Модульная функция Вебера

В математике представляют модульные функции Вебера собой семейство трех функций f , f ₁ и f ₂ , изучал Генрих Мартин Вебер .

Определение

Позволять $q=e^{2\pi i\tau }$ где τ — элемент верхней полуплоскости . Тогда функции Вебера будут

${\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1+q^{n-1/2})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}}=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}$

Это также определения в статье Дьюка «Цепные дроби и модульные функции» . Функция $\eta (\tau )$ Дедекинда – эта-функция и $(e^{2\pi i\tau })^{\alpha }$ следует интерпретировать как $e^{2\pi i\tau \alpha }$. Описания как $\eta$ частное сразу подразумевает

${\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}.$

Преобразование τ → –1/ τ фиксирует f и меняет местами f ₁ и f ₂ . на трехмерное комплексное векторное пространство с базисом f , f1 _{образом ,} и f2 _Таким действует группа SL2 ₍ Z ) .

Альтернативный бесконечный продукт

Альтернативно, пусть $q=e^{\pi i\tau }$ будь номом ,

${\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(q)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}$

Немного изменилась форма бесконечного произведения. Но так как эта-коэффициенты остаются прежними, то ${\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)$ пока второй использует ном $q=e^{\pi i\tau }$. Полезность второй формы состоит в том, чтобы показать связи и согласованные обозначения с G- и g-функциями Рамануджана и тэта-функциями Якоби , обе из которых традиционно используют ном.

Связь с функциями Рамануджана G и g

Все еще использую ном $q=e^{\pi i\tau }$, определим G- и g-функции Рамануджана как

${\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\2^{1/4}g_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}$

Факторы эта сразу же делают очевидной их связь с первыми двумя функциями Вебера. В номе предположим $\tau ={\sqrt {-n}}.$ Затем,

${\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&={\mathfrak {f}}(q)={\mathfrak {f}}(\tau ),\\2^{1/4}g_{n}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)={\mathfrak {f}}_{1}(\tau ).\end{aligned}}$

Рамануджан обнаружил множество связей между $G_{n}$ и $g_{n}$ что подразумевает аналогичные отношения между ${\mathfrak {f}}(q)$ и ${\mathfrak {f}}_{1}(q)$. Например, его личность,

$(G_{n}^{8}-g_{n}^{8})(G_{n}\,g_{n})^{8}={\tfrac {1}{4}},$

приводит к

${\big [}{\mathfrak {f}}^{8}(q)-{\mathfrak {f}}_{1}^{8}(q){\big ]}{\big [}{\mathfrak {f}}(q)\,{\mathfrak {f}}_{1}(q){\big ]}^{8}={\big [}{\sqrt {2}}{\big ]}^{8}.$

Для многих значений n Рамануджан также составил таблицу $G_{n}$ для нечетного n и $g_{n}$ даже для n . Это автоматически дает множество явных оценок ${\mathfrak {f}}(q)$ и ${\mathfrak {f}}_{1}(q)$. Например, используя $\tau ={\sqrt {-5}},\,{\sqrt {-13}},\,{\sqrt {-37}}$, которые являются некоторыми из бесквадратных дискриминантов класса номер 2,

${\begin{aligned}G_{5}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{13}&=\left({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{37}&=\left(6+{\sqrt {37}}\right)^{1/4},\end{aligned}}$

и можно легко получить ${\mathfrak {f}}(\tau )=2^{1/4}G_{n}$ из них, а также из более сложных примеров, найденных в «Записных книжках» Рамануджана.

Связь с тета-функциями Якоби

Аргументом классических тэта-функций Якоби традиционно является ном $q=e^{\pi i\tau },$

${\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[2pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\;=\;{\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}$

Разделив их на $\eta (\tau )$, а также отметив, что $\eta (\tau )=e^{\frac {-\pi i}{\,12}}\eta (\tau +1)$, то это просто квадраты функций Вебера ${\mathfrak {f}}_{i}(q)$

${\begin{aligned}{\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}(q)^{2},\end{aligned}}$

с тета-функциями с четным индексом, которые намеренно указаны первыми. Используя известное тождество Якоби с четными индексами в левой части шкалы,

$\theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4};$

поэтому,

${\mathfrak {f}}_{2}(q)^{8}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{8}={\mathfrak {f}}(q)^{8}.$

Связь с j-функцией

Три корня кубического уравнения

$j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}}{x}}$

где j ( τ ) — j-функция , имеют вид $x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}$. Кроме того, поскольку,

$j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q){\Big )}^{8}}}$

и используя определения функций Вебера в терминах тэта-функций Якоби, а также тот факт, что ${\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}(q)^{2}={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}=2$, затем

$j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(q)^{16}}{2}}\right)^{3}$

с ${\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)$ и имеют одинаковые формулы в терминах эта-функции Дедекинда $\eta (\tau )$.

См. также

• Серия Рамануджан-Сато, уровень 4

Ссылки

• Дьюк, Уильям (2005), Цепные дроби и модульные функции (PDF) , Bull. амер. Математика. Соц. 42
• Вебер, Генрих Мартин (1981) [1898], Учебник алгебры (на немецком языке), том. 3 (3-е изд.), Нью-Йорк: AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-2971-4
• Юи, Норико; Загер, Дон (1997), «Об сингулярных значениях модулярных функций Вебера», Mathematics of Computing , 66 (220): 1645–1662, doi : 10.1090/S0025-5718-97-00854-5 , MR   1415803