Средний порядок арифметической функции

В теории чисел средний порядок арифметической функции — это некоторая более простая или лучше понятная функция, которая «в среднем» принимает одни и те же значения.

Позволять $f$ быть арифметической функцией . Мы говорим, что заказ средний $f$ является $g$ если $$\sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)$$как $x$ стремится к бесконечности.

Традиционно выбирают аппроксимирующую функцию $g$ это непрерывно и монотонно . Но даже в этом случае средний заказ, конечно, не уникален.

В случаях, когда лимит $$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}f(n)=c$$

существует, говорят, что $f$ имеет среднее значение ( среднее значение ) $c$. Если, кроме того, константа $c$ не равна нулю, то постоянная функция $g(x)=c$ это средний заказ $f$.

Примеры

• Средний порядок d ( n ) , делителей n ; , равен log n числа
• Средний порядок σ ( n ) , делителей n π , равен n суммы ²  /  6 ;
• Средний порядок φ ( n ) , общей функции Эйлера от n , равен 6 n / π. ² ;
• Средний порядок r ( n ) , количества способов выразить n в виде суммы двух квадратов, равен π ;
• Средний порядок представления натурального числа в виде суммы трёх квадратов равен 4π n / 3 ;
• Среднее количество разложений натурального числа в сумму одного или нескольких последовательных простых чисел равно n log2 ;
• Средний порядок ω ( n ) , количества различных простых делителей числа n , равен loglog n ;
• Средний порядок Ω( n ) , количества простых делителей n , равен loglog n ;
• Теорема о простых числах эквивалентна утверждению, что функция фон Мангольдта Λ( n ) имеет средний порядок 1;
• Среднее значение µ ( n ) , функции Мёбиуса , равно нулю; это снова эквивалентно теореме о простых числах .

Расчет средних значений с использованием ряда Дирихле

В случае $F$ имеет форму $$F(n)=\sum _{d\mid n}f(d),$$для некоторой арифметической функции $f(n)$, у одного есть,

$$\sum _{n\leq x}F(n)=\sum _{d\leq x}f(d)\sum _{n\leq x,d\mid n}1=\sum _{d\leq x}f(d)[x/d]=x\sum _{d\leq x}{\frac {f(d)}{d}}{\text{ }}+O{\left(\sum _{d\leq x}|f(d)|\right)}.$$ ( 1 )

Обобщенные тождества предыдущего вида находятся здесь . Это тождество часто обеспечивает практический способ вычисления среднего значения с точки зрения дзета-функции Римана . Это проиллюстрировано в следующем примере.

Плотность k ^й -бесстепенные целые числа в ℕ

Для целого числа $k\geq 1$ набор $Q_{k}$ из k ^й -бесстепенные целые числа $$Q_{k}:=\{n\in \mathbb {Z} \mid n{\text{ is not divisible by }}d^{k}{\text{ for any integer }}d\geq 2\}.$$

Вычислим естественную плотность этих чисел в ℕ, то есть среднее значение $1_{Q_{k}}$, обозначенный $\delta (n)$, с точки зрения дзета-функции .

Функция $\delta$ мультипликативен, и поскольку он ограничен единицей, его ряд Дирихле абсолютно сходится в полуплоскости $\operatorname {Re} (s)>1$, и существует произведение Эйлера $$\sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}\left(1+p^{-s}+\cdots +p^{-s(k-1)}\right)=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^{-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.$$

По формуле обращения Мёбиуса получаем $${\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}\mu (n)n^{-ks},$$где $\mu$ обозначает функцию Мёбиуса . Эквивалентно, $${\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}f(n)n^{-s},$$где $f(n)={\begin{cases}\mu (d)&n=d^{k}\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}$и, следовательно, $${\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}=\sum _{n}\left(\sum _{d\mid n}f(d)\right)n^{-s}.$$

Сравнивая коэффициенты, получаем $$\delta (n)=\sum _{d\mid n}f(d).$$

Используя (1) , получаем $$\sum _{d\leq x}\delta (d)=x\sum _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).$$

Мы заключаем, что, $$\sum _{\stackrel {n\in Q_{k}}{n\leq x}}1={\frac {x}{\zeta (k)}}+O(x^{1/k}),$$где для этого мы использовали соотношение $$\sum _{n}(f(n)/n)=\sum _{n}f(n^{k})n^{-k}=\sum _{n}\mu (n)n^{-k}={\frac {1}{\zeta (k)}},$$что следует из формулы обращения Мёбиуса.

