Е 8 Решетка

В математике решетка E ₈ — это особая решетка в R ⁸ . Ее можно охарактеризовать как единственную положительно определенную четную унимодулярную решетку ранга 8. Название происходит от того, что она является корневой решеткой системы E ₈ корневой .

Норма решетки E ₈ (деленной на 2) является положительно определенной четной унимодулярной квадратичной формой от 8 переменных, и, наоборот, такую ​​квадратичную форму можно использовать для построения положительно определенной четной унимодулярной решетки ранга 8.Существование такой формы впервые было показано Х. Дж. Смитом в 1867 г. а первая явная конструкция этой квадратичной формы была дана Коркиным и Золотаревым в 1873 году. Решетку E ₈ также называют решеткой Госсета в честь Торольда Госсета , который был одним из первых, кто изучил геометрию самой решетки около 1900 года.

Точки решетки

Решетка E ₈ ​ является дискретной подгруппой R ⁸ полного ранга (т.е. охватывает все R ⁸ ). Его можно явно задать множеством точек Γ ₈ ⊂ R ⁸ такой, что

• все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых и полуцелых чисел не допускается), и
• сумма восьми координат является четным целым числом .

В символах,

$\Gamma _{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$

Нетрудно проверить, что сумма двух точек решетки является еще одной точкой решетки, так что Γ ₈ действительно является подгруппой.

Иногда удобным альтернативным описанием решетки E ₈ является множество всех точек из Γ′ ₈ ⊂ R ⁸ такой, что

• все координаты целые числа, а сумма координат четная, или
• все координаты полуцелые, а сумма координат нечетная.

В символах,

$\Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$

$\Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2)\right\}\cup \left\{(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2)\right\}.$

Решетки Γ ₈ и Γ ₈ изоморфны , и переход от одной к другой возможен путем изменения знаков любого нечетного числа полуцелых координат. Решетку Γ ₈ иногда называют четной системой координат для E ₈ , а решетку Γ ₈ называют нечетной системой координат . Если не указано иное, мы будем работать в четной системе координат.

Характеристики

Решетку E ₈ Γ ₈ можно охарактеризовать как единственную решетку в R ⁸ со следующими свойствами:

• Оно целое , что означает, что все скалярные произведения элементов решетки являются целыми числами.
• Он унимодулярный , то есть целочисленный, и может быть порожден столбцами матрицы 8×8 с определителем ±1 (т. е. объем основного параллелоэдра решетки равен 1). Эквивалентно, Γ ₈ самодвойственна двойственной , то есть равна своей решетке .
• Это даже , то есть норма любого вектора решетки четен.

Даже унимодулярные решетки могут возникнуть только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решеток две: Γ ₈ ⊕ Γ ₈ и Γ ₁₆ (построены аналогично Γ ₈₎ . В размерности 24 таких решеток 24, называемых Нимейером . Решетки Наиболее важной из них является решетка Лича .

Одним из возможных оснований для Γ ₈ являются столбцы ( верхнетреугольной ) матрицы

$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{matrix}}\right]$

Тогда Γ ₈ является целой оболочкой этих векторов. Все остальные возможные базисы получаются из этого умножением справа на элементы GL(8, Z ).

Кратчайшие ненулевые векторы в Γ ₈ имеют длину, равную √2. Таких векторов 240:

• Все полуцелые числа (может быть только ±1/2):
  • Все положительные или все отрицательные: 2
  • Четыре положительных, четыре отрицательных: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70.
  • Двое из одного, шесть из другого: 2*(8*7)/(2*1) = 56
• Все целые числа (может быть только 0, ±1):
  • Два ±1, шесть нулей: 4*(8*7)/(2*1)=112

образуют корневую систему типа Е8 _. Они Решетка Γ ₈ равна решетке корней E ₈ , то есть она задается целым охватом 240 корней. Любой выбор 8 простых корней дает основу для Γ ₈ .

Группа симметрии

Группа автоморфизмов (или группа симметрии ) решетки в R ^н определяется как подгруппа ортогональной группы O( n ), сохраняющая решетку. Группой симметрии решетки E8 _{является} группа Вейля / Коксетера типа _E8 . Это группа, порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решетки. Его порядок задается

$|W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!$

Группа Вейля E ₈ содержит подгруппу порядка 128·8! состоящая из всех перестановок координат и всех четных изменений знаков. Эта подгруппа является группой Вейля типа _D8 . Полная группа Вейля E ₈ порождается этой подгруппой и блочно-диагональной матрицей H ₄ ⊕ H ₄ , где H ₄ — матрица Адамара.

