Звездный номер

Звездный номер

Первые четыре звездочки по цвету.
Всего нет. терминов	бесконечность
Формула	$S_{n}=6n(n-1)+1$
Первые сроки	1 , 13 , 37 , 73 , 121 , 181
ОЭИС Индекс	А003154 звезда

Доска для китайских шашек имеет 121 лунку.

Звездное число — это центрированное фигурное число , центрированная гексаграмма (шестиконечная звезда), такая как Звезда Давида или доска, в китайские шашки на которой играют .

1		13		37

- е n звездное число определяется по формуле S _n = 6 n ( n − 1) + 1. Первые 43 звездных номера — это 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661. , 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 59 53, 6337, 6733, 7141, 7561 , 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837 (последовательность A003154 в OEIS )

звездного Цифровой корень номера всегда равен 1 или 4 и развивается в последовательности 1, 4, 1. Последние две цифры звездного номера по основанию 10 всегда равны 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53. , 61, 73, 81 или 93.

Уникальным среди звездных чисел является число 35113, поскольку его простые делители (т. е. 13, 37 и 73) также являются последовательными звездными числами.

Отношения с другими видами чисел

Геометрически n- е звездное число состоит из центральной точки и 12 копий ( n -1)-го треугольного числа , что делает его численно равным n- му центрированному додекагональному числу , но расположенному по-другому.

Бесконечное множество звездных чисел также являются треугольными числами , первые четыре из них — это S ₁ = 1 = T ₁ , S ₇ = 253 = T ₂₂ , S ₉₁ = 49141 = T ₃₁₃ и S ₁₂₆₁ = 9533161 = T ₄₃₆₆ (последовательность A156712 в ОЭИС ).

Бесконечно много звездных чисел также являются квадратными числами , первые четыре из которых равны S ₁ = 1. ² , С ₅ = 121 = 11 ² , С ₄₅ = 11881 = 109 ² , и S ₄₄₁ = 1164241 = 1079 ² (последовательность A054318 в OEIS ), для квадратных звезд (последовательность A006061 в OEIS ).

Звездное простое число — это звездное число, которое является простым . Первые несколько простых звезд (последовательность A083577 в OEIS )13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937.

Простое число суперзвезд — это простое число звезд, индекс простого числа которого также является звездным числом. Первые два таких числа — 661 и 1750255921.

Обратное простое число суперзвезды — это звездное число, индекс которого является простым звездным числом. Первые несколько таких чисел — 937, 7993, 31537, 195481, 679393, 1122337, 1752841, 2617561, 5262193.

Термин «звездное число» или «звездное число» иногда используется для обозначения восьмиугольных чисел .

Другая недвижимость

Гармонический ряд единичных дробей со звездными числами в знаменателях:

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}+{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}+{\frac {1}{337}}+\cdots \\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\tan({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}})\\&\approx 1.159173.\\\end{aligned}}$$

Чередующийся ряд единичных дробей со звездными числами в знаменателях:

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&(-1)^{n-1}{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1-{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}-{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}-{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}-{\frac {1}{337}}+\cdots \\&\approx 0.941419.\\\end{aligned}}$$

См. также

• Центрированное шестиугольное число