Число Фридмана

Число Фридмана — целое число , представленное в данной системе счисления , являющееся результатом нетривиального выражения, использующего все свои цифры в сочетании с любым из четырех основных арифметических операторов (+, −, ×, ÷), аддитивными обратные , круглые скобки, возведение в степень и конкатенация . Здесь нетривиальность означает, что используется хотя бы одна операция, кроме конкатенации. Нельзя использовать ведущие нули, так как это также приведет к тривиальным числам Фридмана, таким как 024 = 20 + 4. Например, 347 — это число Фридмана в десятичной системе счисления , поскольку 347 = 7 ³ + 4. Десятичные числа Фридмана:

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, ... (последовательность A036057 в O ЭИС ).

Числа Фридмана названы в честь Эриха Фридмана , ныне вышедшего на пенсию профессора математики Стетсонского университета и любителя математики.

Простое число Фридмана — это число Фридмана, которое также является простым . Десятичные простые числа Фридмана:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 2 8547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 592 63, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, .. .(последовательность A112419 в OEIS ).

Результаты по основанию 10

Выражения первых нескольких чисел Фридмана:

число	выражение	число	выражение	число	выражение	число	выражение
25	5 2	127	2 7 −1	289	(8+9) 2	688	8×86
121	11 2	128	2 (8−1)	343	(3+4) 3	736	3 6 +7
125	5 (1+2)	153	3×51	347	7 3 +4	1022	2 10 −2
126	6×21	216	6 (2+1)	625	5 (6−2)	1024	(4−2) 10

Хорошее . число Фридмана — это число Фридмана, цифры в выражении которого можно расположить в том же порядке, что и в самом числе Например, мы можем расположить 127 = 2. ⁷ − 1 как 127 = −1 + 2 ⁷ . Первые хорошие числа Фридмана:

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 168 75, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 (последовательность А080035 в ОЭИС ).

Хорошее простое число Фридмана — это хорошее число Фридмана, которое также является простым. Первые хорошие простые числа Фридмана:

127, 15667, 16447, 19739, 28559, 32771, 39343, 46633, 46663, 117619, 117643, 117763, 125003, 131071, 137791, 147419, 15625 3, 156257, 156259, 229373, 248839, 262139, 262147, 279967, 294829, 295247, 326617, 466553, 466561, 466567, 585643, 592763, 649529, 728993, 759359, 786433, 937577 (последовательность A252483 в OEIS ).

Майкл Брэнд доказал, что плотность чисел Фридмана среди натуральных чисел равна 1, то есть вероятность того, что число, выбранное случайно и равномерно между 1 и n, будет числом Фридмана, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. Этот результат распространяется на числа Фридмана при любой базе представления. Он также доказал, что то же самое верно и для двоичных, троичных и четверичных хороших чисел Фридмана. Вопрос о хороших числах Фридмана с основанием 10 все еще открыт.

Числа вампира — это подмножество чисел Фридмана, где единственной операцией является умножение двух чисел с одинаковым количеством цифр, например 1260 = 21 × 60.

двузначных

Обычно в любой данной базе двузначных чисел Фридмана меньше, чем трехзначных, и больше, но двузначные числа найти легче. Если мы представим двузначное число как mb + n , где b — основание, а m , n — целые числа от 0 до b −1, нам нужно всего лишь проверить каждую возможную комбинацию m и n на соответствие равенствам mb + n = m. ^н , и mb + n = n ^м чтобы увидеть, какие из них верны. Нам не нужно беспокоиться о m + n или m × n , поскольку они всегда будут меньше, чем mb + n, когда n < b . То же самое, очевидно, справедливо для m − n и m / n .

Другие базы

Числа Фридмана также существуют для оснований, отличных от 10. Например, 11001 ₂ = 25 — это число Фридмана в двоичной системе счисления , поскольку 11001 = 101 ¹⁰ .

Ниже показаны несколько первых известных чисел Фридмана в других небольших основаниях, записанных в соответствующих основаниях. Числа, выделенные жирным шрифтом, являются хорошими числами Фридмана.

база	Числа Фридмана
2	11001, 11011 , 111111 , 1001111, 1010001, ...
3	121, 221, 1022, 1122, 1211, ...
4	121, 123 , 1203, 1230, 1321, ...
5	121, 224 , 1232, 1241, 1242 , ...
6	24 , 52, 121, 124, 133, ...
7	121, 143, 144 , 264, 514, ...
8	33 , 121, 125, 143, 251, ...
9	121, 134, 314 , 628, 1304, ...
11	121, 2А9, 603, 1163, 1533, ...
12	121, 127, 135, 144, 163, ...
13	121, 237, 24А, 1245, 1246, ...
14	121, 128, 135 , 144 , 173, ...
15	26, 121, 136, 154, 336 , ...
16	121, 129, 145, 183, 27Д,...

Общие результаты

В базе $b=mk-m$,

$b^{2}+mb+k=(mk-m+m)b+k=mbk+k=k(mb+1)$

— число Фридмана (записано в базе $b$ так как 1 mk = k × m 1).

