некотиентный
В теории чисел — некотентиент это целое положительное число n , которое не может быть выражено как разность между положительным целым числом m и количеством взаимно простых целых чисел ниже него. То есть m − φ ( m ) = n , где φ обозначает функцию Эйлера , не имеет решения для m . Кофактор числа n — это число , определяется как n − φ ( n ) , поэтому некофактор которое никогда не является коэффициентом.
Предполагается, что все некототенты четны. Это следует из модифицированной формы несколько более сильной версии гипотезы Гольдбаха : если четное число n можно представить в виде суммы двух различных простых чисел p и q , то
Ожидается, что каждое четное число больше 6 представляет собой сумму двух различных простых чисел, поэтому, вероятно, ни одно нечетное число больше 5 не является некотентом. Остальные нечетные числа охватываются наблюдениями 1 = 2 – φ (2) , 3 = 9 – φ (9) и 5 = 25 – φ (25) .
Для четных чисел можно показать
Таким образом, все четные числа n такие, что n + 2, можно записать как ( p + 1)( q + 1) с простыми числами p, q, являются кототентами.
Первые несколько некокотентов
- 10 , 26 , 34 , 50 , 52 , 58 , 86 , 100 , 116 , 122 , 130 , 134 , 146 , 154 , 170 , 172 , 186, 202, 206, 218, 222, 232 , 4, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, ... ( последовательность A005278 в OEIS )
The cototient of n are
- 0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... (sequence A051953 in the OEIS)
Least k such that the cototient of k is n are (start with n = 0, 0 if no such k exists)
- 1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (sequence A063507 in the OEIS)
Greatest k such that the cototient of k is n are (start with n = 0, 0 if no such k exists)
- 1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (sequence A063748 in the OEIS)
Number of ks such that k − φ(k) is n are (start with n = 0)
- 1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... (sequence A063740 in the OEIS)
Erdős (1913–1996) and Sierpinski (1882–1969) asked whether there exist infinitely many noncototients. This was finally answered in the affirmative by Browkin and Schinzel (1995), who showed every member of the infinite family is an example (See Riesel number). Since then other infinite families, of roughly the same form, have been given by Flammenkamp and Luca (2000).
References[edit]
- Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). "On integers not of the form n-φ(n)". Colloq. Math. 68 (1): 55–58. doi:10.4064/cm-68-1-55-58. Zbl 0820.11003.
- Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). "Infinite families of noncototients". Colloq. Math. 86 (1): 37–41. doi:10.4064/cm-86-1-37-41. Zbl 0965.11003.
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.