Сверхизбыточное число

В математике — сверхизбыточное число это определенный вид натурального числа . Натуральное число n называется сверхизбыточным именно тогда, когда для всех m < n :

${\frac {\sigma (m)}{m}}<{\frac {\sigma (n)}{n}}$

где σ обозначает функцию суммы делителей . сумму всех положительных делителей n (т. е , включая само n ). Первые несколько сверхизбыточных чисел — это 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , ... (последовательность A004394 в OEIS ). Например, число 5 не является избыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6 и 7/4 > 6/5 .

Сверхизбыточная численность была определена Леонидасом Алаоглу и Полом Эрдешем ( 1944 ). Без ведома Алаоглу и Эрдеша около 30 страниц статьи Рамануджана «Высокосложные числа» 1915 года были исключены. Эти страницы были наконец опубликованы в The Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщенные весьма составные числа , которые включают в себя сверхизбыточные числа.

Свойства

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Леонидас Алаоглу и Пауль Эрдеш ( 1944 ) доказали, что если n избыточно, то существуют ak и a ₁ , a ₂ , ..., ak _такие , что

$n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}$

где p _{i -} - е i простое число, и

$a_{1}\geq a_{2}\geq \dotsb \geq a_{k}\geq 1.$

То есть они доказали, что если n является сверхизбыточным, разложение n на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не превышает показатель меньшего простого числа) и что все простые числа до $p_{k}$ являются факторами n . Тогда, в частности, любое сверхизбыточное число является четным целым числом и кратно k -му простому числу. $p_{k}\#.$

Фактически, последний показатель степени a _k равен 1, за исключением случаев, когда n равно 4 или 36.

Сверхизбыточные числа тесно связаны с весьма составными числами . Не все сверхизбыточные числа являются весьма составными числами. На самом деле одинаковы только 449 избыточных и весьма составных чисел (последовательность A166981 в OEIS ). Например, 7560 является очень сложным, но не избыточным. И наоборот, 1163962800 является избыточным, но не очень сложным.

Алаоглу и Эрдеш заметили, что все сверхмногочисленные виды очень многочисленны .

Не все сверхизбыточные числа являются числами Харшада . Первым исключением является 105-е сверхизбыточное число, 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на это сверхизбыточное число поровну.

Сверхизбыточные числа также представляют интерес в связи с гипотезой Римана и теоремой Робина о том, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что

${\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}}<1$

для всех n больше, чем самое большое известное исключение, сверхизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть сверхизбыточным числом ( Akbary & Friggstad 2009 ).

Не все сверхизобилующие числа являются колоссально многочисленными .

Расширение

Обобщенный ​ $k$-сверхобильные числа – это такие, что ${\frac {\sigma _{k}(m)}{m^{k}}}<{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{k}}}$ для всех $m<n$, где $\sigma _{k}(n)$ представляет собой сумму $k$-й степени делителей $n$.

1-сверхизобилующие числа – это сверхизобилующие числа. 0-сверхобильные числа — это весьма составные числа.

Например, обобщенные 2-сверхобильные числа — это 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, ... (последовательность A208767 в OEIS ).

Ссылки

• Бриггс, Кейт (2006), «Обильные числа и гипотеза Римана» , Experimental Mathematics , 15 (2): 251–256, doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 , S2CID   46047029 .
• Акбари, Амир; Фриггстад, Захари (2009), «Сверхизбыточные числа и гипотеза Римана», American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275, doi : 10.4169/193009709X470128 .
• Алаоглу, Леонидас ; Эрдеш, Пол (1944), «О весьма составных и подобных числах», Труды Американского математического общества , 56 (3), Американское математическое общество: 448–469, doi : 10.2307/1990319 , JSTOR   1990319 .

Внешние ссылки

• MathWorld: сверхизбыточное число