Функция Кармайкла

Кармайкла $λ$ Функция $: λ (n)$ для $1 \leq n \leq 1000$ (по сравнению с функцией Эйлера $φ$ )

В теории чисел , разделе математики , функция Кармайкла $λ (n)$ n положительного целого числа $—$ это наименьший член множества положительных целых чисел $m,$ обладающий свойством, что

a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}

выполняется для любого целого числа, $взаимно$ простого с $n$ . В алгебраических терминах $λ (n)$ является показателем мультипликативной группы целых чисел по модулю $n$ . Поскольку это конечная абелева группа , должен существовать элемент, порядок которого равен показателю степени $λ (n)$ . Такой элемент называется примитивным $λ$ -корнем по модулю $n$ .

Функция Кармайкла названа в честь американского математика Роберта Кармайкла , который определил ее в 1910 году. ^[1] Она также известна как λ-функция Кармайкла приведенная функция тотента и наименее универсальная показательная функция. ,

В следующей таблице сравниваются первые 36 значений $λ (n)$ (последовательность A002322 в OEIS ) с функцией тотента Эйлера $φ$ (выделены жирным шрифтом , если они разные; $n$ s, такие, что они различны, перечислены в OEIS : A033949 ).

$н$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
$λ (п)$	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20	12	18	6	28	4	30	8	10	16	12	6
$φ (п)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12

Числовые примеры [ править ]

Функция Кармайкла в точке 5 равна 4, $λ (5) = 4$ , поскольку для любого числа $0<a<5$ взаимно простыми до 5, т.е. $a\in \{1,2,3,4\}~,$ есть $a^{m}\equiv 1\,({\text{mod }}5)$ с $m=4,$ а именно $1 1\cdot4 = 1 4 \equiv 1 (против 5)$ , $24 = 16 \equiv 1 (по модулю 5)$ , $34 = 81 \equiv 1 (по модулю 5)$ и $4 2\cdot2 = 16 2 \equiv 1 2 (мод 5)$ . И это $m = 4$ является наименьшим показателем степени с этим свойством, потому что $2^{2}=4\not \equiv 1\,({\text{mod }}5)$ (и $3^{2}=9\not \equiv 1\,({\text{mod }}5)$ также.)
Эйлера Более того, функция тотента в точке 5 равна 4, $φ (5) = 4$ , поскольку существует ровно 4 числа меньше 5 и взаимно простых с ними (1, 2, 3 и 4). Теорема Эйлера утверждает, $что 4 \equiv 1 (по модулю 5)$ для всех $чисел$ , взаимно простых с 5, а 4 — наименьший такой показатель. И 2, и 3 являются примитивными $λ$ -корнями по модулю 5, а также примитивными корнями по модулю 5.
Функция Кармайкла в 8 равна 2, $λ (8) = 2$ , потому что для любого числа, $взаимно$ простого с 8, т.е. $a\in \{1,3,5,7\}~,$ он утверждает, $что 2 \equiv 1 (по модулю 8)$ . А именно, $1 1\cdot2 = 1 2 \equiv 1 (мод. 8)$ , $32 = 9 \equiv 1 (по модулю 8)$ , $52 = 25 \equiv 1 (по модулю 8)$ и $72 = 49 \equiv 1 (по модулю 8)$ .
Эйлера Тотент-функция в 8 равна 4, $φ (8) = 4$ , потому что существует ровно 4 числа меньше 8 и взаимно простых с 8 (1, 3, 5 и 7). Более того, теорема Эйлера утверждает, $что 4 \equiv 1 (по модулю 8)$ для всех $чисел$ , взаимно простых с 8, но 4 не является наименьшим таким показателем. Примитивными $λ$ -корнями по модулю 8 являются 3, 5 и 7. Примитивных корней по модулю 8 нет.

Повторение для $λ (n)$ [ править ]

Лямбда-функция Кармайкла простой степени может быть выражена через тотент Эйлера. Любое число, отличное от 1 или степени простого числа, можно однозначно записать как произведение различных степеней простых чисел, и в этом случае $λ$ произведения является наименьшим общим кратным λ $множителей$ степени простого числа. В частности, $λ (n)$ задается рекуррентным выражением

\lambda (n)={\begin{cases}\varphi (n)&{\text{if }}n{\text{ is 1, 2, 4, or an odd prime power,}}\\{\tfrac {1}{2}}\varphi (n)&{\text{if }}n=2^{r},\ r\geq 3,\\\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda (n_{1}),\lambda (n_{2}),\ldots ,\lambda (n_{k}){\Bigr )}&{\text{if }}n=n_{1}n_{2}\ldots n_{k}{\text{ where }}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}{\text{ are powers of distinct primes.}}\end{cases}}

Тотент Эйлера для простой степени, т. е. числа $p р$ с $p$ prime и $r \geq 1$ , определяется выражением

\varphi (p^{r}){=}p^{r-1}(p-1).

