Ном (математика)

В математике , а именно в теории эллиптических функций , ном — это специальная функция , принадлежащая к неэлементарным функциям. Эта функция имеет большое значение при описании эллиптических функций, особенно при описании модулярного тождества тэта -функции Якоби , эллиптических трансцендентов Эрмита и модулярных функций Вебера , которые используются для решения уравнений высших степеней.

Определение

Функция nome имеет вид

$q=\mathrm {e} ^{-{\pi K'/K}}=\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi \omega _{2}/\omega _{1}}=\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\pi \tau }\,$

где $K$ и $iK'$ представляют собой квартальные периоды , а $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$ являются фундаментальной парой периодов и ${\textstyle \tau ={\frac {iK'}{K}}={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ - отношение полупериода . Ном можно рассматривать как функцию любой из этих величин; и наоборот, любую из этих величин можно рассматривать как функцию нома. Каждый из них однозначно определяет остальные, когда $0<q<1$. То есть, когда $0<q<1$, отображения между этими различными символами являются как 1-к-1, так и на, и поэтому могут быть инвертированы: четверти периодов, полупериоды и отношение полупериодов могут быть явно записаны как функции нома. Для общего $q\in \mathbb {C}$ с $0<|q|<1$, $\tau$ не является однозначной функцией $q$. Явные выражения для квартальных периодов в терминах нома приведены в связанной статье.

Условно, квартальные периоды $K$ и $iK'$ обычно используются только в контексте эллиптических функций Якоби , тогда как полупериоды $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$ обычно используются только в контексте эллиптических функций Вейерштрасса . Некоторые авторы, в частности Апостол, используют $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$ для обозначения целых периодов, а не полупериодов.

Ном часто используется как значение, с помощью которого можно описать эллиптические функции и модульные формы; с другой стороны, его также можно рассматривать как функцию, поскольку четвертьпериоды являются функциями эллиптического модуля $k$: $q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}$.

Дополнительное имя $q_{1}$ дается

$q_{1}(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K(k)/K'(k)}.\,$

Иногда обозначения $q=\mathrm {e} ^{{2{\rm {i}}}\pi \tau }$ используется для квадрата нома.

Упомянутые функции $K$ и $K'$ называются полными эллиптическими интегралами первого рода. Они определяются следующим образом:

$K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}}\mathrm {d} y$

$K'(x)=K({\sqrt {1-x^{2}}})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-(1-x^{2})\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi$

Приложения

Ном решает следующее уравнение:

$|k|={\frac {\vartheta _{10}^{2}[0,q(k)]}{\vartheta _{00}^{2}[0,q(k)]}}\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}$

Этот аналог справедлив для дополнительного модуля Пифагора:

$k'={\sqrt {1-k^{2}}}={\frac {\vartheta _{01}^{2}[0,q(k)]}{\vartheta _{00}^{2}[0,q(k)]}}\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}$

где $\vartheta _{10},\theta _{00}$ являются полными тэта-функциями Якоби и $K(k)$ — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $k$ показано в формуле выше. определения, введенные сэром Эдмундом Тейлором Уиттакером и Джорджем Невиллом Уотсоном Для полных тета-функций справедливы :

$\vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]$

$\vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]$

$\vartheta _{10}(v;w)=2w^{1/4}\cos(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]$

Эти три формулы определения записаны в четвертом издании книги « Курс современного анализа» , написанной Уиттакером и Уотсоном на страницах 469 и 470. Ном обычно используется в качестве отправной точки для построения ряда Ламберта , q- серии и, в более общем плане, q-аналоги . То есть отношение полупериода $\tau$ обычно используется в качестве координаты на комплексной верхней полуплоскости , обычно снабженной метрикой Пуанкаре для получения модели полуплоскости Пуанкаре . Тогда ном служит координатой на проколотом диске единичного радиуса; оно проколото, потому что $q=0$ не является частью диска (вернее, $q=0$ соответствует $\tau \to \infty$). Это наделяет проколотый диск метрикой Пуанкаре.

Таким образом, верхнюю полуплоскость (и диск Пуанкаре , и проколотый диск) можно замостить фундаментальной областью , которая представляет собой область значений отношения полупериодов $\tau$ (или из $q$или из $K$ и $iK'$ и т. д.), однозначно определяющие замощение плоскости параллелограммами . Мозаика называется модульной симметрией, заданной модульной группой . Некоторые функции, периодические в верхней полуплоскости, называются модулярными функциями ; имя, полупериоды, четверти периода или соотношение полупериода - все они обеспечивают разные параметризации для этих периодических функций.

Клейна Прототипом модулярной функции является j-инвариант . Его можно записать как функцию отношения полупериодов τ или как функцию нома $q$. Расширение серии в терминах нома или квадрата нома ( q -расширение ), как известно, связано с чудовищем Фишера-Грисса посредством чудовищного самогона .

Функция Эйлера возникает как прототип q -ряда вообще.

Ном, как $q$ - рядов q тогда возникает в теории аффинных алгебр Ли главным образом потому, что (поэтически, но не фактически) эти алгебры описывают симметрии и изометрии римановых поверхностей .

Эскиз кривой

Каждая реальная ценность $x$ интервала $[-1,1]$ присваивается действительному числу между нулем включительно и единицей включительно в функции nome $q(x)$. Эллиптическая функция нома аксиально симметрична оси ординат. Таким образом: $q(x)=q(-x)$. Функциональная кривая нома проходит через начало координат с нулевым наклоном и кривизной плюс одна восьмая. Для действительного интервала $(-1,1)$ функция имени $q(x)$ имеет строго левую кривую.

