Е 8 Решетка
В математике решетка E 8 — это особая решетка в R 8 . Ее можно охарактеризовать как единственную положительно определенную четную унимодулярную решетку ранга 8. Название происходит от того, что она является корневой решеткой системы E 8 корневой .
Норма [1] решетки E 8 (деленной на 2) является положительно определенной четной унимодулярной квадратичной формой от 8 переменных, и, наоборот, такую квадратичную форму можно использовать для построения положительно определенной четной унимодулярной решетки ранга 8.Существование такой формы впервые было показано Х. Дж. Смитом в 1867 г. [2] а первая явная конструкция этой квадратичной формы была дана Коркиным и Золотаревым в 1873 году. [3] Решетку E 8 также называют решеткой Госсета в честь Торольда Госсета , который был одним из первых, кто изучил геометрию самой решетки около 1900 года. [4]
Точки решетки
[ редактировать ]Решетка E 8 является дискретной подгруппой R 8 полного ранга (т.е. охватывает все R 8 ). Его можно явно задать множеством точек Γ 8 ⊂ R 8 такой, что
- все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых и полуцелых чисел не допускается), и
- сумма восьми координат является четным целым числом .
В символах,
Нетрудно проверить, что сумма двух точек решетки является еще одной точкой решетки, так что Γ 8 действительно является подгруппой.
Иногда удобным альтернативным описанием решетки E 8 является множество всех точек из Γ′ 8 ⊂ R 8 такой, что
- все координаты целые числа, а сумма координат четная, или
- все координаты полуцелые, а сумма координат нечетная.
В символах,
Решетки Γ 8 и Γ 8 изоморфны , и переход от одной к другой возможен путем изменения знаков любого нечетного числа полуцелых координат. Решетку Γ 8 иногда называют четной системой координат для E 8 , а решетку Γ 8 называют нечетной системой координат . Если не указано иное, мы будем работать в четной системе координат.
Характеристики
[ редактировать ]Решетку E 8 Γ 8 можно охарактеризовать как единственную решетку в R 8 со следующими свойствами:
- Оно целое , что означает, что все скалярные произведения элементов решетки являются целыми числами.
- Он унимодулярный , то есть целочисленный, и может быть порожден столбцами матрицы 8×8 с определителем ±1 (т. е. объем основного параллелоэдра решетки равен 1). Эквивалентно, Γ 8 самодвойственна двойственной , то есть равна своей решетке .
- Это даже , то есть норма [1] любого вектора решетки четен.
Даже унимодулярные решетки могут возникнуть только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решеток две: Γ 8 ⊕ Γ 8 и Γ 16 (построены аналогично Γ 8) . В размерности 24 таких решеток 24, называемых Нимейером . Решетки Наиболее важной из них является решетка Лича .
Одним из возможных оснований для Γ 8 являются столбцы ( верхнетреугольной ) матрицы
Тогда Γ 8 является целой оболочкой этих векторов. Все остальные возможные базисы получаются из этого умножением справа на элементы GL(8, Z ).
Кратчайшие ненулевые векторы в Γ 8 имеют длину, равную √2. Таких векторов 240:
- Все полуцелые числа (может быть только ±1/2):
- Все положительные или все отрицательные: 2
- Четыре положительных, четыре отрицательных: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70.
- Двое из одного, шесть из другого: 2*(8*7)/(2*1) = 56
- Все целые числа (может быть только 0, ±1):
- Два ±1, шесть нулей: 4*(8*7)/(2*1)=112
образуют корневую систему типа Е8 . Они Решетка Γ 8 равна решетке корней E 8 , то есть она задается целым охватом 240 корней. Любой выбор 8 простых корней дает основу для Γ 8 .
Группа симметрии
[ редактировать ]Группа автоморфизмов (или группа симметрии ) решетки в R н определяется как подгруппа ортогональной группы O( n ), сохраняющая решетку. Группой симметрии решетки E8 является группа Вейля / Коксетера типа E8 . Это группа, порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решетки. Его порядок задается
Группа Вейля E 8 содержит подгруппу порядка 128·8! состоящая из всех перестановок координат и всех четных изменений знаков. Эта подгруппа является группой Вейля типа D8 . Полная группа Вейля E 8 порождается этой подгруппой и блочно-диагональной матрицей H 4 ⊕ H 4 , где H 4 — матрица Адамара.
