Реальный аналитический ряд Эйзенштейна

В математике простейший действительный аналитический ряд Эйзенштейна представляет собой специальную функцию двух переменных. Он используется в теории представлений SL (2, R ) и в аналитической теории чисел . Она тесно связана с дзета-функцией Эпштейна.

Существует множество обобщений, связанных с более сложными группами.

Определение

Ряд Эйзенштейна E ( z , s ) для z = x + iy в верхней полуплоскости определяется формулой

E(z,s)={1 \over 2}\sum _{(m,n)=1}{y^{s} \over |mz+n|^{2s}}

для Re( s ) > 1 и аналитическим продолжением для других значений комплексного числа s . Сумма вычисляется по всем парам взаимно простых целых чисел.

Предупреждение : существует несколько других немного отличающихся определений. Некоторые авторы опускают фактор ⁠ 1/2 и некоторая сумма по всем парам целых чисел , ⁠ ; которые не равны нулю ) раз что меняет функцию в ζ(2 s .

Характеристики

Как функция от z

Если рассматривать как функцию от z , E ( z , s ) является вещественно-аналитической собственной функцией оператора Лапласа на H с собственным значением s ( s -1). Другими словами, он удовлетворяет эллиптическому уравнению в частных производных

-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(1-s)E(z,s),

где $z=x+yi.$

Функция E ( z , s ) инвариантна относительно действия SL(2, Z ) на z в верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями . Вместе с предыдущим свойством это означает, что ряд Эйзенштейна представляет собой форму Мааса , вещественно-аналитический аналог классической эллиптической модулярной функции .

Предупреждение : E ( z , s ) не является интегрируемой с квадратом функцией z относительно инвариантной римановой метрики на H .

Как функция от s

Ряд Эйзенштейна сходится при Re( s )>1, но может быть аналитически продолжен до мероморфной функции от s на всей комплексной плоскости, причем в полуплоскости Re( s ) $\geq$ 1/2 единственный полюс вычета 3/π в точке s = 1 (для всех z в H ) и бесконечное число полюсов в полосе 0 < Re( s ) < 1/2 в точке $\rho /2$ где $\rho$ соответствует нетривиальному нулю дзета-функции Римана. Постоянный член полюса при s = 1 описывается предельной формулой Кронекера .

Модифицированная функция

E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)\

удовлетворяет функциональному уравнению

E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s)\

аналогично функциональному уравнению для дзета-функции Римана ζ( s ).

Скалярное произведение двух разных рядов Эйзенштейна E ( z , s ) и E ( z , t ) задается соотношениями Маасса-Сельберга .

Разложение Фурье

Вышеуказанные свойства вещественного аналитического ряда Эйзенштейна, т.е. функционального уравнения для E(z,s) и E ^*(z,s) с использованием лапласиана на H показаны на основании того факта, что E(z,s) имеет разложение Фурье: $E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{{\hat {\zeta }}(2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx)\ ,$

где

{\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ ,

\sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,

и модифицированные функции Бесселя

{\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}(u+{\frac {1}{u}}){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}

Дзета-функция Эпштейна

Дзета -функция Эпштейна ζ _Q ( s ) ( Эпштейн 1903 ) для положительно определенной целочисленной квадратичной формы Q ( m , n ) = cm ² + БМН + ан ² определяется

\zeta _{Q}(s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over Q(m,n)^{s}}.\

По сути, это частный случай вещественного аналитического ряда Эйзенштейна для специального значения z , поскольку

Q(m,n)=a|mz-n|^{2}\

для

z=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.

Эта дзета-функция была названа в честь Пола Эпштейна .

Обобщения

Вещественный аналитический ряд Эйзенштейна E ( z , s ) на самом деле является рядом Эйзенштейна, связанным с дискретной подгруппой SL(2, Z ) группы SL(2, R ) . Сельберг описал обобщения на другие дискретные подгруппы Γ группы SL(2, R ) и использовал их для изучения представления SL(2, R ) на L ²(SL(2, R )/Γ). Ленглендс распространил работу Сельберга на группы более высоких измерений; его общеизвестно сложные доказательства были позже упрощены Йозефом Бернштейном .

См. также

Ссылки

Дж. Бернштейн, Мероморфное продолжение ряда Эйзенштейна
Эпштейн, П. (1903), «К теории общих дзета-функций I» (PDF) , Math. , 56 (4): 614–644, doi : 10.1007/BF01444309 .
А. Криг (2001) [1994], «Дзета-функция Эпштейна» , Энциклопедия математики , EMS Press
Кубота, Т. (1973), Элементарная теория рядов Эйзенштейна , Токио: Коданша, ISBN 0-470-50920-1 .
Ленглендс, Роберт П. (1976), О функциональных уравнениях, которым удовлетворяют ряды Эйзенштейна , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07872-Х .
Сельберг А., Разрывные группы и гармонический анализ , Тр. Межд. Конгресс Матем., 1962.
Д. Загер , Ряды Эйзенштейна и дзета-функция Римана .