Производные

определяется Отношение Лежандра следующим образом:

$K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi$

И, как описано выше, функция эллиптического имени $q(x)$ имеет это оригинальное определение:

$q(x)=\exp \left[-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}\right]$

Кроме того, это производные двух полных эллиптических интегралов:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}K(x)={\frac {1}{x(1-x^{2})}}{\bigl [}E(x)-(1-x^{2})K(x){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}E(x)=-{\frac {1}{x}}{\bigl [}K(x)-E(x){\bigr ]}$

Следовательно, производная функции nome имеет следующее выражение:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}\,q(x)$

Вторую производную можно выразить так:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\,q(x)={\frac {\pi ^{4}+2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1-x^{2})^{2}K(x)^{4}}}\,q(x)$

И это третья производная:

${\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\,q(x)={\frac {\pi ^{6}+6\pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}-12\pi ^{4}K(x)E(x)+8\pi ^{2}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}-24\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{3}E(x)+24\pi ^{2}K(x)^{2}E(x)^{2}}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}\,q(x)$

Полный эллиптический интеграл второго рода определяется следующим образом:

$E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}{(y^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} y$

Из этих уравнений путем исключения полного эллиптического интеграла второго рода следует следующее уравнение:

$3{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2})^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}$

Таким образом, справедливо следующее дифференциальное уравнение четвертой степени третьего порядка:

$x^{2}(1-x^{2})^{2}[2q(x)^{2}q'(x)q'''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q(x)^{2}q'(x)^{2}$

Ряды Маклорена

Последовательность Кнезера

Дано производное от эллиптического нома, упомянутого выше:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}\,q(x)$

Внешний фактор с K-интегралом в знаменателе, показанный в этом уравнении, является производной отношения эллиптических периодов. Отношение эллиптических периодов представляет собой частное K-интеграла дополнительного модуля Пифагора, деленного на K-интеграл самого модуля. И последовательность целых чисел в ряду Маклорена этого соотношения эллиптических периодов напрямую приводит к целочисленной последовательности ряда эллиптического нома.

Немецкий математик Адольф Кнезер исследовал целочисленную последовательность отношения эллиптических периодов в своем эссе Neue Untersuruchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen и показал, что производящая функция этой последовательности является эллиптической функцией. Другой математик по имени Роберт Фрике проанализировал эту целочисленную последовательность в своем эссе « Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen» и описал точные методы вычислений с использованием этой упомянутой последовательности. Целочисленную последовательность Кнезера Kn(n) можно построить следующим образом:

${\text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}}{\text{Kn}}(m)$

${\text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2}{2n+1}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2}{2n-2m+1}}{\text{Kn}}(m)$

Реализованные примеры:

${\text{Kn}}(2)=2\times 6+1\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}13}$

${\text{Kn}}(3)=8\times 20+24\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}184}$

${\text{Kn}}(4)=32\times 70+448\times {\color {cornflowerblue}1}+1\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}2701}$

${\text{Kn}}(5)=128\times 252+7680\times {\color {cornflowerblue}1}+40\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}40456}$

${\text{Kn}}(6)=512\times 924+126720\times {\color {cornflowerblue}1}+1056\times {\color {cornflowerblue}13}+1\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}613720}$

${\text{Kn}}(7)=2048\times 3432+2050048\times {\color {cornflowerblue}1}+23296\times {\color {cornflowerblue}13}+56\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}9391936}$

Последовательность Кнезера появляется в ряду Тейлора отношения периодов (отношения половин периодов):

${\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}$

${\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }$

Производная этого уравнения после $x$ приводит к этому уравнению, которое показывает производящую функцию числовой последовательности Кнезера:

${\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}$

${\color {limegreen}{\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{4}}x+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{64}}x^{3}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{1024}}x^{5}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{16384}}x^{7}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{262144}}x^{9}+\ldots }$

Этот результат появляется из-за соотношения Лежандра $K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi$ в числителе.

Последовательность

Математик Карл Генрих Шеллбах обнаружил последовательность целых чисел, которая появляется в ряду Маклорена четвертого корня факторной функции эллиптического нома , разделенной на функцию квадрата. Построение этой последовательности подробно описано в его работе Die Lehre von den Elliptischen Integralen und den Thetafunktionen . Последовательность была также построена силезским немецким математиком Германом Амандусом Шварцем в формулах и теоремах для использования эллиптических функций. (стр. 54–56, глава Berechnung der Grösse k ). Эту последовательность чисел Шеллбаха-Шварца Sc(n) также анализировали математики Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс и Луи Мелвилл Милн-Томсон в 20 веке. Математик Адольф Кнезер определил конструкцию этой последовательности на основе следующей закономерности:

${\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)$

Последовательность Шеллбаха-Шварца Sc(n) появляется в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей под номером A002103 , а последовательность Кнезера Kn(n) появляется под номером A227503 .