Геометрия
[ редактировать ]- См. 5 21 соты
Точки решетки E 8 являются вершинами сот 5 21 , которые состоят из правильных 8-симплексных и 8-ортоплексных граней . Эти соты были впервые изучены Госсетом, который назвал их полуправильной 9-й фигурой. [4] (Госсет рассматривал соты в n измерениях как вырожденные n +1 многогранники). В Кокстера обозначениях [5] Соты Госсета обозначаются цифрой 5 21 и имеют диаграмму Кокстера-Динкина :
Эти соты очень регулярны в том смысле, что их группа симметрии (аффинная Группа Вейля) действует транзитивно на k -гранях при k ⩽ 6. Все k -грани при k ⩽ 7 являются симплексами.
Вершинная фигура сот Госсета представляет собой полуправильный E 8 многогранник (4 21 в обозначениях Коксетера), заданный выпуклой оболочкой из 240 корней решетки E 8 .
Каждая точка решетки E8 окружена 2160 8-ортоплексами и 17280 8-симплексами. 2160 глубоких дыр вблизи начала координат представляют собой в точности половины точек решетки нормы 4. 17520 точек решетки с нормой 8 делятся на два класса (две орбиты под действием группы автоморфизмов E 8 ): 240 — в два раза больше точек решетки с нормой 2, а 17280 — в 3 раза больше мелких дыр, окружающих начало координат.
Дырка в решетке — это точка окружающего евклидова пространства, расстояние которой до ближайшей точки решетки является локальным максимумом . (В решетке, определенной как однородные соты, эти точки соответствуют центрам объемов граней .) Глубокая дыра — это дыра, расстояние которой до решетки является глобальным максимумом. имеются два типа отверстий В решетке Е 8 :
- Глубокие дыры, такие как точка (1,0,0,0,0,0,0,0), находятся на расстоянии 1 от ближайших точек решетки. На этом расстоянии находится 16 точек решетки, которые образуют вершины 8-ортоплекса с центром в дырке ( ячейка Делоне дырки).
- Неглубокие отверстия, такие как точка находятся на расстоянии из ближайших точек решетки. На этом расстоянии находятся 9 точек решетки, образующих вершины 8-симплекса с центром в отверстии.
Упаковки сфер и числа поцелуев
[ редактировать ]Решетка E 8 примечательна тем, что она дает оптимальные решения проблемы упаковки сфер и проблемы числа поцелуев в 8 измерениях.
Проблема упаковки сфер спрашивает, как наиболее плотно упаковать (сплошные) n -мерные сферы фиксированного радиуса в R. н так, чтобы никакие две сферы не пересекались. Решетчатые упаковки — это особые типы упаковок сфер, в которых сферы центрированы в точках решетки. Размещение сфер радиуса 1/ √ 2 в точках решетки E 8 дает решетчатую упаковку в R 8 с плотностью
В статье Ганса Фредерика Блихфельдта 1935 года было доказано, что это максимальная плотность, которой можно достичь с помощью решетчатой упаковки в 8 измерениях. [6] Более того, решетка E 8 является единственной решеткой (с точностью до изометрий и ремасштабировок) с такой плотностью. [7] Марина Вязовская в 2016 году доказала, что эта плотность на самом деле оптимальна даже среди нестандартных упаковок. [8] [9]
Проблема числа поцелуев спрашивает, каково максимальное количество сфер фиксированного радиуса, которые могут коснуться (или «поцеловать») центральной сферы того же радиуса. В упомянутой выше решетчатой упаковке E 8 каждая сфера касается 240 соседних сфер. Это связано с тем, что существует 240 векторов решетки минимальной ненулевой нормы (корни решетки E 8 ). В 1979 году было показано, что это максимально возможное число в 8 измерениях. [10] [11]
Проблема упаковки сфер и проблема числа поцелуев чрезвычайно сложны, и оптимальные решения известны только в 1, 2, 3, 8 и 24 измерениях (плюс измерение 4 для проблемы числа поцелуев). Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, частично следует из особых свойств решетки E 8 и ее 24-мерной кузины, решетки Лича .