В частности, плотность целых чисел без квадратов равна ${\textstyle \zeta (2)^{-1}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$.

Видимость точек решетки

Мы говорим, что две точки решетки видны друг из друга, если на соединяющем их открытом отрезке нет точки решетки.

Теперь, если НОД( a , b ) = d > 1 , то записывая a = da ² , б = дб ² можно заметить, что точка ( a ² , б ² ) находится на отрезке, который соединяет (0,0) с ( a , b ) и, следовательно, ( a , b ) не виден из начала координат. Таким образом, ( a , b ) видно из начала координат, подразумевает, что ( a , b ) = 1. И наоборот, также легко увидеть, что НОД( a , b ) = 1 означает, что в отрезке нет другой целочисленной точки решетки. соединение (0,0) с ( a , b ).Таким образом, ( a , b ) виден из (0,0) тогда и только тогда, когда НОД( a , b ) = 1.

Обратите внимание, что ${\frac {\varphi (n)}{n}}$ это вероятность случайной точки на квадрате $\{(r,s)\in \mathbb {N} :\max(|r|,|s|)=n\}$ быть видимым от начала координат.

Таким образом, можно показать, что естественная плотность точек, видимых из начала координат, определяется средним значением $$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}{\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}.$$

${\textstyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}$ также является натуральной плотностью чисел без квадратов в ℕ. На самом деле это не совпадение. Рассмотрим k -мерную решетку: $\mathbb {Z} ^{k}$. Естественная плотность точек, видимых из начала координат, равна ${\textstyle {\frac {1}{\zeta (k)}}}$, что также является естественной плотностью k -го свободного целого числа в ℕ.

Функции делителя

Рассмотрим обобщение $d(n)$: $$\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }.$$

Верны следующие утверждения: $$\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\begin{cases}\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\frac {\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+O(x^{\beta })&{\text{if }}\alpha >0,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{-1}(n)=\zeta (2)x+O(\log x)&{\text{if }}\alpha =-1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)=\zeta (-\alpha +1)x+O(x^{\max(0,1+\alpha )})&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$где $\beta =\max(1,\alpha )$.

Лучше средний заказ

Эту идею лучше всего объяснить на примере. От $$\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+o(x)$$( $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони ) и $$\sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x),$$мы имеем асимптотическое соотношение $$\sum _{n\leq x}(d(n)-(\log n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\to \infty ),$$что предполагает, что функция $\log n+2\gamma$ лучший выбор среднего заказа для $d(n)$ чем просто $\log n$.

Средние значения по F _q [ x ]

Определение

Пусть h ( x ) — функция на множестве монических многочленов над F _q . Для $n\geq 1$ мы определяем $${\text{Ave}}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{f{\text{ monic}},\deg(f)=n}h(f).$$

Это среднее значение (среднее значение) h на множестве монических полиномов степени n . Мы говорим, что g ( n ) является средним порядком h , если $${\text{Ave}}_{n}(h)\sim g(n)$$поскольку n стремится к бесконечности.

В тех случаях, когда лимит, $$\lim _{n\to \infty }{\text{Ave}}_{n}(h)=c$$существует, говорят, что h имеет среднее значение ( среднее значение ) c .

Дзета-функция и ряд Дирихле в F _q [X]

Пусть F _q [ X ] = A — кольцо многочленов над конечным полем F _q .

Пусть h — полиномиальная арифметическая функция (т.е. функция на множестве монических многочленов над A ). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как $$D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},$$где для $g\in A$, набор $|g|=q^{\deg(g)}$ если $g\neq 0$, и $|g|=0$ в противном случае.

Тогда полиномиальная дзета-функция будет равна $$\zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.$$

Подобно ситуации в N , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения (произведение Эйлера): $$D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n=0}^{\infty }h(P^{n})\left|P\right|^{-sn}\right),$$где произведение пробегает все монические неприводимые многочлены P .

Например, представление произведения дзета-функции такое же, как и для целых чисел: ${\textstyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}\left(1-\left|P\right|^{-s}\right)^{-1}}$.