Следующая таблица содержит числа Кнезера и числа Шеллбаха-Шварца:

Построенные последовательности Кнезера и Шеллбаха Шварца

Индекс n	Кн(н) (А227503)	СК(н) (A002103)
1	1	1
2	13	2
3	184	15
4	2701	150
5	40456	1707
6	613720	20910
7	9391936	268616
8	144644749	3567400

И эта последовательность создает серию Маклорена эллиптического нома. именно таким образом:

$q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}$

$q(x)=x^{2}{\bigl (}{\color {limegreen}{\frac {\color {navy}1}{2}}+{\frac {\color {navy}2}{32}}x^{2}+{\frac {\color {navy}15}{512}}x^{4}+{\frac {\color {navy}150}{8192}}x^{6}+{\frac {\color {navy}1707}{131072}}x^{8}+\ldots }{\bigr )}^{4}$

Далее в качестве примера будет показано, как последовательно строятся числа Шеллбаха-Шварца. Для этого используются примеры с номерами Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 и Sc(6) = 20910:

$\mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}$

$\mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}$

$\mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}$

Последовательность Котешовца

Серия Маклорена функции nome $q(x)$ имеет четные показатели и положительные коэффициенты во всех позициях:

$q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Kt} (n)}{16^{n}}}\,x^{2n}$

А сумма с теми же абсолютными значениями коэффициентов, но с чередующимися знаками, порождает эту функцию:

$q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\operatorname {Kt} (n)}{16^{n}}}\,x^{2n}$

Радиус сходимости этого ряда Маклорена равен 1. Здесь $\operatorname {Kt} (n)$ (OEIS A005797) представляет собой последовательность исключительно натуральных чисел. $\operatorname {Kt} (n)\in \mathbb {N}$ для всех натуральных чисел $n\in \mathbb {N}$ и эта последовательность целых чисел не является элементарной. Эта последовательность чисел $\operatorname {Kt} (n)$ было исследовано чешским математиком и сказочным шахматным композитором Вацлавом Котешовцем, родившимся в 1956 году. В следующем разделе будут показаны два способа построения этой целочисленной последовательности.

Метод построения с числами Кнезера

Числа Котешовца генерируются так же, как строятся числа Шеллбаха-Шварца:

Единственное отличие состоит в том, что на этот раз множитель перед суммой в соответствующей аналогичной формуле не равен ${\frac {2}{n}}$ больше, но ${\frac {8}{n}}$ вместо этого:

${\text{Kt}}(n+1)={\frac {8}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Kt}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)$

В следующей таблице приведены числа Шеллбаха-Шварца, числа Кнезера и числа Апери:

Построенные последовательности Кнезер и Котешовец

Индекс n	Кн(н) (А227503)	Кт(н) (А005797)
1	1	1
2	13	8
3	184	84
4	2701	992
5	40456	12514
6	613720	164688
7	9391936	2232200
8	144644749	30920128

Далее в качестве примера будет показано, как последовательно строятся числа Шеллбаха-Шварца. Для этого используются примеры с номерами Kt(4) = 992, Kt(5) = 12514 и Kt(6) = 164688:

$\mathrm {Kt} (4)={\frac {8}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {8}{3}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}={\frac {8}{3}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}992}$

$\mathrm {Kt} (5)={\frac {8}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {8}{4}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (5)}={\frac {8}{4}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}992}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}12514}$

$\mathrm {Kt} (6)={\frac {8}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {8}{5}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (6)}={\frac {8}{5}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}992}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}12514}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}164688}$

серию МакЛорена для прямого эллиптического нома Таким образом, можно создать :

$q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)}{16^{n}}}\,x^{2n}$

$q(x)={\color {limegreen}{\frac {\color {ForestGreen}1}{16}}x^{2}+{\frac {\color {ForestGreen}8}{256}}x^{4}+{\frac {\color {ForestGreen}84}{4096}}x^{6}+{\frac {\color {ForestGreen}992}{65536}}x^{8}+{\frac {\color {ForestGreen}12514}{1048576}}x^{10}+\ldots }$

Метод построения

Добавив еще одну последовательность целых чисел $\operatorname {Ap} (n)$ который обозначает специально модифицированную последовательность Апери (OEIS A036917), последовательность чисел Котешовца $\operatorname {Kt} (n)$ может быть сгенерирован. Начальное значение последовательности $\operatorname {Kt} (n)$ это ценность $\operatorname {Kt} (1)=1$ и следующие значения этой последовательности генерируются с помощью этих двух формул, которые действительны для всех чисел $n\in \mathbb {N}$:

$\operatorname {Kt} (n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}m\operatorname {Kt} (m)[16\operatorname {Ap} (n+1-m)-\operatorname {Ap} (n+2-m)]$

$\operatorname {Ap} (n)=\sum _{a=0}^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}$

Эта формула также создает последовательность Котешовца, но она создает только порядковые номера четных индексов:

$\operatorname {Kt} (2n)={\frac {1}{2}}\sum _{m=1}^{2n-1}(-1)^{2n-m+1}16^{2n-m}{\binom {2n-1}{m-1}}\operatorname {Kt} (m)$

Последовательность Апери $\operatorname {Ap} (n)$ специально исследовали математики Сунь Чжи-Хун и Райнхард Цумкеллер. И эта последовательность генерирует квадрат полного эллиптического интеграла первого рода:

$4\pi ^{-2}K(x)^{2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Ap} (n+1)x^{2n}}{16^{n}}}$

Первые числовые значения центральных биномиальных коэффициентов и двух описанных числовых последовательностей перечислены в следующей таблице:

Индекс n	Квадрат центрального биномиального коэффициента ${\frac {[(2n-2)!]^{2}}{[(n-1)!]^{4}}}$	Порядковый номер Ap( n )	Порядковый номер Kt( n )
1	1	1	1
2	4	8	8
3	36	88	84
4	400	1088	992
5	4900	14296	12514
6	63504	195008	164688
7	853776	2728384	2232200
8	11778624	38879744	30920128
9	165636900	561787864	435506703
10	2363904400	8206324928	6215660600
11	34134779536	120929313088	89668182220
12	497634306624	1794924383744	1305109502496
13	7312459672336	26802975999424	19138260194422
14	108172480360000	402298219288064	282441672732656
15	1609341595560000	6064992788397568	4191287776164504
16	24061445010950400	91786654611673088	62496081197436736
17	361297635242552100	1393772628452578264	935823746406530603

Вацлав Котешовец записал числовую последовательность $\operatorname {Kt} (n)$ в Интернет-энциклопедии целочисленных последовательностей до семисотого порядкового номера.

