Jump to content

Порядок (теория колец)

(Перенаправлено с Максимального заказа )

В математике порядок . в смысле теории колец — это подкольцо кольца , такой, что

  1. является конечномерной алгеброй над полем рациональных чисел
  2. пролеты над , и
  3. это - решетка в .

Последние два условия можно сформулировать менее формально: свободная абелева группа порожденная базисом , над .

В более общем плане для область целостности с полем дробей , -порядок в конечномерном -алгебра является подкольцом из который является полным -решетка; т.е. является конечным -модуль со свойством, которое . [1]

Когда не является коммутативным кольцом , идея порядка по-прежнему важна, но явления другие. Например, кватернионы Гурвица образуют максимальный порядок среди кватернионов с рациональными координатами; они не являются кватернионами с целочисленными координатами в самом очевидном смысле. Максимальные порядки вообще существуют, но не обязательно должны быть уникальными: обычно не существует наибольшего порядка, а есть несколько максимальных порядков. Важным классом примеров являются целые групповые кольца .

Некоторые примеры заказов: [2]

  • Если это матричное кольцо над , то матричное кольцо над это -заказать в
  • Если является целостной областью и конечное сепарабельное расширение , то интегральное замыкание из в это -заказать в .
  • Если в является неотъемлемым элементом над , то кольцо полиномов это -порядок в алгебре
  • Если это групповое кольцо конечной группы , затем это -заказать на

Фундаментальное свойство -orders заключается в том, что каждый элемент -порядок целочислен по . [3]

Если интегральное замыкание из в это -порядок, тогда целостность каждого элемента каждого -порядок показывает, что должен быть единственным максимальным -заказать в . Однако не всегда должен быть -заказ: действительно даже не обязательно должно быть кольцо, и даже если является кольцом (например, когда коммутативен), тогда не обязательно должен быть -решетка. [3]

Алгебраическая теория чисел

[ редактировать ]

Ярким примером является случай, когда это числовое поле и является его кольцом целых чисел . В алгебраической теории чисел есть примеры для любых кроме рационального поля собственных подколец кольца целых чисел, которые также являются порядками. Например, в расширении поля гауссовых рациональных чисел над , интегральное замыкание — кольцо гауссовских целых чисел и это единственный максимум -order: все остальные заказы в содержатся в нем. Например, мы можем взять подкольцо комплексных чисел вида , с и целые числа. [4]

Вопрос о максимальном порядке можно исследовать на локальном уровне поля . Этот метод применяется в алгебраической теории чисел и теории модулярных представлений .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Райнер (2003) с. 108
  2. ^ Райнер (2003), стр. 108–109
  3. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Райнер (2003), с. 110
  4. ^ Похст и Зассенхаус (1989), с. 22
  • Похст, М.; Зассенхаус, Х. (1989). Алгоритмическая алгебраическая теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 30. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-33060-2 . Збл   0685.12001 .
  • Райнер, И. (2003). Максимальные заказы . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 28. Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-852673-3 . Збл   1024.16008 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 97b2fcd5362c00de44b95b4fec2c4821__1720338780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/97/21/97b2fcd5362c00de44b95b4fec2c4821.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Order (ring theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)