В отличие от классической дзета-функции , $\zeta _{A}(s)$ — простая рациональная функция: $$\zeta _{A}(s)=\sum _{f}(|f|^{-s})=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.$$

Аналогичным образом, если f и g — две полиномиальные арифметические функции, определяется f * g , свертка Дирихле f и g , по формуле $${\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(m)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b)\end{aligned}}$$где сумма распространяется на все монические делители d числа m или, что то же самое, на все пары ( a , b ) монических многочленов, произведение которых равно m . Личность $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$ все еще держится. Таким образом, как и в элементарной теории, полиномиальный ряд Дирихле и дзета-функция связаны с понятием средних значений в контексте полиномов. Следующие примеры иллюстрируют это.

Примеры

Плотность свободных многочленов k-й степени в F _q [X]

Определять $\delta (f)$ быть 1, если $f$ является k-й степенью свободной и 0 в противном случае.

Рассчитаем среднее значение $\delta$, что является плотностью свободных полиномов k-й степени в F _q [X] , так же, как и в целых числах.

По мультипликативности $\delta$: $$\sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\prod _{P}\left(\sum _{j=0}^{k-1}(|P|^{-js})\right)=\prod _{P}{\frac {1-|P|^{-sk}}{1-|P|^{-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}$$

Обозначим $b_{n}$ количества приведенных многочленов k -й степени степени n , получим $$\sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\sum _{n}\sum _{{\text{def}}f=n}\delta (f)|f|^{-s}=\sum _{n}b_{n}q^{-sn}.$$

Производим замену $u=q^{-s}$ мы получаем: $${\frac {1-qu^{k}}{1-qu}}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}u^{n}.$$

Наконец, разложим левую часть в геометрический ряд и сравним коэффициенты при $u^{n}$ с обеих сторон, прийти к выводу, что $$b_{n}={\begin{cases}q^{n}&n\leq k-1\\q^{n}(1-q^{1-k})&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Следовательно, $${\text{Ave}}_{n}(\delta )=1-q^{1-k}={\frac {1}{\zeta _{A}(k)}}$$

И поскольку оно не зависит от n, это также среднее значение $\delta (f)$.

Функции полиномиального делителя

В F _q [X] определим $$\sigma _{k}(m)=\sum _{f|m,{\text{ monic}}}|f|^{k}.$$

Мы вычислим ${\text{Ave}}_{n}(\sigma _{k})$ для $k\geq 1$.

Во-первых, обратите внимание, что $$\sigma _{k}(m)=h*\mathbb {I} (m)$$где $h(f)=|f|^{k}$ и $\mathbb {I} (f)=1\;\;\forall {f}$.

Поэтому, $$\sum _{m}\sigma _{k}(m)|m|^{-s}=\zeta _{A}(s)\sum _{m}h(m)|m|^{-s}.$$

Заменять $q^{-s}=u$ мы получаем, $${\text{LHS}}=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\sigma _{k}(m)\right)u^{n},$$и по произведению Коши получаем: $${\begin{aligned}{\text{RHS}}&=\sum _{n}q^{n(1-s)}\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}h(m)\right)u^{n}\\&=\sum _{n}q^{n}u^{n}\sum _{l}q^{l}q^{lk}u^{l}\\&=\sum _{n}\left(\sum _{j=0}^{n}q^{n-j}q^{jk+j}\right)\\&=\sum _{n}\left(q^{n}\left({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}\right)\right)u^{n}.\end{aligned}}$$

Наконец мы получаем это, $${\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}={\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}.$$

Обратите внимание, что $$q^{n}{\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}\left({\frac {1-q^{-k(n+1)}}{1-q^{-k}}}\right)=q^{n(k+1)}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)$$

Таким образом, если мы установим $x=q^{n}$ тогда приведенный выше результат будет выглядеть так: $$\sum _{\deg(m)=n,m{\text{ monic}}}\sigma _{k}(m)=x^{k+1}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)$$что напоминает аналогичный результат для целых чисел: $$\sum _{n\leq x}\sigma _{k}(n)={\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}x^{k+1}+O(x^{k})$$

Количество делителей

Позволять $d(f)$ число монических делителей f и пусть $D(n)$ быть суммой $d(f)$ по всем моникам степени n. $$\zeta _{A}(s)^{2}=\left(\sum _{h}|h|^{-s}\right)\left(\sum _{g}|g|^{-s}\right)=\sum _{f}\left(\sum _{hg=f}1\right)|f|^{-s}=\sum _{f}d(f)|f|^{-s}=D_{d}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }D(n)u^{n}$$где $u=q^{-s}$.

