Целое число без квадратов

В математике целое число без квадратов (или целое число без квадратов ) — это целое число , которое не делится ни на одно квадратное число, кроме 1. То есть его простая факторизация имеет ровно один множитель для каждого простого числа, которое в нем встречается. Например, 10 = 2 ⋅ 5 не содержит квадратов, а 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 — нет, поскольку 18 делится на 9 = 3. ². Наименьшие положительные числа без квадратов – это

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (последовательность A005117 в OEIS )

Бесквадратная факторизация

Каждое положительное целое число $n$ могут быть учтены уникальным образом, как $n=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i},$ где $q_{i}$ Отличаются от единицы целые числа без квадратов, которые попарно взаимно просты .Это называется бесквадратной n $.$ факторизацией

Чтобы построить бесквадратную факторизацию, пусть $n=\prod _{j=1}^{h}p_{j}^{e_{j}}$ быть простой факторизацией $n$ , где $p_{j}$ являются различными простыми числами . Тогда факторы бесквадратной факторизации определяются как $q_{i}=\prod _{j:e_{j}=i}p_{j}.$

Целое число является свободным от квадратов тогда и только тогда, когда $q_{i}=1$ для всех $i>1$ . Целое число больше единицы – это $k$ -я степень другого целого числа тогда и только тогда, когда $k$ является делителем всех $i$ такой, что $q_{i}\neq 1.$

Использование бесквадратной факторизации целых чисел ограничено тем фактом, что ее вычисление столь же сложно, как и вычисление простой факторизации. Точнее, каждый известный алгоритм вычисления факторизации без квадратов вычисляет также и простую факторизацию. Это заметное отличие от случая многочленов , для которых можно дать те же определения, но в этом случае факторизацию без квадратов не только легче вычислить, чем полную факторизацию, но это первый шаг всех стандартных методов. алгоритмы факторизации.

Бесквадратные множители целых чисел

Радикал целого числа — это его наибольший безквадратный множитель, то есть $\textstyle \prod _{i=1}^{k}q_{i}$ с обозначениями предыдущего раздела. Целое число является свободным тогда и только тогда, когда оно равно своему радикалу.

Каждое положительное целое число $n$ может быть представлено уникальным образом как произведение мощного числа (то есть целого числа, которое делится на квадрат каждого простого множителя) и целого числа без квадратов, которые являются взаимно простыми . В этой факторизации бесквадратный фактор равен $q_{1},$ и мощное число $\textstyle \prod _{i=2}^{k}q_{i}^{i}.$

Бесквадратная часть $n$ является $q_{1},$ который является наибольшим бесквадратным делителем $k$ из $n$ это взаимно просто с $n/k$ . Часть целого числа без квадратов может быть меньше наибольшего делителя без квадратов, который равен $\textstyle \prod _{i=1}^{k}q_{i}.$

Любое произвольное положительное целое число $n$ может быть представлено уникальным образом как произведение квадрата и целого числа без квадратов: $n=m^{2}k$ В этой факторизации $m$ является наибольшим делителем $n$ такой, что $m^{2}$ является делителем $n$ .

Таким образом, есть три множителя без квадратов, которые естественным образом связаны с каждым целым числом: часть без квадратов, указанный выше множитель. $k$ и самый большой безквадратный фактор. Каждый из них является фактором следующего. Все это легко вывести из простой факторизации или бесквадратной факторизации: если $n=\prod _{i=1}^{h}p_{i}^{e_{i}}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i}$ - это простая факторизация и бесквадратная факторизация $n$ , где $p_{1},\ldots ,p_{h}$ являются различными простыми числами, то свободная от квадратов часть равна $\prod _{e_{i}=1}p_{i}=q_{1},$ Безквадратный множитель, такой как частное, является квадратом, равен $\prod _{e_{i}{\text{ odd}}}p_{i}=\prod _{i{\text{ odd}}}q_{i},$ а наибольший безквадратный фактор равен $\prod _{i=1}^{h}p_{i}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}.$

Например, если $n=75600=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7,$ у одного есть $q_{1}=7,\;q_{2}=5,\;q_{3}=3,\;q_{4}=2.$ Часть без квадратов равна $7$ , коэффициент без квадратов, такой что частное является квадратом, равен $3 \cdot 7 = 21$ , а наибольший множитель без квадратов равен $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ .

