Гиперсовершенное число
В теории чисел — k -сверхсовершенное число это натуральное число n, для которого выполняется равенство где σ ( n ) — функция делителя (т.е. сумма всех положительных делителей числа n ). Сверхсовершенное число — это k -сверхсовершенное число для некоторого целого числа k . Сверхсовершенные числа обобщают совершенные числа , которые являются 1-сверхсовершенными. [1]
Первые несколько чисел в последовательности k -гиперсовершенных чисел — это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... (последовательность A034897 в OEIS ), при этом соответствующие значения k равны 1, 2, 1. , 6, 3, 1, 12, ... (последовательность A034898 в OEIS ). Первые несколько k -гиперсовершенных чисел, которые не являются совершенными, — это 21, 301, 325, 697, 1333, ... (последовательность A007592 в OEIS ).
Список гиперсовершенных чисел [ править ]
В следующей таблице перечислены первые несколько k -гиперсовершенных чисел для некоторых значений k вместе с порядковым номером в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) последовательности k -гиперсовершенных чисел:
Можно показать, что если k > 1 — нечетное целое число и и являются простыми числами , то k ; -сверхсовершенный Джадсон С. МакКрэни в 2000 году предположил, что все k -сверхсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют эту форму, но эта гипотеза до сих пор не доказана. Более того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число такое, что тогда pq - сверхсовершенен k .
Также можно показать, что если k > 0 и является простым, то для всех i > 1 таких, что является простым, является k -сверхсовершенным. В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k -гиперсовершенным:
Есть некоторые четные числа, которые являются сверхсовершенными для нечетных множителей, т. е. k * (сумма нечетных множителей, кроме 1 и самого себя) + 1 = число. Например, первые 5 включают 1300, 271872, 304640, 953344 и 1027584 для k = 3, 349, 353, 837 и 353. Все нечетные гиперсовершенные числа являются гиперсовершенными числами с нечетным коэффициентом, поскольку они имеют только нечетные множители и не имеют четных множителей.
1300 имеет коэффициенты = 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 25, 26, 50, 52, 65, 100, 130, 260, 325, 650, 1300.
Он имеет нечетные коэффициенты, кроме 1 и самого себя = 5, 13, 25, 65, 325.
Сумма нечетных коэффициентов, кроме 1 и самого себя = 5 + 13 + 25 + 65 + 325 = 433.
1300 – 1 = 1 299 и 1 299/433 = 3, целое число. [ нужна ссылка ] [ нужны разъяснения ]
Гипердефицит [ править ]
Недавно введенная математическая концепция гипердефицита связана со сверхсовершенными числами .
Определение (Minoli 2010): Для любого целого числа n и целого числа k > 0 определите k -гипердефицит (или просто гипердефицит ) для числа n как
Число n называется k -сверхдефицитным, если
Обратите внимание, что при k = 1 получаем Это стандартное традиционное определение дефицита .
Лемма: Число n является k -сверхсовершенным (включая k = 1 ) тогда и только тогда, когда k -сверхдефицит числа n ,
Лемма: Число n является k -сверхсовершенным (включая k = 1 когда для некоторого k ) тогда и только тогда , хотя бы для одного j > 0 .
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсовершенное число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
- Шандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . п. 114. ИСБН 1-4020-4215-9 . Збл 1151.11300 .
Дальнейшее чтение [ править ]
Статьи [ править ]
- Миноли, Дэниел; Беар, Роберт (осень 1975 г.), «Сверхсовершенные числа», Pi Mu Epsilon Journal , 6 (3): 153–157 .
- Миноли, Дэниел (декабрь 1978 г.), «Достаточные формы для обобщенных совершенных чисел», Annales de la Faculté des Sciences UNAZA , 4 (2): 277–302 .
- Миноли, Дэниел (февраль 1981 г.), «Структурные проблемы для сверхсовершенных чисел», Fibonacci Quarterly , 19 (1): 6–14 .
- Миноли, Дэниел (апрель 1980 г.), «Проблемы нелинейных гиперсовершенных чисел», Mathematics of Computation , 34 (150): 639–645, doi : 10.2307/2006107 , JSTOR 2006107 .
- Миноли, Дэниел (октябрь 1980 г.), «Новые результаты для сверхсовершенных чисел», Abstracts of the American Mathematical Society , 1 (6): 561 .
- Миноли, Дэниел; Накамине, В. (1980). «Числа Мерсенна с корнем из 3 для теоретико-числовых преобразований». ИКАССП '80. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . Том. 5. С. 243–247. дои : 10.1109/ICASSP.1980.1170906 . .
- МакКрэни, Джадсон С. (2000), «Исследование сверхсовершенных чисел» , Журнал целочисленных последовательностей , 3 : 13, Bibcode : 2000JIntS...3...13M , заархивировано из оригинала 05 апреля 2004 г.
- те Риле, Герман Дж. Дж. (1981), «Сверхсовершенные числа с тремя разными простыми множителями», Math. Комп. , 36 (153): 297–298, doi : 10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9 , МР 0595066 , Збл 0452.10005 .
- те Риле, Герман Дж. Дж. (1984), «Правила построения сверхсовершенных чисел», Fibonacci Q. , 22 : 50–60, Zbl 0531.10005 .
Книги [ править ]
- Дэниел Миноли, передача голоса по MPLS , Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 2002 г., ISBN 0-07-140615-8 (стр. 114-134)
Внешние ссылки [ править ]
Наборы целых чисел на основе делимости |
|---|
Классы натуральных чисел |
|---|