Тета-функция
[ редактировать ]Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тэта-функцию, заданную формулой
Тогда тэта-функция решетки является голоморфной функцией в верхней полуплоскости . Более того, тэта-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модулярной формой веса n /2. Тета-функция целой решетки часто записывается в виде степенного ряда в так что коэффициент при q н дает количество векторов решетки нормы n .
С точностью до нормализации существует единственная модулярная форма веса 4 и уровня 1: ряд Эйзенштейна G 4 (τ). Тогда тэта-функция решетки E 8 должна быть пропорциональна G 4 (τ). Нормализацию можно исправить, заметив, что существует уникальный вектор нормы 0. Это дает
где σ3 ( n ) — функция делителя . Отсюда следует, что число векторов решетки E 8 нормы 2 n в 240 раз превышает сумму кубов делителей n . Первые несколько членов этой серии имеют вид (последовательность A004009 в OEIS ):
Тета-функция E 8 может быть записана через тэта-функции Якоби следующим образом:
где
Обратите внимание, что j-функция может быть выражена как:
Другие конструкции
[ редактировать ]Код Хэмминга
[ редактировать ]Решетка E 8 очень тесно связана с (расширенным) кодом Хэмминга H (8,4) и фактически может быть построена на его основе. Код Хэмминга H (8,4) — двоичный код длины 8 и ранга 4; то есть это 4-мерное подпространство конечного векторного пространства ( F 2 ) 8 . Написание элементов ( F 2 ) 8 как 8-битные целые числа в шестнадцатеричном формате , код H (8,4) может быть задан явно как набор
- {00, 0F, 33, 3С, 55, 5А, 66, 69, 96, 99, А5, АА, С3, СС, F0, FF}.
Код H (8,4) важен отчасти потому, что это самодвойственный код типа II . Он имеет минимальный ненулевой вес Хэмминга 4, что означает, что любые два кодовых слова отличаются как минимум на 4 бита. Это двоичный код наибольшей длины 8 с этим свойством.
Решетку Λ можно построить из двоичного кода C длины n , взяв набор всех векторов x из Z н такой, что x конгруэнтен (по модулю 2) кодовому слову C . [12] Часто бывает удобно масштабировать Λ в 1/ √ 2 ,
Применяя эту конструкцию, самодвойственный код типа II дает четную унимодулярную решетку. В частности, его применение к коду Хэмминга H (8,4) дает решетку E8 . не совсем тривиально Однако найти явный изоморфизм между этой решеткой и решеткой Г8, определенной выше, .
Целые октонионы
[ редактировать ]Решетка E 8 также тесно связана с неассоциативной алгеброй вещественных октонионов O . можно определить Понятие целого октониона аналогично понятию целого кватерниона . Целые октонионы естественным образом образуют решетку O. внутри Эта решетка представляет собой просто измененную решетку E 8 . (Минимальная норма в целостной решетке октонионов равна 1, а не 2). Внедренная таким образом в октонионы решетка Е8 приобретает структуру неассоциативного кольца .
Зафиксировав базис (1, i , j , k , ℓ, ℓ i , ℓ j , ℓ k ) единичных октонионов,можно определить целые октонионы как максимальный порядок, содержащий этот базис. (Конечно, определения порядка и кольца необходимо расширить , включив в них неассоциативный случай). Это равнозначно нахождению наибольшего подкольца O , содержащего единицы, в которых выражения x * x (норма x ) и x + x * (удвоенная действительная часть x ) имеют целочисленные значения. На самом деле таких максимальных порядков семь, по одному на каждую из семи мнимых единиц. Однако все семь максимальных порядков изоморфны. Один такой максимальный порядок порождается октонионами i , j и 1/2 + ( + я + j ℓ k ).