Теоремы Кармайкла [ править ]

Кармайкл доказал две теоремы, которые вместе устанавливают, что если $λ (n)$ рассматривается как определенное повторением предыдущего раздела, то оно удовлетворяет свойству, указанному во введении, а именно, что это наименьшее положительное целое число $m$ такое, что $a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ для всех $число$ относительно простое $n$ .

Теорема 1. Если a $относительно$ простое с $n$ , то $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ . ^[2]

Это означает, что порядок каждого элемента мультипликативной группы целых чисел по модулю $n$ делит $λ (n)$ . Кармайкл называет элемент $a$ , для которого $a^{\lambda (n)}$ — наименьшая степень $конгруэнтного$ 1 (mod $n$ ) примитивного λ-корня по модулю n . ^[3] (Это не следует путать с примитивным корнем по модулю $n$ , который Кармайкл иногда называет примитивным $\varphi$ -корень по модулю $n$ .)

Теорема 2. Для каждого натурального числа $n$ существует примитивный $λ$ -корень по модулю $n$ . Более того, если $g$ — такой корень, то существуют $\varphi (\lambda (n))$ примитивные $λ$ -корни, конгруэнтные степеням $g$ . ^[4]

Если $g$ — один из примитивных $λ$ -корней, гарантированных теоремой, то $g^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ не имеет целочисленных положительных решений $m$ меньше $λ (n)$ , что показывает, что не существует положительного $m < λ (n)$ такого, что $a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ для всех $число$ относительно простое $n$ .

Из второго утверждения теоремы 2 не следует, что все примитивные $λ$ -корни по модулю $n$ конгруэнтны степеням одного корня $g$ . ^[5] Например, если $n = 15$ , то $λ (n) = 4$ , а $\varphi (n)=8$ и $\varphi (\lambda (n))=2$ . Существует четыре примитивных $λ$ -корня по модулю 15, а именно 2, 7, 8 и 13, как $1\equiv 2^{4}\equiv 8^{4}\equiv 7^{4}\equiv 13^{4}$ . Корни 2 и 8 конгруэнтны степеням друг друга, а корни 7 и 13 конгруэнтны степеням друг друга, но ни 7, ни 13 не конгруэнтны степени 2 или 8, и наоборот. Остальные четыре элемента мультипликативной группы по модулю 15, а именно 1, 4 (что удовлетворяет условию $4\equiv 2^{2}\equiv 8^{2}\equiv 7^{2}\equiv 13^{2}$ ), 11 и 14 не являются примитивными $λ$ -корнями по модулю 15.

Для контрастного примера: если $n = 9$ , то $\lambda (n)=\varphi (n)=6$ и $\varphi (\lambda (n))=2$ . Есть два примитивных $λ$ -корня по модулю 9, а именно 2 и 5, каждый из которых конгруэнтен в пятой степени другого. Они оба тоже примитивны $\varphi$ -корни по модулю 9.

Свойства функции Кармайкла [ править ]

В этом разделе целое число $n$ делится на ненулевое целое число $m$ если существует целое число $k$ такой, что $n=km$ . Это написано как

m\mid n.

Следствие минимальности $λ (n)$ [ править ]

Предположим $, м \equiv 1 (mod n)$ для всех чисел, $взаимно простых$ с $n$ . Тогда $λ (п) | м$ .

Доказательство: если $m = kλ (n) + r$ с $0 \leq r < λ (n)$ , то

a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\lambda (n)}\right)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}

для всех чисел $взаимно$ простое с $n$ . Отсюда следует, что $r = 0,$ поскольку $r < λ (n)$ и $λ (n)$ — минимальный положительный показатель степени, для которого сравнение выполняется для всех $чисел$ , взаимно простых с $n$ .

$λ (n)$ делит $φ (n)$ [ редактировать ]

Это следует из элементарной теории групп , поскольку показатель любой конечной группы должен делить порядок группы. $λ (n)$ — показатель мультипликативной группы целых чисел по модулю $n,$ а $φ (n)$ — порядок этой группы. В частности, они должны быть равны в тех случаях, когда мультипликативная группа является циклической из-за существования примитивного корня , что имеет место для нечетных простых степеней.

Таким образом, мы можем рассматривать теорему Кармайкла как усиление теоремы Эйлера .