Неизвестен алгоритм для вычисления любого из этих безквадратных факторов, который был бы быстрее, чем вычисление полной факторизации простых чисел. В частности, не существует известного алгоритма с полиномиальным временем для вычисления части целого числа, свободной от квадратов, или даже для определения того, является ли целое число свободным от квадратов. ^[1] Напротив, алгоритмы с полиномиальным временем известны для проверки простоты . ^[2] Это основное различие между арифметикой целых чисел и арифметикой одномерных многочленов , поскольку известны алгоритмы с полиномиальным временем для безквадратной факторизации многочленов (короче говоря, наибольший безквадратный множитель многочлена - это его частное). по наибольшему общему делителю многочлена и его формальной производной ). ^[3]

Эквивалентные характеристики

Положительное целое число $n$ бесквадрат тогда и только тогда, когда в простой факторизации $n$ , ни один простой множитель не встречается с показателем степени больше единицы. Другой способ выразить то же самое состоит в том, что для каждого простого фактора $p$ из $n$ , премьер $p$ не делит поровну $n/p$ . Также $n$ бесквадрат тогда и только тогда, когда в каждой факторизации $n=ab$ , факторы $a$ и $b$ взаимнопросты . Непосредственным результатом этого определения является то, что все простые числа не содержат квадратов.

Положительное целое число $n$ бесквадратна тогда и только тогда, когда все группы порядка абелевы $n$ изоморфны является , что имеет место тогда и только тогда, когда любая такая группа циклической . Это следует из классификации конечно порожденных абелевых групп .

Целое число $n$ бесквадратно тогда и только тогда, когда фактор-кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (см. арифметику ) является произведением полей модульную . Это следует из китайской теоремы об остатках и того факта, что кольцо вида $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ является полем тогда и только тогда, когда $k$ является простым.

Для каждого положительного целого числа $n$ , множество всех положительных делителей $n$ становится частично упорядоченным множеством, если мы используем делимость в качестве отношения порядка. Это частично упорядоченное множество всегда является дистрибутивной решеткой . Это булева алгебра тогда и только тогда, когда $n$ бесквадратен.

Положительное целое число $n$ бесквадратен тогда и только тогда, когда $\mu (n)\neq 0$ , где $\mu$ обозначает функцию Мёбиуса .

Серия Дирихле

Абсолютное значение функции Мёбиуса является индикаторной функцией для целых чисел без квадратов, то есть $| μ (п) |$ равно 1, если $n$ не содержит квадратов, и 0, если нет. Ряд Дирихле этой индикаторной функции равен

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}},

где $ζ (s)$ – дзета-функция Римана . Это следует из произведения Эйлера

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}),

где произведения берутся по простым числам.

Распределение

Пусть Q ( x ) обозначает количество целых чисел без квадратов между 1 и x ( OEIS : A013928 , индекс сдвига на 1). При больших n 3/4 натуральных чисел меньше n не делятся на 4, 8/9 этих чисел не делятся на 9 и так далее. Поскольку эти отношения удовлетворяют мультипликативному свойству (это следует из китайской теоремы об остатках ), мы получаем приближение:

{\begin{aligned}Q(x)&\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2}}})^{-1}}}\\&=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {x}{\zeta (2)}}={\frac {6x}{\pi ^{2}}}.\end{aligned}}

Этот аргумент можно сделать строгим для получения оценки (используя обозначение big O )

Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right).