$H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].$

Геометрия

См. 5 ₂₁ соты

Точки решетки E ₈ являются вершинами сот 5 ₂₁ , которые состоят из правильных 8-симплексных и 8-ортоплексных граней . Эти соты были впервые изучены Госсетом, который назвал их полуправильной 9-й фигурой. (Госсет рассматривал соты в n измерениях как вырожденные n +1 многогранники). В Кокстера обозначениях Соты Госсета обозначаются цифрой 5 ₂₁ и имеют диаграмму Кокстера-Динкина :

Эти соты очень регулярны в том смысле, что их группа симметрии (аффинная ${\tilde {E}}_{8}$ Группа Вейля) действует транзитивно на k -гранях при k ⩽ 6. Все k -грани при k ⩽ 7 являются симплексами.

Вершинная фигура сот Госсета представляет собой полуправильный E ₈ многогранник (4 ₂₁ в обозначениях Коксетера), заданный выпуклой оболочкой из 240 корней решетки E ₈ .

Каждая точка решетки E8 _{окружена} 2160 8-ортоплексами и 17280 8-симплексами. 2160 глубоких дыр вблизи начала координат представляют собой в точности половины точек решетки нормы 4. 17520 точек решетки с нормой 8 делятся на два класса (две орбиты под действием группы автоморфизмов E ₈ ): 240 — в два раза больше точек решетки с нормой 2, а 17280 — в 3 раза больше мелких дыр, окружающих начало координат.

Дырка в решетке — это точка окружающего евклидова пространства, расстояние которой до ближайшей точки решетки является локальным максимумом . (В решетке, определенной как однородные соты, эти точки соответствуют центрам объемов граней .) Глубокая дыра — это дыра, расстояние которой до решетки является глобальным максимумом. имеются два типа отверстий _{В решетке Е 8} :

• Глубокие дыры, такие как точка (1,0,0,0,0,0,0,0), находятся на расстоянии 1 от ближайших точек решетки. На этом расстоянии находится 16 точек решетки, которые образуют вершины 8-ортоплекса с центром в дырке ( ячейка Делоне дырки).
• Неглубокие отверстия, такие как точка $({\tfrac {5}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})$ находятся на расстоянии ${\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}$ из ближайших точек решетки. На этом расстоянии находятся 9 точек решетки, образующих вершины 8-симплекса с центром в отверстии.

Упаковки сфер и числа поцелуев

Решетка E ₈ примечательна тем, что она дает оптимальные решения проблемы упаковки сфер и проблемы числа поцелуев в 8 измерениях.

Проблема упаковки сфер спрашивает, как наиболее плотно упаковать (сплошные) n -мерные сферы фиксированного радиуса в R. ^н так, чтобы никакие две сферы не пересекались. Решетчатые упаковки — это особые типы упаковок сфер, в которых сферы центрированы в точках решетки. Размещение сфер радиуса 1/ √ 2 в точках решетки E ₈ дает решетчатую упаковку в R ⁸ с плотностью

${\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.$

В статье Ганса Фредерика Блихфельдта 1935 года было доказано, что это максимальная плотность, которой можно достичь с помощью решетчатой ​​упаковки в 8 измерениях. Более того, решетка E ₈ является единственной решеткой (с точностью до изометрий и ремасштабировок) с такой плотностью. Марина Вязовская в 2016 году доказала, что эта плотность на самом деле оптимальна даже среди нестандартных упаковок.

Проблема числа поцелуев спрашивает, каково максимальное количество сфер фиксированного радиуса, которые могут коснуться (или «поцеловать») центральной сферы того же радиуса. В упомянутой выше решетчатой ​​упаковке E ₈ каждая сфера касается 240 соседних сфер. Это связано с тем, что существует 240 векторов решетки минимальной ненулевой нормы (корни решетки E ₈ ). В 1979 году было показано, что это максимально возможное число в 8 измерениях.

Проблема упаковки сфер и проблема числа поцелуев чрезвычайно сложны, и оптимальные решения известны только в 1, 2, 3, 8 и 24 измерениях (плюс измерение 4 для проблемы числа поцелуев). Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, частично следует из особых свойств решетки E ₈ и ее 24-мерной кузины, решетки Лича .

Тета-функция

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тэта-функцию, заданную формулой

$\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.$

Тогда тэта-функция решетки является голоморфной функцией в верхней полуплоскости . Более того, тэта-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модулярной формой веса n /2. Тета-функция целой решетки часто записывается в виде степенного ряда в $q=e^{i\pi \tau }$ так что коэффициент при q ^н дает количество векторов решетки нормы n .

С точностью до нормализации существует единственная модулярная форма веса 4 и уровня 1: ряд Эйзенштейна G ₄ (τ). Тогда тэта-функция решетки E ₈ должна быть пропорциональна G ₄ (τ). Нормализацию можно исправить, заметив, что существует уникальный вектор нормы 0. Это дает

$\Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}$

где σ3 ₍ n ) — функция делителя . Отсюда следует, что число векторов решетки E ₈ нормы 2 n в 240 раз превышает сумму кубов делителей n . Первые несколько членов этой серии имеют вид (последовательность A004009 в OEIS ):

$\Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).$

Тета-функция E ₈ может быть записана через тэта-функции Якоби следующим образом:

$\Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)$

где

$\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.$

Обратите внимание, что j-функция может быть выражена как:

$j(\tau )\,=\,32\,{\frac {\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)^{3}}{\left(\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)\right)^{8}}}$

Другие конструкции

Код Хэмминга

Решетка E ₈ очень тесно связана с (расширенным) кодом Хэмминга H (8,4) и фактически может быть построена на его основе. Код Хэмминга H (8,4) — двоичный код длины 8 и ранга 4; то есть это 4-мерное подпространство конечного векторного пространства ( F ₂ ) ⁸ . Написание элементов ( F ₂ ) ⁸ как 8-битные целые числа в шестнадцатеричном формате , код H (8,4) может быть задан явно как набор

{00, 0F, 33, 3С, 55, 5А, 66, 69, 96, 99, А5, АА, С3, СС, F0, FF}.

Код H (8,4) важен отчасти потому, что это самодвойственный код типа II . Он имеет минимальный ненулевой вес Хэмминга 4, что означает, что любые два кодовых слова отличаются как минимум на 4 бита. Это двоичный код наибольшей длины 8 с этим свойством.

Решетку Λ можно построить из двоичного кода C длины n , взяв набор всех векторов x из Z ^н такой, что x конгруэнтен (по модулю 2) кодовому слову C . Часто бывает удобно масштабировать Λ в 1/ √ 2 ,

$\Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.$

Применяя эту конструкцию, самодвойственный код типа II дает четную унимодулярную решетку. В частности, его применение к коду Хэмминга H (8,4) дает _{решетку E8} . не совсем тривиально _{Однако найти явный изоморфизм между этой решеткой и решеткой Г8,} определенной выше, .

Целые октонионы

Решетка E ₈ также тесно связана с неассоциативной алгеброй вещественных октонионов O . можно определить Понятие целого октониона аналогично понятию целого кватерниона . Целые октонионы естественным образом образуют решетку O. внутри Эта решетка представляет собой просто измененную решетку E ₈ . (Минимальная норма в целостной решетке октонионов равна 1, а не 2). Внедренная таким образом в октонионы решетка Е8 _{приобретает} структуру неассоциативного кольца .

Зафиксировав базис (1, i , j , k , ℓ, ℓ i , ℓ j , ℓ k ) единичных октонионов,можно определить целые октонионы как максимальный порядок, содержащий этот базис. (Конечно, определения порядка и кольца необходимо расширить , включив в них неассоциативный случай). Это равнозначно нахождению наибольшего подкольца O , содержащего единицы, в которых выражения x * x (норма x ) и x + x * (удвоенная действительная часть x ) имеют целочисленные значения. На самом деле таких максимальных порядков семь, по одному на каждую из семи мнимых единиц. Однако все семь максимальных порядков изоморфны. Один такой максимальный порядок порождается октонионами i , j и ⁠ 1/2 + ⁠ ( + я + j ℓ k ).

Подробное описание интегральных октонионов и их связи с решеткой E ₈ можно найти у Конвея и Смита (2003).

Пример определения целых октонионов

Рассмотрим умножение октонионов, заданное триадами: 137, 267, 457, 125, 243, 416, 356. Тогда целые октонионы образуют векторы:

1) $\pm e_{i}$, я=0, 1, ..., 7

2) $\pm e_{0}\pm e_{a}\pm e_{b}\pm e_{c}$, индексы abc проходят через семь триад 124, 235, 346, 457, 561, 672, 713.

3) $\pm e_{p}\pm e_{q}\pm e_{r}\pm e_{s}$, индексы pqrs проходят через семь тетрад 3567, 1467, 1257, 1236, 2347, 1345, 2456.

Мнимые октонионы в этом наборе, а именно 14 из 1) и 7*16=112 из 3), образуют корни алгебры Ли. $E_{7}$. Вместе с оставшимися 2+112 векторами получаем 240 векторов, образующих корни алгебры Ли. $E_{8}$.

Приложения

1982 году Майкл Фридман создал пример топологического 4-многообразия , названного E8 _{многообразием} В , форма пересечения которого задается решеткой _E8 . Это многообразие является примером топологического многообразия, не допускающего гладкой структуры и даже не триангулируемого .

В теории струн гетеротическая струна представляет собой своеобразный гибрид 26-мерной бозонной струны и 10-мерной суперструны . Чтобы теория работала корректно, 16 несовпадающих измерений должны быть компактифицированы на четной унимодулярной решетке ранга 16. Таких решёток две: Γ ₈ >⊕ _{Γ 8} и Γ ₁₆ (построенных аналогично решётке Г ₈ ). Это приводит к двум версиям гетеротической струны, известным как гетеротическая струна E ₈ × E ₈ и гетеротическая струна SO (32).

См. также

• Решетка пиявки
• Е ₈ (математика)
• Полуправильный E-многогранник

Ссылки

• Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил Дж. А. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98585-9 .
• Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах . Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN  1-56881-134-9 . Глава 9 содержит обсуждение целых октонионов и _{решетки E8} .