Здесь вычисляется один пример последовательности Котешовца:

${\color {blue}1}\times {\color {blue}63504}+{\color {blue}4}\times {\color {blue}4900}+{\color {blue}36}\times {\color {blue}400}+{\color {blue}400}\times {\color {blue}36}+{\color {blue}4900}\times {\color {blue}4}+{\color {blue}63504}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}195008}$ ${\tfrac {1}{5}}\times {\color {ForestGreen}1}\times (16\times {\color {RoyalBlue}14296}-{\color {RoyalBlue}195008})+{\tfrac {2}{5}}\times {\color {ForestGreen}8}\times (16\times {\color {RoyalBlue}1088}-{\color {RoyalBlue}14296})+{\tfrac {3}{5}}\times {\color {ForestGreen}84}\times (16\times {\color {RoyalBlue}88}-{\color {RoyalBlue}1088})+{}$ ${}+{\tfrac {4}{5}}\times {\color {ForestGreen}992}\times (16\times {\color {RoyalBlue}8}-{\color {RoyalBlue}88})+{\tfrac {5}{5}}\times {\color {ForestGreen}12514}\times (16\times {\color {RoyalBlue}1}-{\color {RoyalBlue}8})={\color {ForestGreen}164688}$

Значения функций

Два следующих списка содержат множество значений функции nome:

В первом списке показаны пары значений со взаимодополняющими пифагорейскими модулями:

$q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )$

$q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )$

$q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )$

$q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )$

$q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )$

$q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})]=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )$

$q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})]=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )$

$q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-3\pi )$

$q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )$

$q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )$

$q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )$

Во втором списке показаны пары значений с взаимодополняющими модулями:

$q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )$

$q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )$

$q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )$

$q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}]=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )$

$q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}}}\,(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}}}}\,(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,\pi )$

$q[(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )$

$q[(2+{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,\pi )$

$q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )$

$q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}+7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )$

$q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {26}}\,\pi )$

$q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}+1)^{2}\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {26}}\,\pi )$

Связанные квартеты значений показаны ниже:

$q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {30}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {30}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {30}}\,\pi )$

$q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {42}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {42}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {42}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{21}}{\sqrt {42}}\,\pi )$

$q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {70}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {70}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {70}}\,\pi )$ $q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {70}}\,\pi )$

Суммы и произведения

Сумма серии

Эллиптический ном был исследован Ричардом Дедекиндом , и эта функция является основой теории эта-функций и связанных с ними функций. Эллиптический ном является исходной точкой построения ряда Ламберта . В тета-функции ном Карла Густава Якоби в виде абсциссы присвоен алгебраическим комбинациям среднего арифметического геометрического , а также полного эллиптического интеграла первого рода. Множество бесконечных серий можно легко описать с помощью эллиптического нома:

$\sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (n)}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (2n-1)}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\pi ^{-1}K(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }\Box (n)q(x)^{\Box (n)}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3}}\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{6}}$

Четырехугольник представляет собой квадрат числа с индексом n , потому что при таком обозначении двойка в показателе экспоненты будет казаться маленькой. Итак, эта формула действительна: $\Box (n)=n^{2}$

Письмо $\operatorname {E} (\varepsilon )$ описывает полный эллиптический интеграл второго рода, который представляет собой четверть периферии эллипса по отношению к большей полуоси эллипса с числовым эксцентриситетом $\varepsilon$ как значение абсциссы.

Серия продуктов

Две наиболее важные тета-функции можно определить по следующим сериям продуктов:

$\prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

$\prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

Более того, эти два продукта Pochhammer имеют следующие два соотношения:

$q(\varepsilon )[q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }^{24}=256\,\varepsilon ^{2}(1-\varepsilon ^{2})^{4}\pi ^{-{12}}K(\varepsilon )^{12}$

$\varepsilon ^{2}[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{24}=16\,(1-\varepsilon ^{2})^{2}q(\varepsilon )$

Произведения Поххаммера играют важную роль в теореме о пятиугольных числах и ее выводе.

Связь с другими функциями

Полные эллиптические интегралы

Функция nome может использоваться для определения полных эллиптических интегралов первого и второго рода:

$K(\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\pi \,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}$

$E(\varepsilon )=2\pi q(\varepsilon )\,\vartheta _{00}'[q(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{-3}+{\tfrac {1}{2}}\pi (1-\varepsilon ^{2})\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}$

В этом случае тире в позиции показателя степени обозначает производную так называемой функции тета-нулевого значения:

$\vartheta _{00}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}$

Определения функций Якоби

Эллиптические функции Zeta Amplitudinis и Delta Amplitudinis могут быть определены с помощью функции эллиптического нома. легко:

$\operatorname {zn} (x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}$

$\operatorname {dn} (x;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}$

Использование четвертого корня из частного нома, разделенного на квадратную функцию, как упоминалось выше, в соответствии с определениями серий продуктов. Амплитудный синус, противоамплитудный синус и амплитудный косинус можно настроить следующим образом:

$\operatorname {sn} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}$

$\operatorname {cd} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\cos[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}$

$\operatorname {cn} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}(1-k^{2})\,q(k)}}\,\cos[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}$

Эти пять формул действительны для всех значений k от −1 до +1.