Набросок доказательства: приведенная выше характеристика дает

Q(x)=\sum _{n\leq x}\sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=\sum _{d\leq x}\mu (d)\sum _{n\leq x,d^{2}\mid n}1=\sum _{d\leq x}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor ;

заметив, что последнее слагаемое равно нулю для $d>{\sqrt {x}}$ , получается, что

{\begin{aligned}Q(x)&=\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor =\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {x\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}1\right)=x\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O({\sqrt {x}})\\&=x\sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d>{\sqrt {x}}}{\frac {1}{d^{2}}}+{\sqrt {x}}\right)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O({\sqrt {x}}).\end{aligned}}

Используя самую большую известную область дзета-функции Римана без нуля, Арнольд Уолфис улучшил приближение к ^[4]

Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{1/2}\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right),

для некоторой положительной константы $c$ .

Согласно гипотезе Римана , член ошибки можно свести к ^[5]

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6}{\pi ^{2}}}x+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).

В 2015 году член ошибки был дополнительно сокращен (с учетом гипотезы Римана) до ^[6]

Q(x)={\frac {6}{\pi ^{2}}}x+O\left(x^{11/35+\varepsilon }\right).

Следовательно, асимптотическая/ естественная плотность чисел без квадратов равна

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.6079

Следовательно, более 3/5 целых чисел не содержат квадратов.

Аналогично, если Q ( x , n ) обозначает количество n -свободных целых чисел (например, целые числа без 3 - целые числа без кубов) между 1 и x , можно показать ^[7]

Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right).

Поскольку число, кратное 4, должно иметь квадратичный коэффициент 4 = 2. ², не может случиться так, что четыре последовательных целых числа не будут содержать квадратов. С другой стороны, существует бесконечно много целых чисел n, для которых 4 n +1, 4 n +2, 4 n +3 свободны от квадратов. В противном случае, учитывая, что 4 n и по крайней мере одно из 4 n +1, 4 n +2, 4 n +3 из четырех могут быть несвободными от квадратов для достаточно больших n , половина всех положительных целых чисел минус конечное число не должна быть несвободной. -свободный от квадратов и, следовательно,

Q(x)\leq {\frac {x}{2}}+C

для некоторой постоянной C ,

вопреки приведенной выше асимптотической оценке для $Q(x)$ .

Существуют последовательности последовательных целых чисел, не свободных от квадратов, произвольной длины. Действительно, если n удовлетворяет одновременному сравнению

n\equiv -i{\pmod {p_{i}^{2}}}\qquad (i=1,2,\ldots ,l)

для различных простых чисел $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{l}$ , то каждый $n+i$ делится на p _i². ^[8] С другой стороны, упомянутая выше оценка $Q(x)=6x/\pi ^{2}+O\left({\sqrt {x}}\right)$ подразумевает, что для некоторой константы c всегда существует целое число без квадратов между x и $x+c{\sqrt {x}}$ для положительного x . Более того, элементарный аргумент позволяет заменить $x+c{\sqrt {x}}$ к $x+cx^{1/5}\log x.$ ^[9] Гипотеза ABC позволила бы $x+x^{o(1)}$ . ^[10]

Таблица Q ( x ), 6 / п ²⁠ х и р ( х )

В таблице показано, как $Q(x)$ и ${\frac {6}{\pi ^{2}}}x$ (последнее округлено до одного десятичного знака) сравните со степенями 10.

$R(x)=Q(x)-{\frac {6}{\pi ^{2}}}x$ , также обозначается как $\Delta (x)$ .

