Арифметическое число
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Arithmetic_number_Cuisenaire_rods_6.png/220px-Arithmetic_number_Cuisenaire_rods_6.png)
В теории чисел арифметическое число — это целое число , для которого среднее значение его положительных делителей также является целым числом. Например, 6 — арифметическое число, потому что среднее его делителей равно
которое также является целым числом. Однако 2 не является арифметическим числом, поскольку его делители — только 1 и 2, а их среднее 3/2 не является целым числом.
Первые числа в последовательности арифметических чисел равны
- 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ... (последовательность A003601 в OEIS ).
Средние арифметические делителей арифметических чисел указаны по адресу A102187 .
Плотность [ править ]
Известно, что естественная плотность таких чисел равна 1: [1] действительно, доля чисел меньше X , которые не являются арифметическими, асимптотически равна [2]
где c = 2 √ log 2 + o(1).
Число N является арифметическим, если количество делителей d ( N ) делит сумму делителей σ( N ). Известно, что плотность целых чисел N , подчиняющаяся более сильному условию, что d ( N ) 2 разделите σ( N ) на 1/2. [1] [2]
Примечания [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Гай (2004) стр.76
- ^ Перейти обратно: а б Бейтман, Пол Т .; Эрдеш, Пол ; Померанс, Карл ; Штраус, Э.Г. (1981). «Среднее арифметическое делителей целого числа». В Кноппе, Мичиган (ред.). Аналитическая теория чисел, Тр. Конференция, Университет Темпл, 1980 (PDF) . Конспект лекций по математике. Том. 899. Шпрингер-Верлаг . стр. 197–220. Збл 0478.10027 .
Ссылки [ править ]
- Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . БИ 2. ISBN 978-0-387-20860-2 . Збл 1058.11001 .