Делимость [ править ]

a\,|\,b\Rightarrow \lambda (a)\,|\,\lambda (b)

Доказательство.

По определению, для любого целого числа $k$ с $\gcd(k,b)=1$ (и, следовательно, также $\gcd(k,a)=1$ ), у нас такое есть $b\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)$ , и поэтому $a\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)$ . Это устанавливает, что $k^{\lambda (b)}\equiv 1{\pmod {a}}$ для всех $k$ относительно простого с $a$ . По доказанному выше следствию минимальности имеем $\lambda (a)\,|\,\lambda (b)$ .

Состав [ править ]

Для всех натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо соотношение

\lambda (\mathrm {lcm} (a,b))=\mathrm {lcm} (\lambda (a),\lambda (b))

.

Это непосредственное следствие повторяемости функции Кармайкла.

Длина экспоненциального цикла [ править ]

Если $r_{\mathrm {max} }=\max _{i}\{r_{i}\}$ является наибольшим показателем в простой факторизации $n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ n $n$ , то для всех $a$ (включая те, которые не взаимно просты с $)$ и всех $r \geq r max$ ,

a^{r}\equiv a^{\lambda (n)+r}{\pmod {n}}.

В частности, для свободного от квадратов $n$ ( $r max = 1$ ) для всех $a$ мы имеем

a\equiv a^{\lambda (n)+1}{\pmod {n}}.

Среднее значение [ править ]

Для любого $n \geq 16$ : ^[6]^[7]

{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)={\frac {n}{\ln n}}e^{B(1+o(1))\ln \ln n/(\ln \ln \ln n)}

(далее называемое приближением Эрдеша) с постоянной

B:=e^{-\gamma }\prod _{p\in \mathbb {P} }\left({1-{\frac {1}{(p-1)^{2}(p+1)}}}\right)\approx 0.34537

и $γ \approx 0,57721$ — постоянная Эйлера–Машерони .

В следующей таблице представлен некоторый обзор первых $двух 26 - 1 = 67108863$ значений функции $λ$ как для точного среднего, так и для его приближения Эрдеша.

Дополнительно дается некоторый обзор более доступных значений «логарифм по логарифму» $LoL( n ) := .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ln λ ( n ) / ln n$ с

$ЛоЛ(п) > 4 / 5 \Leftrightarrow λ (п) > п 4 / 5$ .

Там запись таблицы в строке номер 26 в столбце

$% ЛоЛ > 4 / 5$ → 60.49

указывает, что 60,49% (≈ 40 000 000 ) целых чисел $1 \leq n \leq 67108863$ имеют $λ (n) > n 4 / 5$ это означает, что большинство значений $λ$ является экспоненциальным по длине $l := log 2 (n)$ входного $n$ , а именно

\left(2^{\frac {4}{5}}\right)^{l}=2^{\frac {4l}{5}}=\left(2^{l}\right)^{\frac {4}{5}}=n^{\frac {4}{5}}.

$н$	$п = 2 н - 1$	сумма $\sum _{i\leq n}\lambda (i)$	средний ${\tfrac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)$	Лес средний	Лес / точное среднее значение	$Лол$ средний	% $ЛоЛ$ > 4 / 5	% $ЛоЛ$ > 7 / 8
5	31	270	8.709677	68.643	7.8813	0.678244	41.94	35.48
6	63	964	15.301587	61.414	4.0136	0.699891	38.10	30.16
7	127	3574	28.141732	86.605	3.0774	0.717291	38.58	27.56
8	255	12994	50.956863	138.190	2.7119	0.730331	38.82	23.53
9	511	48032	93.996086	233.149	2.4804	0.740498	40.90	25.05
10	1023	178816	174.795699	406.145	2.3235	0.748482	41.45	26.98
11	2047	662952	323.865169	722.526	2.2309	0.754886	42.84	27.70
12	4095	2490948	608.290110	1304.810	2.1450	0.761027	43.74	28.11
13	8191	9382764	1145.496765	2383.263	2.0806	0.766571	44.33	28.60
14	16383	35504586	2167.160227	4392.129	2.0267	0.771695	46.10	29.52
15	32767	134736824	4111.967040	8153.054	1.9828	0.776437	47.21	29.15
16	65535	513758796	7839.456718	15225.43 0	1.9422	0.781064	49.13	28.17
17	131071	1964413592	14987.40066 0	28576.97 0	1.9067	0.785401	50.43	29.55
18	262143	7529218208	28721.79768 0	53869.76 0	1.8756	0.789561	51.17	30.67
19	524287	28935644342	55190.46694 0	101930.9 00	1.8469	0.793536	52.62	31.45
20	1048575	111393101150	106232.8409 00	193507.1 00	1.8215	0.797351	53.74	31.83
21	2097151	429685077652	204889.9090 00	368427.6 00	1.7982	0.801018	54.97	32.18
22	4194303	1660388309120	395867.5158 00	703289.4 00	1.7766	0.804543	56.24	33.65
23	8388607	6425917227352	766029.1187 00	1345633 .000	1.7566	0.807936	57.19	34.32
24	16777215	24906872655990	1484565.386 000	2580070 .000	1.7379	0.811204	58.49	34.43
25	33554431	96666595865430	2880889.140 000	4956372 .000	1.7204	0.814351	59.52	35.76
26	67108863	375619048086576	5597160.066 000	9537863 .000	1.7041	0.817384	60.49	36.73