$x$	$Q(x)$	${\frac {6}{\pi ^{2}}}x$	$R(x)$
10	7	6.1	0.9
10 ²	61	60.8	0.2
10 ³	608	607.9	0.1
10 ⁴	6,083	6,079.3	3.7
10 ⁵	60,794	60,792.7	1.3
10 ⁶	607,926	607,927.1	- 1.3
10 ⁷	6,079,291	6,079,271.0	20.0
10 ⁸	60,792,694	60,792,710.2	- 16.2
10 ⁹	607,927,124	607,927,101.9	22.1
10 ¹⁰	6,079,270,942	6,079,271,018.5	- 76.5
10 ¹¹	60,792,710,280	60,792,710,185.4	94.6
10 ¹²	607,927,102,274	607,927,101,854.0	420.0
10 ¹³	6,079,271,018,294	6,079,271,018,540.3	- 246.3
10 ¹⁴	60,792,710,185,947	60,792,710,185,402.7	544.3
10 ¹⁵	607,927,101,854,103	607,927,101,854,027.0	76.0

$R(x)$ меняет свой знак бесконечно часто, так как $x$ стремится к бесконечности. ^[11]

Абсолютное значение $R(x)$ удивительно мал по сравнению с $x$ .

Кодирование двоичными числами

Если мы представим число без квадратов как бесконечное произведение

\prod _{n=0}^{\infty }(p_{n+1})^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace ,{\text{ and }}p_{n}{\text{ is the }}n{\text{th prime}},

тогда мы можем взять их $a_{n}$ и использовать их как биты двоичного числа с кодировкой

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}.

Бесквадратное число 42 имеет факторизацию 2 × 3 × 7 или как бесконечное произведение 2. ¹ · 3 ¹ · 5 ⁰ · 7 ¹ · 11 ⁰ · 13 ⁰ ··· Таким образом, число 42 можно закодировать как двоичную последовательность ...001011 или 11 десятичных чисел. (Двоичные цифры перевернуты по сравнению с порядком в бесконечном произведении.)

Поскольку разложение на простые множители каждого числа уникально, то же самое происходит и с каждым двоичным кодированием целых чисел без квадратов.

Обратное также верно. Поскольку каждое положительное целое число имеет уникальное двоичное представление, можно обратить эту кодировку вспять, чтобы их можно было декодировать в уникальное целое число без квадратов.

Опять же, например, если мы начнем с числа 42, на этот раз как просто положительное целое число, мы получим его двоичное представление. 101010. Это декодирует до 2 ⁰ · 3 ¹ · 5 ⁰ · 7 ¹ · 11 ⁰ · 13 ¹ = 3 × 7 × 13 = 273.

Таким образом, двоичное кодирование чисел без квадратов описывает биекцию между неотрицательными целыми числами и набором положительных целых чисел без квадратов.

(См. последовательности A019565 , A048672 и A064273 в OEIS .)

Гипотеза Эрдеша без квадратов

Центральный биномиальный коэффициент

{2n \choose n}

никогда не является свободным от квадратов при n > 4. Это было доказано в 1985 году для всех достаточно больших целых чисел Андрашем Саркози : ^[12] и для всех целых чисел > 4 в 1996 году Оливье Рамаре и Эндрю Гранвиллем . ^[13]

Бесквадратное ядро

Назовем « t -свободным» целое положительное число, не имеют t делители которого -й степени. В частности, целые числа без 2 — это целые числа без квадратов.

функция Мультипликативная $\mathrm {core} _{t}(n)$ отображает каждое положительное целое число n в частное числа n по его наибольшему делителю, который является t -й степенью. То есть,

\mathrm {core} _{t}(p^{e})=p^{e{\bmod {t}}}.

Целое число $\mathrm {core} _{t}(n)$ является t -свободным, и каждое t -свободное целое число отображается в себя функцией $\mathrm {core} _{t}.$

Дирихле Производящая функция последовательности $\left(\mathrm {core} _{t}(n)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ является

\sum _{n\geq 1}{\frac {\mathrm {core} _{t}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}}

.

См. также OEIS : A007913 ( t =2), OEIS : A050985 ( t =3) и OEIS : A053165 ( t =4).

