Лежандра форма

В математике лежандровые формы эллиптических интегралов представляют собой канонический набор из трех эллиптических интегралов, к которым можно свести все остальные. Лежандр выбрал название эллиптических интегралов, потому что ^[1] второй вид дает длину дуги эллипса . с единичной большой полуосью и эксцентриситетом $\scriptstyle {k}$ (эллипс определяется параметрически как $\scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}$ , $\scriptstyle {y=\sin(t)}$ ).

В наше время формы Лежандра в значительной степени были вытеснены альтернативным каноническим набором - симметричными формами Карлсона . Более подробное рассмотрение форм Лежандра дано в основной статье об эллиптических интегралах .

Определение

Неполный эллиптический интеграл первого рода определяется как:

F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}dt,

второй вид, как

E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}\,dt,

и третий вид , как

\Pi (\phi ,n,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}(t)){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}}\,dt.

Аргумент n третьего вида интеграла известен как характеристика , которая в различных обозначениях может выступать как первый, второй или третий аргумент Π и, кроме того, иногда определяется с противоположным знаком. Показанный выше порядок аргументов соответствует порядку Градштейна и Рыжика. ^[2] а также числовые рецепты . ^[3] Выбор знака - выбор Абрамовица и Стегуна. ^[4] а также Степени и Республика , ^[2] но соответствует $\scriptstyle {\Pi (\phi ,-n,k)}$ числовых рецептов . ^[3]

Соответствующие полные эллиптические интегралы получаются заданием амплитуды , $\scriptstyle {\phi }$ , верхний предел интегралов, $\scriptstyle {\pi /2}$ .

Лежандровая форма эллиптической кривой имеет вид

y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )

Численная оценка

Классический метод оценки — с помощью преобразований Ландена . Нисходящее преобразование Ландена уменьшает модуль $\scriptstyle {k}$ к нулю, увеличивая при этом амплитуду $\scriptstyle {\phi }$ . И наоборот, восходящая трансформация увеличивает модуль до единицы, уменьшая при этом амплитуду. В любом пределе $\scriptstyle {k}$ приближаясь к нулю или единице, интеграл легко вычисляется.

Большинство современных авторов рекомендуют оценку в терминах симметричных форм Карлсона , для которых существуют эффективные, надежные и относительно простые алгоритмы. Этот подход был принят в библиотеках Boost C++ , GNU Scientific Library и Numerical Recipes . ^[3]

Ссылки

^ Граттон-Гиннесс, Айвор (1997). Фонтана История математических наук . Фонтана Пресс. п. 308. ИСБН 0-00-686179-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Градштейн, И. С. ; Рыжик, И. М. (1971). «8.1: Специальные функции: эллиптические интегралы и функции». В «Геронимусе» Ю. В. ; Цейтлин, М. Ю. (ред.). Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [ Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений ] (5-е изд.). Москва: Наука . LCCN 78876185 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Уильям Х. Пресс; Саул Алексеевич Теукольский; Уильям Т. Веттерлинг; Брайан П. Фланнери (1992). «Глава 6.11 Специальные функции: эллиптические интегралы и функции Якоби». Численные рецепты на языке C (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 261–271 . ISBN 0-521-43108-5 .
^ Милн-Томсон, Луи Мелвилл (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 17: Эллиптические интегралы» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 589, 589–628. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .

См. также

Симметричная форма Карлсона

[1] Граттон-Гиннесс, Айвор (1997). Фонтана История математических наук . Фонтана Пресс. п. 308. ИСБН 0-00-686179-2 .

[gradshteyn_ryzhik-2] Jump up to: ^а ^б Градштейн, И. С. ; Рыжик, И. М. (1971). «8.1: Специальные функции: эллиптические интегралы и функции». В «Геронимусе» Ю. В. ; Цейтлин, М. Ю. (ред.). Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [ Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений ] (5-е изд.). Москва: Наука . LCCN 78876185 .

[numerical_recipes-3] Jump up to: ^а ^б ^с Уильям Х. Пресс; Саул Алексеевич Теукольский; Уильям Т. Веттерлинг; Брайан П. Фланнери (1992). «Глава 6.11 Специальные функции: эллиптические интегралы и функции Якоби». Численные рецепты на языке C (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 261–271 . ISBN 0-521-43108-5 .

[abramowitz_stegun-4] Милн-Томсон, Луи Мелвилл (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 17: Эллиптические интегралы» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 589, 589–628. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .

[1]

[2]

[3]

[4]