Симметричная форма Карлсона

В математике симметричные формы Карлсона эллиптических интегралов представляют собой небольшой канонический набор эллиптических интегралов, к которому можно свести все остальные. Они являются современной альтернативой формам Лежандра . Формы Лежандра могут быть выражены через формы Карлсона и наоборот.

Эллиптические интегралы Карлсона: $$R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}$$$$R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$$$$R_{G}(x,y,z)={\tfrac {1}{4}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}{\biggl (}{\frac {x}{t+x}}+{\frac {y}{t+y}}+{\frac {z}{t+z}}{\biggr )}t\,dt$$$$R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}$$$$R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$$

С $R_{C}$ и $R_{D}$ являются особыми случаями $R_{F}$ и $R_{J}$, все эллиптические интегралы в конечном итоге могут быть вычислены с точки зрения всего лишь $R_{F}$, $R_{J}$, и $R_{G}$.

Термин «симметричный» относится к тому факту, что в отличие от форм Лежандра эти функции не изменяются при замене определенных подмножеств их аргументов. Стоимость $R_{F}(x,y,z)$ одинаково для любой перестановки своих аргументов, а значение $R_{J}(x,y,z,p)$ одинаково для любой перестановки первых трех аргументов.

Эллиптические интегралы Карлсона названы в честь Билле К. Карлсона (1924–2013).

Связь с формами Лежандра

Неполные эллиптические интегралы

Неполные эллиптические интегралы можно легко вычислить с помощью симметричных форм Карлсона:

$F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)$

$E(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)$

$\Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)$

(Примечание: вышеизложенное действительно только для $-{\frac {\pi }{2}}\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}$ и $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$)

Полные эллиптические интегралы

Полные эллиптические интегралы можно вычислить, подставив φ = 1 ⁄ 2 π:

$K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)$

$E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)$

$\Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)$

Особые случаи

Когда любые два или все три аргумента $R_{F}$ одинаковы, то замена ${\sqrt {t+x}}=u$ делает подынтегральное выражение рациональным. Тогда интеграл можно выразить через элементарные трансцендентные функции .

$R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\operatorname {arcosh} {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}$

Аналогично, когда хотя бы два из первых трех аргументов $R_{J}$ одинаковы,

$R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{{3}/{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}$

Характеристики

Однородность

Подставив в интегральные определения $t=\kappa u$ для любой константы $\kappa$, обнаружено, что

$R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)$

$R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)$

Теорема о дублировании

$R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),$

где $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$.

${\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\end{aligned}}$

где $d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})$ и $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$

Расширение серии

При получении разложения в ряд Тейлора для $R_{F}$ или $R_{J}$ оказывается удобным остановиться на средних значениях нескольких аргументов. Итак, для $R_{F}$, полагая среднее значение аргументов равным $A=(x+y+z)/3$и используя однородность, определим $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$ к

${\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned}}$

то есть $\Delta x=1-x/A$ и т. д. Различия $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$ определяются этим знаком (таким образом, что они вычитаются ), чтобы соответствовать работам Карлсона. С $R_{F}(x,y,z)$ симметричен относительно перестановки $x$, $y$ и $z$, он также симметричен по величинам $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$. Отсюда следует, что оба подынтегральных выражения $R_{F}$ и его интеграл может быть выражен как функция элементарных симметричных полиномов от $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$ которые

$E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0$

$E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x$

$E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z$

Выразив подынтегральную функцию через эти многочлены, выполнив многомерное разложение Тейлора и почленно интегрируя...

${\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}dt\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {7}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{\frac {11}{2}}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}$

Преимущество расширения среднего значения аргументов теперь очевидно; это уменьшает $E_{1}$ тождественно нулю, и таким образом устраняются все члены, включающие $E_{1}$ - которые в противном случае были бы самыми многочисленными.

Восходящая серия для $R_{J}$ можно найти аналогичным способом. Есть небольшая трудность, потому что $R_{J}$ не полностью симметричен; его зависимость от четвертого аргумента, $p$, отличается от его зависимости от $x$, $y$ и $z$. Это преодолевается лечением $R_{J}$ как полностью симметричная функция пяти аргументов, два из которых имеют одинаковое значение $p$. Поэтому среднее значение аргументов принимается равным

$A={\frac {x+y+z+2p}{5}}$

и различия $\Delta x$, $\Delta y$ $\Delta z$ и $\Delta p$ определяется

${\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}$

Элементарные симметричные многочлены в $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$, $\Delta p$ и (снова) $\Delta p$ полностью

$E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0$

$E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p$

$E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p$

$E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p$

$E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}$

Однако можно упростить формулы для $E_{2}$, $E_{3}$ и $E_{4}$ используя тот факт, что $E_{1}=0$. Выразив подынтегральную функцию через эти многочлены, выполнив многомерное разложение Тейлора и почленно интегрируя, как и раньше...

${\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}dt\\&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}$

Как и в случае с $R_{J}$, расширяя среднее значение аргументов, более половины членов (тех, которые включают в себя $E_{1}$) устраняются.

Отрицательные аргументы

В общем, аргументы x, y, z интегралов Карлсона могут не быть действительными и отрицательными, поскольку это создало бы точку ветвления на пути интегрирования, сделав интеграл неоднозначным. Однако если второй аргумент $R_{C}$, или четвертый аргумент p из $R_{J}$ отрицательно, то образуется простой полюс на пути интегрирования . В этих случаях может представлять интерес главное значение Коши (конечная часть) интегралов; это

$\mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),$

и

${\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}$

где

$q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}}.$

которое должно быть больше нуля, чтобы $R_{J}(x,y,z,q)$ быть оцененным. Это можно сделать, переставив x, y и z так, чтобы значение y находилось между значениями x и z.

Численная оценка

Теорему о дублировании можно использовать для быстрой и надежной оценки симметричной формы Карлсона эллиптических интегралов.и, следовательно, также для вычисления лежандровой формы эллиптических интегралов. Давайте посчитаем $R_{F}(x,y,z)$:во-первых, определите $x_{0}=x$, $y_{0}=y$ и $z_{0}=z$. Затем повторите серию

$\lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},$

$x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}$

пока не будет достигнута желаемая точность: если $x$, $y$ и $z$ неотрицательны, все ряды быстро сходятся к заданному значению, скажем, $\mu$. Поэтому,

$R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.$

Оценка $R_{C}(x,y)$ во многом то же самое из-за отношения

$R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).$

Ссылки и внешние ссылки

• BC Карлсон, Джон Л. Густавсон «Асимптотические приближения для симметричных эллиптических интегралов», 1993 arXiv
• BC Карлсон «Численное вычисление действительных или комплексных эллиптических интегралов» 1994 arXiv
• BC Карлсон «Эллиптические интегралы: симметричные интегралы» в гл. 19 Электронной библиотеки математических функций . Дата выпуска 07.05.2010. Национальный институт стандартов и технологий.
• «Профиль: Билле К. Карлсон» в Цифровой библиотеке математических функций . Национальный институт стандартов и технологий.
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8 , заархивировано из оригинала 11 августа 2011 г. , получено 10 августа 2011 г.
• Фортрана Код от SLATEC для оценки RF , RJ , RC , RD ,