Преобладающий интервал [ править ]

Для всех чисел $N$ и всех, кроме $o (N)$ ^[8] целые положительные числа $n \leq N$ («преобладающее» большинство):

\lambda (n)={\frac {n}{(\ln n)^{\ln \ln \ln n+A+o(1)}}}

с постоянной ^[7]

A:=-1+\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{(p-1)^{2}}}\approx 0.2269688

Нижние границы [ править ]

Для любого достаточно большого числа $N$ и любого $∆ \geq (ln ln N) 3$ , есть максимум

N\exp \left(-0.69(\Delta \ln \Delta )^{\frac {1}{3}}\right)

целые положительные числа $n \leq N$ такие, что $λ (n) \leq ne -Д$ . ^[9]

Минимальный заказ [ править ]

Для любой последовательности $n 1 < n 2 < n 3 < \dots$ натуральных чисел любая константа $0 < c < 1 / ln 2$ и любое достаточно большое $i$ : ^[10]^[11]

\lambda (n_{i})>\left(\ln n_{i}\right)^{c\ln \ln \ln n_{i}}.

Маленькие значения [ править ]

Для константы $c$ и любого достаточно большого положительного $A$ существует целое число $n > A$ такое, что ^[11]

\lambda (n)<\left(\ln A\right)^{c\ln \ln \ln A}.

Более того, $n$ имеет вид

n=\mathop {\prod _{q\in \mathbb {P} }} _{(q-1)|m}q

для некоторого целого числа без квадратов $m < (ln A) c ln ln ln A$ . ^[10]

Изображение функции [ править ]

Множество значений функции Кармайкла имеет счетную функцию ^[12]

{\frac {x}{(\ln x)^{\eta +o(1)}}},

где

\eta =1-{\frac {1+\ln \ln 2}{\ln 2}}\approx 0.08607

Использование в криптографии [ править ]

Функция Кармайкла важна в криптографии из-за ее использования в алгоритме шифрования RSA .

Доказательство теоремы 1 [ править ]

Для $n = p$ , простого числа, теорема 1 эквивалентна малой теореме Ферма:

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}p.

Для простых степеней $p р$ , $r > 1$ , если

a^{p^{r-1}(p-1)}=1+hp^{r}

выполняется для некоторого целого числа $h$ , то возведение обеих частей в степень $p$ дает

a^{p^{r}(p-1)}=1+h'p^{r+1}

для какого-то другого целого числа $h'$ . По индукции отсюда следует, что $a^{\varphi (p^{r})}\equiv 1{\pmod {p^{r}}}$ для всех $a$ относительно простых с $p$ и, следовательно, с $p р$ . Это устанавливает теорему для $n = 4$ или любой нечетной степени простого числа.

Повышение резкости результата для более высоких степеней двойки [ править ]

Для $числа$ , взаимно простого с (степенью) 2, имеем $a = 1 + 2 h 2$ для некоторого целого числа $h 2$ . Затем,

a^{2}=1+4h_{2}(h_{2}+1)=1+8{\binom {h_{2}+1}{2}}=:1+8h_{3}

,

где $h_{3}$ является целым числом. При $r = 3$ это пишется

a^{2^{r-2}}=1+2^{r}h_{r}.

