Квартальный период

В математике четвертьпериоды K , ( m ) и i K ′( m ) — это специальные функции возникающие в теории эллиптических функций .

Четвертьпериоды K и i K ′ определяются выражениями

$K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}$

и

${\rm {i}}K'(m)={\rm {i}}K(1-m).\,$

Когда m — действительное число, 0 < m < 1, тогда и K , и K ’ — действительные числа. По соглашению K называется действительным квартальным периодом , а i K ′ называется мнимым квартальным периодом . Любое из чисел m , K , K ′ или K ′/ K однозначно определяет остальные.

Эти функции появляются в теории эллиптических функций Якоби ; они называются четвертьпериодами, потому что эллиптические функции $\operatorname {sn} u$ и $\operatorname {cn} u$ являются периодическими функциями с периодами $4K$ и $4{\rm {i}}K'.$ Однако $\operatorname {sn}$ функция также является периодической с меньшим периодом (по абсолютной величине), чем $4\mathrm {i} K'$, а именно $2\mathrm {i} K'$.

Обозначения

Четвертьпериоды по сути представляют собой эллиптический интеграл первого рода, если сделать замену $k^{2}=m$. В этом случае пишут $K(k)\,$ вместо $K(m)$понимание разницы между этими двумя понятиями зависит от того, $k$ или $m$ используется. Это различие в обозначениях породило соответствующую терминологию:

• $m$ называется параметром
• $m_{1}=1-m$ называется дополнительным параметром
• $k$ называется эллиптическим модулем
• $k'$ называется дополнительным эллиптическим модулем , где ${k'}^{2}=m_{1}$
• $\alpha$ модульный угол , где $k=\sin \alpha ,$
• ${\frac {\pi }{2}}-\alpha$ дополнительный модульный угол . Обратите внимание, что

$m_{1}=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos ^{2}\alpha .$

Эллиптический модуль можно выразить через четверти периода как

$k=\operatorname {ns} (K+{\rm {i}}K')$

и

$k'=\operatorname {dn} K$

где $\operatorname {ns}$ и $\operatorname {dn}$ — эллиптические функции Якоби .

Имя ​ $q\,$ дается

$q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.$

Дополнительное имя дается

$q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.$

Реальный квартальный период можно выразить в виде ряда Ламберта, включающего ном:

$K={\frac {\pi }{2}}+2\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}.$

Дополнительные разложения и соотношения можно найти на странице эллиптических интегралов .

Ссылки

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стеган (1964), Справочник по математическим функциям , Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN   0-486-61272-4 . См. главы 16 и 17.