В базе $b>2$,

${(b^{n}+1)}^{2}=b^{2n}+2{b^{n}}+1$

— число Фридмана (записано в базе $b$ как 100...00200...001 = 100..001 ² , с $n-1$ нули между каждым ненулевым числом).

В базе $b={\frac {k(k-1)}{2}}$,

$2b+k=2\left({\frac {k(k-1)}{2}}\right)+k=k^{2}-k+k=k^{2}$

— число Фридмана (записано в базе $b$ как 2 k = k ² ). Из наблюдения, что все числа вида 2 k × b ^{2 н} можно записать как k 000...000 ² с n нулями мы можем найти последовательности последовательных чисел Фридмана произвольной длины. Например, для $k=5$, или по основанию 10 , 250068 = 500 ² +68, из которого мы легко можем вывести диапазон последовательных чисел Фридмана от 250000 до 250099 по основанию 10 .

Повторная цифра чисел Фридмана:

• Наименьшая повторная цифра по основанию 8, являющаяся числом Фридмана, равна 33 = 3. ³ .
• Наименьшая повторная цифра по основанию 10 , которая считается числом Фридмана, равна 99999999 = (9 + 9/9). ^9−9/9 − 9/9.
• Было доказано, что повторные цифры , содержащие не менее 22 цифр, являются хорошими числами Фридмана.

Во всех основаниях существует бесконечное число простых чисел Фридмана, поскольку для основания $2\leq b\leq 6$ цифры

$n\times 10^{1111}+11111111=n\times 10^{1111}+10^{1000}-1+0+0$ в базе 2

$n\times 10^{102}+1101221=n\times 10^{102}+2^{101}+0+0$ в базе 3

$n\times 10^{20}+310233=n\times 10^{20}+33^{3}+0$ в базе 4

$n\times 10^{13}+2443111=n\times 10^{4+4}+(2\times 3)^{11}$ в базе 5

$n\times 10^{13}+25352411=n\times 10^{2\times 5-1}+(5+2)^{(3+4)}$ в базе 6

для базы $7\leq b\leq 10$ цифры

$n\times 10^{60}+164351=n\times 10^{60}+(10+4-3)^{5}+0+0+\ldots$ в базе 7,

$n\times 10^{60}+163251=n\times 10^{60}+(10+3-2)^{5}+0+0+\ldots$ в базе 8,

$n\times 10^{60}+162151=n\times 10^{60}+(10+2-1)^{5}+0+0+\ldots$ в базе 9,

$n\times 10^{60}+161051=n\times 10^{60}+(10+1-0)^{5}+0+0+\ldots$ в базе 10,

и для базы $b>10$

$n\times 10^{50}+{\text{15AA51}}=n\times 10^{50}+(10+{\text{A}}/{\text{A}})^{5}+0+0+\ldots$

являются числами Фридмана для всех $n$. Числа этой формы представляют собой арифметическую последовательность $pn+q$, где $p$ и $q$ относительно простые независимо от основания, так как $b$ и $b+1$ всегда относительно просты, и поэтому по теореме Дирихле об арифметических прогрессиях последовательность содержит бесконечное количество простых чисел.

Использование римских цифр

В тривиальном смысле все римские цифры , имеющие более одного символа, являются числами Фридмана. Выражение создается путем простой вставки знаков + в число, а иногда и знака – с небольшим изменением порядка символов.

Было проведено некоторое исследование римских чисел чисел Фридмана, для которых в выражении используются некоторые другие операторы. Первой такой красивой римской цифрой, обнаруженной числом Фридмана, было 8, поскольку VIII = (V - I) × II. Были найдены и другие подобные нетривиальные примеры.

Трудность нахождения нетривиальных чисел Фридмана в римских цифрах возрастает не с размером числа (как в случае с позиционными системами счисления), а с количеством имеющихся в нем символов. Например, гораздо сложнее выяснить, является ли 147 (CXLVII) числом Фридмана, записанным римскими цифрами, чем сделать то же самое для 1001 (MI). С помощью римских цифр можно, по крайней мере, вывести немало выражений Фридмана из любого нового выражения, которое вы обнаружите. Поскольку 8 — красивое нетривиальное красивое число Фридмана в римской цифре, отсюда следует, что любое число, оканчивающееся на VIII, также является таким числом Фридмана.

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A036057 (число Фридмана)
  • Другие числа Фридмана в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей
• «Числа Фридмана» . Гитхаб . Проблема месяца. Август 2000 года.
• Брэнд, Майкл (ноябрь 2013 г.). «Числа Фридмана имеют плотность 1» . Дискретная прикладная математика . 161 (16–17): 2389–2395. дои : 10.1016/j.dam.2013.05.027 .
• Последовательность OEIS A119710 (Радикальные нарциссические числа)
  • «Довольно дикие самовлюбленные цифры — числа, которые шалят» . Теоретический научно-исследовательский институт . Расширение чисел Фридмана