Примечания

^ Адлеман, Леонард М.; МакКерли, Кевин С. (1994). «Открытые задачи теоретико-числовой сложности, II». В Адлемане, Леонард М.; Хуанг, Мин-Де А. (ред.). Алгоритмическая теория чисел, Первый международный симпозиум, ANTS-I, Итака, Нью-Йорк, США, 6–9 мая 1994 г., Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 877. Спрингер. стр. 291–322. дои : 10.1007/3-540-58691-1_70 . ISBN 978-3-540-58691-3 .
^ Агравал, Маниндра; Каял, Нирадж; Саксена, Нитин (1 сентября 2004 г.). «ПРАЙМС находится в P» (PDF) . Анналы математики . 160 (2): 781–793. дои : 10.4007/анналы.2004.160.781 . ISSN 0003-486X . МР 2123939 . Збл 1071.11070 .
^ Ричардс, Челси (2009). Алгоритмы факторизации полиномов без квадратов по конечным полям (PDF) (магистерская диссертация). Канада: Университет Саймона Фрейзера.
^ Вальфиш, А. (1963). Экспоненциальные суммы Вейля в современной теории чисел . Берлин: Немецкое научное издательство VEB .
^ Цзя, Чао Хуа. «Распределение чисел, свободных от квадратов», Science in China Series A: Mathematics 36 :2 (1993), стр. 154–169. Цитируется по Паппаларди, 2003 г., «Обзор k -свободы» ; Также см. Каниника Синха, « Средние порядки некоторых арифметических функций », Журнал Математического общества Рамануджана 21 :3 (2006), стр. 267–277.
^ Лю, H.-Q. (2016). «О распределении бесквадратных чисел» . Журнал теории чисел . 159 : 202–222. дои : 10.1016/j.jnt.2015.07.013 .
^ Линфут, Британская Колумбия ; Эвелин, CJA (1929). «Об одной задаче аддитивной теории чисел» . Mathematische Zeitschrift . 30 : 443–448. дои : 10.1007/BF01187781 . S2CID 120604049 .
^ Родитель, ДП (1984). Упражнения по теории чисел . Задачи по математике. Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. дои : 10.1007/978-1-4757-5194-9 . ISBN 978-1-4757-5194-9 .
^ Филасета, Майкл; Трифонов, Огнян (1992). «О промежутках между бесквадратными числами. II». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 45 (2): 215–221. дои : 10.1112/jlms/s2-45.2.215 . МР 1171549 .
^ Эндрю, Гранвилл (1998). «ABC позволяет нам считать свободные квадраты» . Межд. Математика. Рез. Нет . 1998 (19): 991–1009. дои : 10.1155/S1073792898000592 .
^ Минору, Танака (1979). «Опыты по распределению бесквадратных чисел» . Труды Японской академии, серия A, Математические науки . 55 (3). дои : 10.3792/pjaa.55.101 . S2CID 121862978 .
^ Саркози, А. (1985). «О делителях биномиальных коэффициентов. I» . Журнал теории чисел . 20 (1): 70–80. дои : 10.1016/0022-314X(85)90017-4 . МР 0777971 .
^ Рамаре, Оливье; Гранвилл, Эндрю (1996). «Явные границы экспоненциальных сумм и нехватка бесквадратных биномиальных коэффициентов». Математика . 43 (1): 73–107. дои : 10.1112/S0025579300011608 .

Ссылки

Шапиро, Гарольд Н. (1983). Введение в теорию чисел . Публикации издательства Оксфордского университета в Дувре. ISBN 978-0-486-46669-9 .
Гранвилл, Эндрю; Рамаре, Оливье (1996). «Явные границы экспоненциальных сумм и нехватка бесквадратных биномиальных коэффициентов». Математика . 43 : 73–107. CiteSeerX 10.1.1.55.8 . дои : 10.1112/S0025579300011608 . МР 1401709 . Збл 0868.11009 .
Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-20860-2 . Збл 1058.11001 .
«ОЭИС Вики» . Проверено 24 сентября 2021 г.