Тогда возможно следующее последовательное определение остальных функций Якоби:

$\operatorname {sn} (x;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}$

$\operatorname {cd} (x;k)=\operatorname {sn} [K(k)-x;k]$

$\operatorname {cn} (x;k)=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {dn} (x;k)$

$\operatorname {dn} (x;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}$

Определение произведения амплитудного синуса было записано в эссе π и AGM братьями Борвейн на странице 60, и эта формула основана на определении тета-функции Уиттакера и Ватсона.

Тождества амплитудных функций Якоби

В сочетании с тета-функциями ном дает значения многих значений амплитудной функции Якоби:

$\operatorname {sc} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}$

$\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}$

$\operatorname {cn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}$

$\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

$\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

$\operatorname {cn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

$\operatorname {cn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

Аббревиатура sc описывает отношение амплитудного синуса к амплитудному косинусу.

и

Вывод теоремы

Закон квадрата эллиптического существительного предполагает формирование дочернего модуля Ландена :

$q(\varepsilon )^{2}=q{\bigl [}\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=q{\bigl \{}\operatorname {tanh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

Дочерний модуль Ландена также является тангенциальным аналогом пифагорейского аналога материнского модуля.

Эта формула представляет собой комбинацию следующих уравнений: $(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})F{\bigl [}\arctan(x);\varepsilon {\bigr ]}=F{\bigl [}\arctan(x)+\arctan({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,x);\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$ Дифференциальный фактор этого уравнения уравновешивается вместе с $w$ подтверждает правильность этой формулы. Потому что на обеих сторонах шкалы уравнения дифференциальный фактор по w одинаков, и функции на обеих сторонах шкалы проходят через начало координат относительно w. Следующее уравнение следует непосредственно из предыдущего уравнения: $(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )=2K{\bigl [}\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$ Путем изменения замены генерируется это выражение: $K{\bigl [}2{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-1}{\bigr ]}=(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})$ Комбинация обеих формул приводит к уравнению частного: ${\color {blue}2\,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}}={\color {green}{\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-1}]}{K[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}}}$ Обе стороны шкалы этого уравнения показывают соотношения периодов. Ибо по обе стороны этого баланса модуль в числителе является пифагорейским, дополнительным к модулю в знаменателе. Эллиптический ном определяется как экспоненциальная функция от отрицательного числа круга, умноженного на реальный коэффициент периодов. А отношение реальных периодов определяется как частное интеграла K от дополнительного модуля Пифагора, деленного на интеграл K от самого модуля. Это следствие: $q(\varepsilon )^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(\varepsilon )}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl \{}-\pi {\biggl [}{\color {blue}2\,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}}{\biggr ]}{\biggr \}}=$ $=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\color {green}{\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-1}]}{K[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}{K[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$ ЭТО НАДО ПОКАЗАТЬ!

Примеры теоремы о квадрате имени

Дочерний модуль Ландена идентично тангенциальной противоположности пифагорейской противоположности материнского модуля.

Ниже будут показаны три примера:

Тригонометрически отображенные примеры:

$\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )^{2}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}^{2}=q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )^{2}{\bigr ]}$

$\exp(-2{\sqrt {5}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

$\exp(-2{\sqrt {7}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

$\exp(-2{\sqrt {13}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

Гиперболически отображенные примеры:

$\exp(-2{\sqrt {6}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

$\exp(-2{\sqrt {10}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

$\exp(-2{\sqrt {14}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

$\exp(-2{\sqrt {22}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

параметризованной теоремы о ном

Не только закон квадрата, но и закон куба эллиптического нома приводит к элементарному преобразованию модуля.Эта параметризованная формула для куба эллиптического существительного действительна для всех значений -1 < u < 1.

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

Эта формула отображалась именно так, и на этот раз она печаталась не сразу после выражения $\varepsilon$ с основным выравниванием по материнскому модулю, поскольку эта формула содержит длинную формулировку. И в приведенной сейчас формуле с параметром $u$, получается сильно упрощенная формула.

Эта формула представляет собой комбинацию следующих уравнений: $(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)F{\bigl [}\arctan(w);u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=$ $=F{\bigl \{}\arctan(w)+2\arctan {\bigl [}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})\,w{\bigr ]};u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr \}}$ Дифференциальный фактор этого уравнения уравновешивается вместе с $w$ подтверждает правильность этой формулы. Потому что на обеих сторонах шкалы уравнения дифференциальный фактор по w одинаков, и функции на обеих сторонах шкалы проходят через начало координат относительно w. Следующее уравнение следует непосредственно из предыдущего уравнения: $(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=3K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}$ Путем изменения замены генерируется это выражение: $K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}){\bigr ]}=(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}){\bigr ]}$ Комбинация обеих формул приводит к уравнению частного: ${\color {blue}3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}}={\color {green}{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}}$ Обе стороны шкалы этого уравнения показывают соотношения периодов. Ибо по обе стороны этого баланса модуль в числителе является пифагорейским, дополнительным к модулю в знаменателе. Эллиптический ном определяется как экспоненциальная функция от отрицательного числа круга, умноженного на реальный коэффициент периодов. А отношение реальных периодов определяется как частное интеграла K от дополнительного модуля Пифагора, деленного на интеграл K от самого модуля. Это следствие: $q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=$ $=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=\exp {\biggl \langle }-\pi {\biggl \{}{\color {blue}3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=$ $=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\color {green}{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}$ ЭТО НАДО ПОКАЗАТЬ!

