Экстремальные порядки арифметической функции

В математике , особенно в теории чисел , экстремальные порядки арифметической функции являются наилучшими возможными границами данной арифметической функции . В частности, если f ( n ) — арифметическая функция, а m ( n ) — неубывающая функция , которая в конечном итоге положительна и

\liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{m(n)}}=1

мы говорим, что m — минимальный порядок для f . Аналогично, если M ( n ) — неубывающая функция, которая в конечном итоге положительна и

\limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{M(n)}}=1

мы говорим, что M — максимальный порядок для f . ^{[ 1 ]}^: 80 Здесь, $\liminf _{n\to \infty }$ и $\limsup _{n\to \infty }$ обозначают нижний предел и верхний предел соответственно.

Впервые этот предмет систематически изучал Рамануджан, начиная с 1915 года. ^{[ 1 ]}^: 87

Примеры

Для функции суммы делителей σ( n ) имеем тривиальный результат $\liminf _{n\to \infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}=1$ потому что всегда σ( n ) ≥ n и для простых чисел σ( p ) = p + 1. Также имеем $\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma },$ доказал Гронуолл в 1913 году. ^{[ 1 ]}^: 86^{[ 2 ]}^{: Теорема 323}^{[ 3 ]} Следовательно, n — минимальный порядок и $e -с n ln ln n$ — максимальный порядок для σ( n ).
Для фактора Эйлера φ( n ) мы имеем тривиальный результат $\limsup _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)}{n}}=1$ потому что всегда φ( n ) ≤ n и для простых чисел φ( p ) = p − 1. Мы также имеем $\liminf _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)\ln \ln n}{n}}=e^{-\gamma },$ доказал Ландау в 1903 году. ^{[ 1 ]}^: 84^{[ 2 ]}^{: Теорема 328}
Для числа делителей функции d ( n ) мы имеем тривиальную нижнюю границу 2 ≤ d ( n ), в которой равенство возникает, когда n простое, поэтому 2 — минимальный порядок. Для ln d ( n ) мы имеем максимальный порядок $ln 2 ln n /ln ln n$ , доказанный Вигертом в 1907 году. ^{[ 1 ]}^: 82^{[ 2 ]}^{: Теорема 317}
Для количества различных простых множителей ω( n ) у нас есть тривиальная нижняя граница 1 ≤ ω( n ), в которой равенство возникает, когда n является степенью простого числа . Максимальный порядок для ω( n ) равен $ln n / ln ln n$ . ^{[ 1 ]}^: 83
Для количества простых множителей, подсчитанных с кратностью Ω( n ), мы имеем тривиальную нижнюю границу 1 ⩽ Ω( n ), в которой равенство имеет место, когда n простое. Максимальный порядок для Ω( n ) равен $ln n / ln 2$ ^{[ 1 ]}^: 83
Предполагается условию , что функция Мертенса или суммирующая функция функции Мёбиуса удовлетворяет $\limsup _{n\to \infty }{\frac {|M(x)|}{\sqrt {x}}}=+\infty ,$ хотя на сегодняшний день было показано, что этот верхний предел превышает лишь небольшую константу. Это утверждение сравнивается с опровержением гипотезы Мертенса, данным Одлыжко и Те Риле в их революционной статье « Опровержение гипотезы Мертенса», написанной несколько десятилетий назад . Напротив, мы отмечаем, что, хотя обширные вычислительные данные свидетельствуют о том, что вышеупомянутая гипотеза верна, т. е. в некоторой возрастающей последовательности $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ стремящийся к бесконечности средний порядок ${\sqrt {x_{n}}}|M(x_{n})|$ неограниченно растет, что гипотеза Римана эквивалентна пределу $\lim _{x\to \infty }M(x)/x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }=0$ верно для всех (достаточно мало) $\varepsilon >0$ .

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 46. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41261-7 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-853171-0 .
^ Гронуолл, TH (1913). «Некоторые асимптотические выражения в теории чисел» . Труды Американского математического общества . 14 (4): 113–122. дои : 10.1090/s0002-9947-1913-1500940-6 .

Дальнейшее чтение

Николя, Ж.-Л. (1988). «О высокосложных числах». В Эндрюсе, GE ; Аски, РА ; Берндт, Британская Колумбия ; Раманатан, КГ (ред.). Возвращение к Рамануджану . Академическая пресса. стр. 215–244 . ISBN 978-0-12-058560-1 . Обзор экстремальных порядков с обширной библиографией.

[Tenenbaum-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 46. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41261-7 .

[HW-2] Jump up to: ^а ^б ^с Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-853171-0 .

[3] Гронуолл, TH (1913). «Некоторые асимптотические выражения в теории чисел» . Труды Американского математического общества . 14 (4): 113–122. дои : 10.1090/s0002-9947-1913-1500940-6 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]