[1] Адлеман, Леонард М.; МакКерли, Кевин С. (1994). «Открытые задачи теоретико-числовой сложности, II». В Адлемане, Леонард М.; Хуанг, Мин-Де А. (ред.). Алгоритмическая теория чисел, Первый международный симпозиум, ANTS-I, Итака, Нью-Йорк, США, 6–9 мая 1994 г., Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 877. Спрингер. стр. 291–322. дои : 10.1007/3-540-58691-1_70 . ISBN 978-3-540-58691-3 .

[2] Агравал, Маниндра; Каял, Нирадж; Саксена, Нитин (1 сентября 2004 г.). «ПРАЙМС находится в P» (PDF) . Анналы математики . 160 (2): 781–793. дои : 10.4007/анналы.2004.160.781 . ISSN 0003-486X . МР 2123939 . Збл 1071.11070 .

[3] Ричардс, Челси (2009). Алгоритмы факторизации полиномов без квадратов по конечным полям (PDF) (магистерская диссертация). Канада: Университет Саймона Фрейзера.

[4] Вальфиш, А. (1963). Экспоненциальные суммы Вейля в современной теории чисел . Берлин: Немецкое научное издательство VEB .

[5] Цзя, Чао Хуа. «Распределение чисел, свободных от квадратов», Science in China Series A: Mathematics 36 :2 (1993), стр. 154–169. Цитируется по Паппаларди, 2003 г., «Обзор k -свободы» ; Также см. Каниника Синха, « Средние порядки некоторых арифметических функций », Журнал Математического общества Рамануджана 21 :3 (2006), стр. 267–277.

[6] Лю, H.-Q. (2016). «О распределении бесквадратных чисел» . Журнал теории чисел . 159 : 202–222. дои : 10.1016/j.jnt.2015.07.013 .

[7] Линфут, Британская Колумбия ; Эвелин, CJA (1929). «Об одной задаче аддитивной теории чисел» . Mathematische Zeitschrift . 30 : 443–448. дои : 10.1007/BF01187781 . S2CID 120604049 .

[8] Родитель, ДП (1984). Упражнения по теории чисел . Задачи по математике. Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. дои : 10.1007/978-1-4757-5194-9 . ISBN 978-1-4757-5194-9 .

[9] Филасета, Майкл; Трифонов, Огнян (1992). «О промежутках между бесквадратными числами. II». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 45 (2): 215–221. дои : 10.1112/jlms/s2-45.2.215 . МР 1171549 .

[10] Эндрю, Гранвилл (1998). «ABC позволяет нам считать свободные квадраты» . Межд. Математика. Рез. Нет . 1998 (19): 991–1009. дои : 10.1155/S1073792898000592 .

[11] Минору, Танака (1979). «Опыты по распределению бесквадратных чисел» . Труды Японской академии, серия A, Математические науки . 55 (3). дои : 10.3792/pjaa.55.101 . S2CID 121862978 .

[12] Саркози, А. (1985). «О делителях биномиальных коэффициентов. I» . Журнал теории чисел . 20 (1): 70–80. дои : 10.1016/0022-314X(85)90017-4 . МР 0777971 .

[13] Рамаре, Оливье; Гранвилл, Эндрю (1996). «Явные границы экспоненциальных сумм и нехватка бесквадратных биномиальных коэффициентов». Математика . 43 (1): 73–107. дои : 10.1112/S0025579300011608 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v т и Наборы целых чисел на основе делимости
Overview	Integer factorization Divisor Unitary divisor Divisor function Prime factor Fundamental theorem of arithmetic
Factorization forms	Prime Composite Semiprime Pronic Sphenic Square-free Powerful Perfect power Achilles Smooth Regular Rough Unusual
Constrained divisor sums	Perfect Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect Superperfect Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas
With many divisors	Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird
Aliquot sequence-related	Untouchable Amicable (Triple) Sociable Betrothed
Base-dependent	Equidigital Extravagant Frugal Harshad Polydivisible Smith
Other sets	Arithmetic Deficient Friendly Solitary Sublime Harmonic divisor Descartes Refactorable Superperfect