о прямом ном-

На основе теперь оправданного доказательства выведена прямая формула теоремы о ном-кубе относительно модуля $\varepsilon$ и в сочетании с амплитудным синусом Якоби генерируется:

Работы Аналитические решения алгебраических уравнений» Йоханссона « и «Оценка эллиптических сингулярных модулей пятой степени» Багиса в их цитируемых работах показали, что амплитудный синус Якоби третьей части полного интеграла первого рода K решает следующее уравнение четвертой степени:

$\varepsilon ^{2}x^{4}-2\varepsilon ^{2}x^{3}+2x-1=0$

$x={\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}$

Теперь в это уравнение вставляется упомянутая выше параметризация:

$\varepsilon =u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)$

$u^{2}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)^{2}(x^{4}-2x^{3})+2x-1=0$

Это настоящее решение шаблона ${\tfrac {1}{2}}<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R}$ этого уравнения четвертой степени:

$x={\frac {1}{{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1}}$

Следовательно, справедлива следующая формула:

${\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}{\bigl [}\varepsilon =u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}={\frac {1}{{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1}}$

Формула параметризованного куба имени имеет следующий вид:

$q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}$

Ту же формулу можно записать и таким альтернативным способом:

$q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}{\bigl (}{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1{\bigr )}^{-4}{\bigr \}}$

Таким образом, этот результат выглядит как прямая теорема о кубе имен:

$q(\varepsilon )^{3}=q{\bigl \{}\varepsilon ^{3}{\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}$

Примеры теоремы

Альтернативно, эту формулу можно настроить:

$q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}\,{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}$

Представленная сейчас формула используется для упрощенных расчетов, поскольку по заданному эллиптическому модулю можно определить величину $t$ простым способом. Значение $t$ можно вызвать, взяв касательное дублирование модуля, а затем извлекнув из него кубический корень, чтобы получить значение параметризации $t$ напрямую.

Два примера следует рассматривать образцово:

В первом примере значение $t=1$ вставлено:

${\color {blue}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{3}=q({\sqrt {2}}-1)^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=$

$=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}={\color {blue}q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{3}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}{\bigr ]}}$

Во втором примере значение $t=\Phi ^{-2}={\tfrac {1}{2}}(3-{\sqrt {5}})$ вставлено:

${\color {blue}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{3}=q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=$

$=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=$

$={\color {blue}q{\bigl \{}({\sqrt {10}}-3)^{3}({\sqrt {2}}-1)^{6}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}$

Константа $\Phi$ представляет собой золотого сечения число $\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$ точно. Действительно, формула куба нома включает в себя преобразование модуля, которое действительно содержит элементарные кубические корни, поскольку включает решение регулярного уравнения четвертой степени. Однако законы пятой и седьмой степени эллиптического нома приводят не к элементарному преобразованию нома, а к неэлементарному преобразованию. Это было доказано теоремой Абеля–Руффини. и по теории Галуа слишком.

с амплитудными функциями

Каждая степень нома положительного алгебраического числа как основания и положительного рационального числа как показателя степени равна значению нома положительного алгебраического числа:

$q(\varepsilon _{1}\in \mathbb {A} ^{+})^{w\in \mathbb {Q^{+}} }=q(\varepsilon _{2}\in \mathbb {A} ^{+})$

Это наиболее важные примеры общей теоремы о возведении в степень:

$q(\varepsilon )^{2}=q\{\varepsilon ^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}=q[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]$

$q(\varepsilon )^{3}=q\{\varepsilon ^{3}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}$

$q(\varepsilon )^{4}=q\{\varepsilon ^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{4}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{4}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}=q[(1-{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}})^{2}(1+{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]$

$q(\varepsilon )^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}$

$q(\varepsilon )^{6}=q\{\varepsilon ^{6}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{6}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{6}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}$

$q(\varepsilon )^{7}=q\{\varepsilon ^{7}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}$

$q(\varepsilon )^{8}=q\{\varepsilon ^{8}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {7}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}$

$q(\varepsilon )^{9}=q\{\varepsilon ^{9}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {7}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}$

Аббревиатура $\operatorname {sn}$ обозначает амплитудный синус эллиптической функции Якоби .

Для алгебраического $x$ значения в реальном интервале $[-1,1]$ показанные выражения амплитудного синуса всегда являются алгебраическими.

Это общие теоремы о возведении в степень:

$q(\varepsilon )^{2n}=q{\biggl \{}\varepsilon ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\biggr \}}$

$q(\varepsilon )^{2n+1}=q{\biggl \{}\varepsilon ^{2n+1}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n+1}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\biggr \}}$

Эта теорема справедлива для всех натуральных чисел n .

Важные подсказки по расчетам:

Следующие выражения синуса амплитуды Якоби решают последующие уравнения:

Трети К: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]$ решает уравнение $k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0$	Квинты К: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]$ решает уравнение $k^{6}x^{6}-4k^{6}x^{5}+5k^{4}x^{4}-5k^{2}x^{2}+4x-1=0$
Седьмые числа К: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{7}}K(k);k]$ решает уравнение $k^{12}x^{8}-8k^{12}x^{7}+28k^{10}x^{6}-56k^{8}x^{5}+70k^{6}x^{4}-56k^{4}x^{3}+28k^{2}x^{2}-8x+1=0$ и $(1-k^{2}x)^{8}=(1-k^{2})(1-k^{14}x^{8})$
Одиннадцатые доли К: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {7}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {9}{11}}K(k);k]$ решает уравнение $k^{30}x^{12}+(-32k^{30}+22k^{28})x^{11}+44k^{26}x^{10}-(88k^{24}+22k^{22})x^{9}+165k^{20}x^{8}-132k^{18}x^{7}+(-44k^{16}+44k^{14})x^{6}+$$+132k^{12}x^{5}-165k^{10}x^{4}+(22k^{8}+88k^{6})x^{3}-44k^{4}x^{2}+(-22k^{2}+32)x-1=0$

