрия . Уолтер де Грутье и компания, стр. 371–382.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]