Порядок (теория колец)
В математике порядок . в смысле теории колец — это подкольцо кольца , такой, что
Последние два условия можно сформулировать менее формально: — свободная абелева группа порожденная базисом , над .
В более общем плане для область целостности с полем дробей , -порядок в конечномерном -алгебра является подкольцом из который является полным -решетка; т.е. является конечным -модуль со свойством, которое . [1]
Когда не является коммутативным кольцом , идея порядка по-прежнему важна, но явления другие. Например, кватернионы Гурвица образуют максимальный порядок среди кватернионов с рациональными координатами; они не являются кватернионами с целочисленными координатами в самом очевидном смысле. Максимальные порядки вообще существуют, но не обязательно должны быть уникальными: обычно не существует наибольшего порядка, а есть несколько максимальных порядков. Важным классом примеров являются целые групповые кольца .
Примеры
[ редактировать ]Некоторые примеры заказов: [2]
- Если это матричное кольцо над , то матричное кольцо над это -заказать в
- Если является целостной областью и конечное сепарабельное расширение , то интегральное замыкание из в это -заказать в .
- Если в является неотъемлемым элементом над , то кольцо полиномов это -порядок в алгебре
- Если это групповое кольцо конечной группы , затем это -заказать на
Фундаментальное свойство -orders заключается в том, что каждый элемент -порядок целочислен по . [3]
Если интегральное замыкание из в это -порядок, тогда целостность каждого элемента каждого -порядок показывает, что должен быть единственным максимальным -заказать в . Однако не всегда должен быть -заказ: действительно даже не обязательно должно быть кольцо, и даже если является кольцом (например, когда коммутативен), тогда не обязательно должен быть -решетка. [3]
Алгебраическая теория чисел
[ редактировать ]Ярким примером является случай, когда это числовое поле и является его кольцом целых чисел . В алгебраической теории чисел есть примеры для любых кроме рационального поля собственных подколец кольца целых чисел, которые также являются порядками. Например, в расширении поля гауссовых рациональных чисел над , интегральное замыкание — кольцо гауссовских целых чисел и это единственный максимум -order: все остальные заказы в содержатся в нем. Например, мы можем взять подкольцо комплексных чисел вида , с и целые числа. [4]
Вопрос о максимальном порядке можно исследовать на локальном уровне поля . Этот метод применяется в алгебраической теории чисел и теории модулярных представлений .
См. также
[ редактировать ]- Порядок кватернионов Гурвица - пример порядка колец
Примечания
[ редактировать ]- ^ Райнер (2003) с. 108
- ^ Райнер (2003), стр. 108–109
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Райнер (2003), с. 110
- ^ Похст и Зассенхаус (1989), с. 22
Ссылки
[ редактировать ]- Похст, М.; Зассенхаус, Х. (1989). Алгоритмическая алгебраическая теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 30. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-33060-2 . Збл 0685.12001 .
- Райнер, И. (2003). Максимальные заказы . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 28. Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-852673-3 . Збл 1024.16008 .