Центральный биномиальный коэффициент

В математике центральный n- й биномиальный коэффициент - это частный биномиальный коэффициент.

{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\text{ for all }}n\geq 0.

Их называют центральными, поскольку они располагаются точно посередине четных строк в треугольнике Паскаля . Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов, начиная с n = 0:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252 , 924, 3432, 12870, 48620, ...; (последовательность A000984 в OEIS )

Комбинаторные интерпретации и другие свойства [ править ]

Центральный биномиальный коэффициент ${\binom {2n}{n}}$ — это количество композиций, в которых имеется равное количество объектов двух типов. Например, когда $n=2$ , биномиальный коэффициент ${\binom {2\cdot 2}{2}}$ равно 6, и существует шесть компоновок двух копий A и двух копий B : AABB , ABAB , ABBA , BAAB , BABA , BBAA .

Тот же центральный биномиальный коэффициент ${\binom {2n}{n}}$ — это также количество слов длины 2 n, состоящих из A и B , внутри которых при чтении слева направо никогда не бывает больше B , чем A , в любой точке. Например, когда $n=2$ , существует шесть слов длиной 4, в которых каждый префикс имеет по крайней мере столько же копий A, сколько и B : AAAA , AAAB , AABA , AABB , ABAA , ABAB .

Число множителей 2 в ${\binom {2n}{n}}$ равно количеству единиц в двоичном представлении n . ^[1] Как следствие, 1 — единственный нечетный центральный биномиальный коэффициент.

Генерирующая функция [ править ]

Обычная производящая функция для центральных биномиальных коэффициентов равна ${\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .$ Это можно доказать, используя биномиальный ряд и соотношение ${\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}},$ где $\textstyle {\binom {-1/2}{n}}$ — обобщенный биномиальный коэффициент . ^[2]

Центральные биномиальные коэффициенты имеют экспоненциальную производящую функцию $\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),$ где I0 _— модифицированная функция Бесселя первого рода . ^[3]

Производящую функцию квадратов центральных биномиальных коэффициентов можно записать через полный эллиптический интеграл первого рода : ^[4]

\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}x^{n}={\frac {2}{\pi }}K(4{\sqrt {x}}).

рост Асимптотический

Асимптотическое поведение можно описать достаточно точно: ^[5] ${2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}+{\frac {1}{128n^{2}}}+{\frac {5}{1024n^{3}}}+O(n^{-4})\right).$

Связанные последовательности [ править ]

Близкородственные каталонские числа C _n имеют вид:

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}{\text{ for all }}n\geq 0.

Небольшое обобщение центральных биномиальных коэффициентов состоит в том, чтобы принять их как ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}$ , с соответствующими действительными числами n , где $\Gamma (x)$ и функция гамма - $\mathrm {B} (x,y)$ это бета-функция .

Степени двойки, делящие центральные биномиальные коэффициенты, задаются последовательностью Гулда , n- й элемент которой равен числу нечетных целых чисел в строке n треугольника Паскаля.

Возведение в квадрат производящей функции дает

{\frac {1}{1-4x}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\right)

Сравнивая коэффициенты $x^{n}$ дает

\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}

Например, $64=1(20)+2(6)+6(2)+20(1)$ . (последовательность A000302 в OEIS )

Сходным образом,

\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}{\binom {2n}{2k}}={\binom {2n}{n}}^{2}

(последовательность A002894 в OEIS )

Другая информация [ править ]

Половина центрального биномиального коэффициента $\textstyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}$ (для $n>0$ ) (последовательность A001700 в OEIS ) встречается в теореме Вольстенхолма .