Подробное описание интегральных октонионов и их связи с решеткой E 8 можно найти у Конвея и Смита (2003).
Пример определения целых октонионов
[ редактировать ]Рассмотрим умножение октонионов, заданное триадами: 137, 267, 457, 125, 243, 416, 356. Тогда целые октонионы образуют векторы:
1) , я=0, 1, ..., 7
2) , индексы abc проходят через семь триад 124, 235, 346, 457, 561, 672, 713.
3) , индексы pqrs проходят через семь тетрад 3567, 1467, 1257, 1236, 2347, 1345, 2456.
Мнимые октонионы в этом наборе, а именно 14 из 1) и 7*16=112 из 3), образуют корни алгебры Ли. . Вместе с оставшимися 2+112 векторами получаем 240 векторов, образующих корни алгебры Ли. . [13]
Приложения
[ редактировать ]1982 году Майкл Фридман создал пример топологического 4-многообразия , названного E8 многообразием В , форма пересечения которого задается решеткой E8 . Это многообразие является примером топологического многообразия, не допускающего гладкой структуры и даже не триангулируемого .
В теории струн гетеротическая струна представляет собой своеобразный гибрид 26-мерной бозонной струны и 10-мерной суперструны . Чтобы теория работала корректно, 16 несовпадающих измерений должны быть компактифицированы на четной унимодулярной решетке ранга 16. Таких решёток две: Γ 8 >⊕ Γ 8 и Γ 16 (построенных аналогично решётке Г 8 ). Это приводит к двум версиям гетеротической струны, известным как гетеротическая струна E 8 × E 8 и гетеротическая струна SO (32).
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б В этой статье под нормой вектора понимается квадрат его длины (квадрат обычной нормы ).
- ^ Смит, HJS (1867). «О порядках и родах квадратичных форм, содержащих более трех неопределенных» . Труды Королевского общества . 16 : 197–208. дои : 10.1098/rspl.1867.0036 .
- ^ Коркин А.; Золотарев Г. (1873). «О квадратичных формах». Математические летописи . 6 : 366–389. дои : 10.1007/BF01442795 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . 29 : 43–48.
- ^ Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8 .
- ^ Бличфельдт, HF (1935). «Минимальные значения положительных квадратичных форм от шести, семи и восьми переменных». Mathematische Zeitschrift . 39 : 1–15. дои : 10.1007/BF01201341 . Збл 0009.24403 .
- ^ Ветчинкин, Н. М. (1980). «Единственность классов положительных квадратичных форм, на которых значения постоянной Эрмита достигаются при 6 ≤ n ≤ 8». Геометрия положительных квадратичных форм . Том. 152. Труды Матем. Инст. Стеклов. стр. 34–86.
- ^ Кларрайх, Эрика (30 марта 2016 г.). «Упаковка сфер решена в более высоких измерениях» . Журнал Кванта .
- ^ Вязовская, Марина (2017). «Задача упаковки сфер в размерности 8». arXiv : 1603.04246v2 .
- ^ Левенштейн, В.И. (1979). «Об границах упаковки в n -мерном евклидовом пространстве». Советская математика – Доклады . 20 : 417–421.
- ^ Одлизко, А.М. ; Слоан, Нью-Джерси (1979). «Новые границы количества единичных сфер, которые могут касаться единичной сферы в n измерениях». Журнал комбинаторной теории . А26 : 210–214. CiteSeerX 10.1.1.392.3839 . дои : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 . Збл 0408.52007 . Это также глава 13 книги Конвея и Слоана (1998).
- ^ Это так называемая «Конструкция А» у Конвея и Слоана (1998). См. § 2 гл. 5.
- ^ Коджа, Мехмет; Овен, Рамадан; Коджа, Назифе О. (20 октября 2005 г.). «Группа Шевалле порядка 12096 и октонионной корневой системой , Линейная алгебра и ее приложения». Стр. 808–823. arXiv : hep-th/0509189v2 .
- Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил Дж. А. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9 .
- Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах . Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 . Глава 9 содержит обсуждение целых октонионов и решетки E8 .