Примеры теорем о

Для этих теорем о мощности нома должны быть сформулированы важные примеры:

Дана теорема пятой степени:

$q(\varepsilon )^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}$

Лемнискатический пример теоремы о пятой степени:

${\tfrac {1}{8}}x^{6}-{\tfrac {1}{2}}x^{5}+{\tfrac {5}{4}}x^{4}-{\tfrac {5}{2}}x^{2}+4x-1=0$ $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k](k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)$ ${\color {blue}\exp(-5\pi )}=\exp(-\pi )^{5}=q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}(\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=$ $=q{\bigl \{}{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}={\color {blue}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}})(3-2{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr ]}}$

Следующий пример теоремы о пятой степени:

$({\sqrt {2}}-1)^{6}x^{6}-4({\sqrt {2}}-1)^{6}x^{5}+5({\sqrt {2}}-1)^{4}x^{4}-5({\sqrt {2}}-1)^{2}x^{2}+4x-1=0$ $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k](k={\sqrt {2}}-1)=({\sqrt {2}}+1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}$ ${\color {blue}\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{5}=q({\sqrt {2}}-1)^{5}=$ $=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}(\varepsilon ={\sqrt {2}}-1)=$ $=q{\biggl \langle }({\sqrt {2}}-1)^{5}{\bigl \{}({\sqrt {2}}+1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}{\bigr \}}^{4}{\biggr \rangle }=$ $={\color {blue}q{\bigl \{}({\sqrt {2}}-1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}$

Теоремы

Если два положительных числа $a$ и $b$ являются пифагорейскими противоположностями друг другу, и, следовательно, уравнение $a^{2}+b^{2}=1$ верно, то справедливо следующее соотношение:

$\ln[\operatorname {q} (a)]\ln[\operatorname {q} (b)]=\pi ^{2}$

Если два положительных числа $c$ и $d$ являются касательными противоположностями друг другу, и, следовательно, уравнение $(c+1)(d+1)=2$ действительно, то это соотношение действительно:

$\ln[\operatorname {q} (c)]\ln[\operatorname {q} (d)]=2\pi ^{2}$

Следовательно, эти представления действительны для всех действительных чисел x :

Пифагорейские противоположности:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}$

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}$

Тангенциальные противоположности:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}$

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}$

Происхождение значений номов

теорем

Для определения существительных следует использовать следующие примеры:

Пример 1:Дана формула пифагорейских аналогов:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}$

Для x = 0 эта формула дает следующее уравнение:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=\pi ^{2}$

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-\pi )$

Пример 2:

Дана формула тангенциальных аналогов:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}$

При x = 0 формула для тангенциальных аналогов дает следующее уравнение:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=2\pi ^{2}$

$q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )$

Комбинации двух теорем каждая

Пример 1: Эквиангармонический случай

Снова используется формула пифагорейских аналогов:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}$

Для $x={\sqrt {3}}$, это уравнение получается из этой формулы:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}$

В предыдущем разделе была сформулирована эта теорема:

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

Из этой теоремы для кубирования следует следующее уравнение для $u=1/{\sqrt {2}}$:

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}$

Тогда решение системы уравнений с двумя неизвестными будет выглядеть следующим образом:

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )$

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )$

Пример 2: Еще один случай с формулой куба

Снова используется формула тангенциальных аналогов:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}$

Для $x={\sqrt {8}}$ эта формула приводит к следующему уравнению:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}$

Здесь также используется теорема о кубировании:

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

Из ранее упомянутой теоремы о кубировании следует следующее уравнение для $u=({\sqrt {3}}-1)/{\sqrt {2}}$:

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}$

Тогда решение системы уравнений с двумя неизвестными будет выглядеть следующим образом:

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )$

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )$

Исследования о неполных интегралах

С помощью неполных эллиптических интегралов первого рода значения эллиптической функции существительного можно вывести напрямую.

На двух точных примерах эти прямые выводы следует провести в следующем:

Первый пример:

$F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{3}+{\sqrt {3}}\,x}{{\sqrt {3}}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}={\sqrt {3}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\biggr ]}$ Правильность этой формулы можно доказать, вычислив дифференциальное частное после переменной $x$ по обе стороны баланса уравнения. Использование значения $x=1$ дает такой результат: $K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\sqrt {3}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}$ Получаются следующие два результата: $q{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )$ $q{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi {\bigr )}$

Второй пример:

$F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{5}+2{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1/2}\,x^{3}+{\sqrt {5}}\,x}{{\sqrt {5}}\,x^{4}+2{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1/2}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\biggr ]}={\sqrt {5}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\biggr ]}$ Правильность этой формулы можно доказать, продифференцировав обе части уравнения баланса. $K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}={\sqrt {5}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}$ Получаются следующие два результата: $q{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )$ $q{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi {\bigr )}$

Третий пример:

$F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{5}+2\,{\sqrt {7}}\,x^{5}+7x^{3}+{\sqrt {7}}\,x}{{\sqrt {7}}\,x^{6}+7x^{4}+2\,{\sqrt {7}}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\biggr ]}={\sqrt {7}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\biggr ]}$ Правильность этой формулы можно доказать, продифференцировав обе части уравнения баланса. Использование значения $x=1$ дает такой результат: $K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}={\sqrt {7}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}$ Получаются следующие два результата: $q{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )$ $q{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi {\bigr )}$

Первая производная тета-функции

Вывод производной

Первую производную главной тэта-функции среди тэта-функций Якоби можно получить следующим образом, используя цепное правило и формулу вывода эллиптического нома:

${\frac {\pi ^{2}}{2\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )^{2}}}\,q(\varepsilon )\,{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,q(\varepsilon ){\biggr ]}{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}=$

$={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,K(\varepsilon ){\biggr ]}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}\,{\frac {E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}$

Для упомянутой выше деривационной части это тождество является основой:

$\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}$

Следовательно, это уравнение дает:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}$

Полные эллиптические интегралы второго рода имеют такое тождество:

$(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)=E(\varepsilon )+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )$

Наряду с этим модульным тождеством можно выполнить следующее преобразование формулы:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\left[E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )\right]$

Более того, это тождество действительно:

$\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}$

Используя выражения тета-функции ϑ ₀₀ (x) и ϑ ₀₁ (x), возможно следующее представление:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {1}{2\pi }}\,q(\varepsilon )^{-1}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]{\bigl \{}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}{\bigr \}}{\biggl \langle }E{\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}-\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}{\biggr \}}-{\frac {\pi }{2}}\,\vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }$

Это окончательный результат:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}$

Связанные первые производные

Аналогичным образом можно вывести и другие первые производные тета-функций и их комбинаций:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{01}(x)=\vartheta _{01}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{00}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{00}(x)^{5}-\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{00}(x)}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}$

Важное определение:

$\vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}$

$\bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

Ссылки

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стеган, Справочник по математическим функциям , (1964) Dover Publications, Нью-Йорк. ОСЛК   1097832 . См. разделы 16.27.4 и 17.3.17. Издание 1972 года: ISBN   0-486-61272-4
• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Спрингер, Нью-Йорк ISBN   0-387-97127-0
• Фолькмар Борнеманн, Дирк Лори, Стэн Вагон и Йорг Вальдфогель, О решении числовых задач , стр. 275
• Эдмунд Тейлор Уиттакер и Джордж Невилл Уотсон : Курс современного анализа, 4-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1990. стр. 469–470.
• Тосио Фукусима: быстрое вычисление полных эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби . 2012, Национальная астрономическая обсерватория Японии (国立天文台)
• Лоуэн, Бланч и Хоренштейн: Об обращении q-ряда, связанного с эллиптическими функциями Якобиана . Бык. амер. Математика. Соц. 48, 1942 г.
• Х. Фергюсон, Д. Е. Нильсен, Г. Кук: Формула разделения целых коэффициентов тета-функции nome . Математика вычислений, том 29, номер 131, июль 1975 г.
• Дж. Д. Фентон и Р. С. Гардинер-Гарден: Быстро сходящиеся методы вычисления эллиптических интегралов, а также тета- и эллиптических функций . Дж. Аустрал. Математика. Соц. (Серия Б) 24, 1982 г., стр. 57
• Чарльз Эрмит: О разрешении отчетов об уравнении пятой степени . акад. наук. Париж, № 11, 1858 г.
• Николаос Багис: О решении общей квинтики с использованием цепной дроби Роджерса-Рамануджана . Пелла, Македония, Грихенланд, 2015 г.
• Николаос Багис: Решение полиномиальных уравнений с вложенными радикалами . Пелла, Македония, Грихенланд, 2020 г.
• Viktor Prasolov (Прасолов) und Yuri Solovyev (Соловьёв): Elliptic Functions and Elliptic Integrals . Volume 170, Rhode Island, 1991. pages 149 – 159
• Сунь Чжи-Хун: Новые сравнения с числами типа Апери . Хуайиньский педагогический университет, Хуайань (淮安), Китай, 2020. стр. 2
• Роберт Фрике: Эллиптические функции и их приложения: Третья часть . Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-20953-6, ISBN 978-3-642-20954-3 (электронная книга)
• Адольф Кнезер: Новое исследование ряда из теории эллиптических функций . J. Pure and Angew Math. 157, 1927. Страницы 209–218.
• Г. П. Янг: Решение разрешимых неприводимых уравнений пятой степени без помощи резольвентного секстика . В: Амер. Дж. Математика. Группа 7, страницы 170–177, 1885 г.
• К. Рунге: О разрешимых уравнениях вида x 5 + ux + v = 0 {\displaystyle x^{5}+ux+v=0} x^{5}+ux+v=0 . В: Acta Math, том 7, страницы 173–186, 1885 г., doi: 10.1007/BF02402200.
• Эдвард Нойман: Двусторонние неравенства для лемнискатных функций. Том 1, Университет Южного Иллинойса, Карбондейл , США, 2014 г.
• Цзи-энь Дэн и Чао-пин Чен: острые неравенства типа Шафера – Финка для лемнискатных функций Гаусса. Хэнаньский университет (河南大学), Китай, 2014 г.
• Цзюнь-Лин Сунь и Чао-пин Чен: Неравенства типа Шафера для обратных тригонометрических функций и лемнискатных функций Гаусса. Хэнаньский университет, Китай, 2016 г.
• Минджи Вэй, Юэ Хэ и Генди Ван: неравенства типа Шафера – Финка для дуговых лемнискатных функций . Чжэцзянский научно-технический университет, Ханчжоу, Китай, 2019 г.