Возведение в квадрат обеих сторон дает

a^{2^{r-1}}=\left(1+2^{r}h_{r}\right)^{2}=1+2^{r+1}\left(h_{r}+2^{r-1}h_{r}^{2}\right)=:1+2^{r+1}h_{r+1},

где $h_{r+1}$ является целым числом. По индукции следует, что

a^{2^{r-2}}=a^{{\frac {1}{2}}\varphi (2^{r})}\equiv 1{\pmod {2^{r}}}

для всех $r\geq 3$ и все $простые$ взаимно $2^{r}$ . ^[13]

Целые числа с несколькими простыми множителями [ править ]

По теореме об уникальной факторизации любое $n > 1$ может быть записано единственным образом как

n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}

где $p 1 < p 2 < ... < p k$ — простые числа, а $r 1, r 2, ..., r k$ — положительные целые числа. Результаты для простых степеней показывают, что для $1\leq j\leq k$ ,

a^{\lambda \left(p_{j}^{r_{j}}\right)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n{\text{ and hence to }}p_{i}^{r_{i}}.

Отсюда следует, что

a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n,

где, как следует из рекуррентности,

\lambda (n)=\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda \left(p_{1}^{r_{1}}\right),\lambda \left(p_{2}^{r_{2}}\right),\ldots ,\lambda \left(p_{k}^{r_{k}}\right){\Bigr )}.

Из китайской теоремы об остатках можно сделать вывод, что

a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n.

См. также [ править ]

Число Кармайкла

Примечания [ править ]

^ Кармайкл, Роберт Дэниел (1910). «Заметка о новой функции теории чисел» . Бюллетень Американского математического общества . 16 (5): 232–238. дои : 10.1090/S0002-9904-1910-01892-9 .
^ Кармайкл (1914) стр.40
^ Кармайкл (1914) стр.54
^ Кармайкл (1914) стр.55
^ Кармайкл (1914) стр.56
^ Теорема 3 в Эрдеше (1991).
^ Перейти обратно: ^а ^б Шандор и Крстичи (2004) стр.194
^ Теорема 2 Эрдеша (1991) 3. Нормальный порядок. (стр. 365)
^ Теорема 5 Фридлендера (2001).
^ Перейти обратно: ^а ^б Теорема 1 в книге Эрдёша (1991).
^ Перейти обратно: ^а ^б Шандор и Крстичи (2004) стр.193
^ Форд, Кевин; Лука, Флориан; Померанс, Карл (27 августа 2014 г.). -функции Кармайкла «Образ λ ». Алгебра и теория чисел . 8 (8): 2009–2026. arXiv : 1408.6506 . дои : 10.2140/ant.2014.8.2009 . S2CID 50397623 .
^ Кармайкл (1914), стр. 38–39.

Ссылки [ править ]

Эрдеш, Пол ; Померанс, Карл ; Шмутц, Эрик (1991). «Лямбда-функция Кармайкла » Акта Арифметика 58 (4): 363–385. дои : 10.4064/aa-58-4-363-385 . ISSN 0065-1036 . МР 1121092 . Збл 0734.11047 .
Фридлендер, Джон Б .; Померанс, Карл; Шпарлинский, Игорь Евгеньевич (2001). «Период генераторной мощности и малые значения функции Кармайкла» . Математика вычислений . 70 (236): 1591–1605, 1803–1806. дои : 10.1090/s0025-5718-00-01282-5 . ISSN 0025-5718 . МР 1836921 . Збл 1029.11043 .
Сандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 100-1 32–36, 193–195. ISBN 978-1-4020-2546-4 . Збл 1079.11001 .
Кармайкл, Роберт Д. [1914]. Теория чисел в проекте Гутенберг

[1] Кармайкл, Роберт Дэниел (1910). «Заметка о новой функции теории чисел» . Бюллетень Американского математического общества . 16 (5): 232–238. дои : 10.1090/S0002-9904-1910-01892-9 .

[2] Кармайкл (1914) стр.40

[3] Кармайкл (1914) стр.54

[4] Кармайкл (1914) стр.55

[5] Кармайкл (1914) стр.56

[6] Теорема 3 в Эрдеше (1991).

[HBII194-7] Перейти обратно: ^а ^б Шандор и Крстичи (2004) стр.194

[8] Теорема 2 Эрдеша (1991) 3. Нормальный порядок. (стр. 365)

[9] Теорема 5 Фридлендера (2001).

[Theorem_1_in_Erdős_(1991)-10] Перейти обратно: ^а ^б Теорема 1 в книге Эрдёша (1991).

[HBII193-11] Перейти обратно: ^а ^б Шандор и Крстичи (2004) стр.193

[12] Форд, Кевин; Лука, Флориан; Померанс, Карл (27 августа 2014 г.). -функции Кармайкла «Образ λ ». Алгебра и теория чисел . 8 (8): 2009–2026. arXiv : 1408.6506 . дои : 10.2140/ant.2014.8.2009 . S2CID 50397623 .

[13] Кармайкл (1914), стр. 38–39.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]