Разложив правую часть в степенной ряд, получим: $$D(n)=(n+1)q^{n}.$$

Заменять $x=q^{n}$ приведенное выше уравнение принимает вид: $$D(n)=x\log _{q}(x)+x$$ что очень похоже на аналогичный результат для целых чисел ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$, где $\gamma$ является постоянной Эйлера .

О термине ошибки для целых чисел известно немного, тогда как в случае полиномов член ошибки отсутствует. Это связано с очень простой природой дзета-функции. $\zeta _{A}(s)$, и что оно не имеет нулей.

Полином функции Мангольдта

Полиномиальная функция Мангольдта определяется следующим образом: $$\Lambda _{A}(f)={\begin{cases}\log |P|&{\text{if }}f=|P|^{k}{\text{ for some prime monic}}P{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$где логарифм берется на основе q .

Предложение. Среднее значение $\Lambda _{A}$ ровно 1 .

Доказательство. Пусть m — монический многочлен, и пусть ${\textstyle m=\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}}$ быть простым разложением m .

У нас есть, $${\begin{aligned}\sum _{f|m}\Lambda _{A}(f)&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{l})|0\leq i_{j}\leq e_{j}}\Lambda _{A}\left(\prod _{j=1}^{l}P_{j}^{i_{j}}\right)=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\Lambda _{A}(P_{j}^{i})\\&=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\log |P_{j}|\\&=\sum _{j=1}^{l}e_{j}\log |P_{j}|=\sum _{j=1}^{l}\log |P_{j}|^{e_{j}}\\&=\log \left|\left(\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}\right)\right|\\&=\log(m)\end{aligned}}$$

Следовательно, $$\mathbb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log |m|$$и мы получаем это, $$\zeta _{A}(s)D_{\Lambda _{A}}(s)=\sum _{m}\log \left|m\right|\left|m\right|^{-s}.$$

Сейчас, $$\sum _{m}|m|^{s}=\sum _{n}\sum _{\deg m=n}u^{n}=\sum _{n}q^{n}u^{n}=\sum _{n}q^{n(1-s)}.$$

Таким образом, $${\frac {d}{ds}}\sum _{m}|m|^{s}=-\sum _{n}\log(q^{n})q^{n(1-s)}=-\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\sum _{f}\log \left|f\right|\left|f\right|^{-s}.$$

Мы получили это: $$D_{\Lambda _{A}}(s)={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}$$

Сейчас, $${\begin{aligned}\sum _{m}\Lambda _{A}(m)|m|^{-s}&=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)q^{-sm}\right)=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)\right)u^{n}\\&={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}\log(q)}{1-q^{1-s}}}\\&=\log(q)\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}u^{n}\end{aligned}}$$

Следовательно, $$\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{n}\log(q),$$и разделив на $q^{n}$ мы понимаем это, $${\text{Ave}}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.$$

Полиномиальная функция Эйлера

Определите полиномиальный аналог функции Эйлера , $\Phi$, количество элементов в группе $(A/fA)^{*}$. У нас есть, $$\sum _{\deg f=n,f{\text{ monic}}}\Phi (f)=q^{2n}(1-q^{-1}).$$

См. также

• Сумматорная функция делителя
• Нормальный порядок арифметической функции
• Экстремальные порядки арифметической функции
• Тождества суммы делителей

Ссылки

• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Введение в теорию чисел . Под редакцией Д. Р. Хита-Брауна и Дж. Х. Сильвермана . Предисловие Эндрю Уайлса . (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-921986-5 . МР   2445243 . Збл   1159.11001 . стр. 347–360
• Джеральд Тененбаум (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 46. ​​Издательство Кембриджского университета . стр. 36–55. ISBN  0-521-41261-7 . Збл   0831.11001 .
• Том М. Апостол (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов Springer по математике , ISBN  0-387-90163-9
• Майкл Розен (2000), Теория чисел в функциональных полях , Тексты для выпускников Springer по математике, ISBN  0-387-95335-3
• Хью Л. Монтгомери; Роберт К. Воган (2006), Мультипликативная теория чисел , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0521849036
• Майкл Баакеа; Роберт В. Мудиб; Питер А.Б. Плезанц (2000), Дифракция от видимых точек решетки и целые числа в свободной степени k , Дискретная математика - журнал