Дзета-функция Якоби

В математике дзета-функция Якоби Z ( u ) является логарифмической производной тета -функции Якоби Θ(u). Его также обычно обозначают как $\operatorname {zn} (u,k)$

$\Theta (u)=\Theta _{4}\left({\frac {\pi u}{2K}}\right)$

$Z(u)={\frac {\partial }{\partial u}}\ln \Theta (u)$ $={\frac {\Theta '(u)}{\Theta (u)}}$

$Z(\phi |m)=E(\phi |m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}F(\phi |m)$

Где E, K и F — общие неполные эллиптические интегралы первого и второго рода. Дзета-функции Якоби, являющиеся разновидностью тета-функций Якоби, имеют применение во всех соответствующих областях и приложениях.

$\operatorname {zn} (u,k)=Z(u)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}v-{\frac {E}{K}}dv$

Это связано с общепринятыми обозначениями Якоби: $\operatorname {dn} {u}={\sqrt {1-m\sin {\theta }^{2}}}$, $\operatorname {sn} u=\sin {\theta }$, $\operatorname {cn} u=\cos {\theta }$. к дзета-функции Якоби.

Некоторые дополнительные отношения включают:

$\operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{1}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{1}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {cn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {sn} {u}}}$

$\operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{2}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{2}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {cn} {u}}}$

$\operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{3}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{3}{\frac {\pi u}{2K}}}}-k^{2}{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {cn} {u}}{\operatorname {dn} {u}}}$

$\operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{4}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{4}{\frac {\pi u}{2K}}}}$

Ссылки

• https://booksite.elsevier.com/samplechapters/9780123736376/Sample_Chapters/01~Front_Matter.pdf Pg.xxxiv
• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 16» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 578. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• http://mathworld.wolfram.com/JacobiZetaFunction.html