Трансформация Лэндена

Преобразование Ландена — это отображение параметров эллиптического интеграла , полезное для эффективного численного вычисления эллиптических функций. Первоначально он был создан Джоном Ланденом и независимо переоткрыт Карлом Фридрихом Гауссом .

Заявление

Неполный эллиптический интеграл первого рода F равен

$F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}},$

где $\alpha$ модульный угол . Преобразование Ландена утверждает, что если $\alpha _{0}$, $\alpha _{1}$, $\varphi _{0}$, $\varphi _{1}$ таковы, что $(1+\sin \alpha _{1})(1+\cos \alpha _{0})=2$ и $\tan(\varphi _{1}-\varphi _{0})=\cos \alpha _{0}\tan \varphi _{0}$, затем

${\begin{aligned}F(\varphi _{0}\setminus \alpha _{0})&=(1+\cos \alpha _{0})^{-1}F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1})\\&={\tfrac {1}{2}}(1+\sin \alpha _{1})F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1}).\end{aligned}}$

Преобразование Ландена аналогичным образом можно выразить через эллиптический модуль $k=\sin \alpha$ и его дополнение $k'=\cos \alpha$.

Полный эллиптический интеграл

В формулировке Гаусса значение интеграла

$I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta$

не изменяется, если $a$ и $b$ заменяются их средними арифметическими и геометрическими соответственно, то есть

$a_{1}={\frac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}},$

$I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a_{1}^{2}\cos ^{2}(\theta )+b_{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta .$

Поэтому,

$I={\frac {1}{a}}K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right),$

$I_{1}={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right).$

Из преобразования Ландена делаем вывод

$K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)={\frac {2a}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)$

и $I_{1}=I$.

Доказательство

Преобразование может быть осуществлено путем интегрирования путем замены . Удобно сначала привести интеграл к алгебраической форме, заменив $\theta =\arctan(x/b)$, $d\theta =(\cos ^{2}(\theta )/b)dx$ предоставление

$I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx$

Дальнейшая замена $x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}$ дает желаемый результат

${\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)(t^{2}+ab)}}}}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)\left(t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right)}}}\,dt\end{aligned}}$

Этот последний шаг облегчается записью радикала как

${\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}=2x{\sqrt {t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}$

и бесконечно малое, как

$dx={\frac {x}{\sqrt {t^{2}+ab}}}\,dt$

так что фактор $x$ признается и аннулируется между двумя факторами.

Среднее арифметико-геометрическое и первый интеграл Лежандра

Если преобразование повторяется несколько раз, то параметры $a$ и $b$ очень быстро сходятся к общему значению, даже если изначально они имеют разные порядки. Предельной величиной называют арифметико-геометрическое среднее $a$ и $b$, $\operatorname {AGM} (a,b)$. В пределе подынтегральная функция становится константой, так что интегрирование тривиально.

$I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\operatorname {AGM} (a,b)}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}$

Интеграл можно также признать кратным полному эллиптическому интегралу Лежандра первого рода . положить $b^{2}=a^{2}(1-k^{2})$

$I={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta ={\frac {1}{a}}F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1}{a}}K(k)$

Следовательно, для любого $a$, среднее арифметико-геометрическое и полный эллиптический интеграл первого рода связаны соотношением

$K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}$

Выполняя обратное преобразование (обратную арифметико-среднюю итерацию), т.е.

$a_{-1}=a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,$

$b_{-1}=a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,$

$\operatorname {AGM} (a,b)=\operatorname {AGM} \left(a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)\,$

отношение может быть записано как

$K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}\,$

которое можно решить для общего собрания пары произвольных аргументов;

$\operatorname {AGM} (u,v)={\frac {\pi (u+v)}{4K\left({\frac {u-v}{v+u}}\right)}}.$

Ссылки

• Луи В. Кинг о прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов (издательство Кембриджского университета, 1924)