Функция тотента Джордана

В чисел теории функция тотента Джордана , обозначаемая как $J_{k}(n)$, где $k$ является положительным целым числом, является функцией положительного целого числа , $n$, что равно количеству $k$- кортежи целых положительных чисел, которые меньше или равны $n$ и это вместе с $n$ образуют взаимно простое множество $k+1$ целые числа

Тотент-функция Джордана является обобщением тотент-функции Эйлера , которая совпадает с $J_{1}(n)$. Функция названа в честь Камиллы Джордан .

Определение

Для каждого положительного целого числа $k$, функция Жордана $J_{k}$ является мультипликативным и может быть оценен как

$J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,$, где $p$ проходит через простые делители $n$.

Характеристики

• $\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,$

что можно записать на языке сверток Дирихле как

$J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,$

и посредством обращения Мёбиуса как

$J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}$.

Поскольку производящая функция Дирихле $\mu$ является $1/\zeta (s)$ и производящая функция Дирихле $n^{k}$ является $\zeta (s-k)$, сериал для $J_{k}$ становится

$\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}$.

• Средний заказ ​ $J_{k}(n)$ является

$J_{k}(n)\sim {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}$.

• Дедекинда -функция Пси

$\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}$,

и проверив определение (признавая, что каждый множитель произведения простых чисел представляет собой круговой полином от $p^{-k}$), арифметические функции, определяемые формулой ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}$ или ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}$ Также можно показать, что это целочисленные мультипликативные функции.

• $\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)$.

Порядок матричных групп

• Общая линейная группа матриц порядка $m$ над $\mathbf {Z} /n$ имеет порядок

$|\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).$

• Специальная линейная группа матриц порядка $m$ над $\mathbf {Z} /n$ имеет порядок

$|\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).$

• Симплектическая группа матриц порядка $m$ над $\mathbf {Z} /n$ имеет порядок

$|\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).$

Первые две формулы были открыты Джорданом.

Примеры

• Явные списки в OEIS : J ₂ в OEIS : A007434 , J ₃ в OEIS : A059376 , J ₄ в OEIS : A059377 , J ₅ в OEIS : A059378 , J ₆ до J ₁₀ в OEIS : A069091 до OEIS : А069095 .
• Мультипликативные функции, определяемые соотношениями: J ₂ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A001615 , J ₃ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160889 , J ₄ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160891 , J ₅ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160893 , J ₆ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160895 , J ₇ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160897 , J ₈ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160908 , J ₉ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160953 , J ₁₀ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160957 , J ₁₁ (n)/J ₁ (n) в OEIS : A160960 .
• Примерами соотношений J _2k (n)/J _k (n) являются J ₄ (n)/J ₂ (n) в OEIS : A065958 , J ₆ (n)/J ₃ (n) в OEIS : A065959 и J. ₈ (n)/J ₄ (n) в OEIS : A065960 .

Ссылки

• Л. Е. Диксон (1971) [1919]. История теории чисел, Том. Я. ​ Издательство Челси . п. 147. ИСБН  0-8284-0086-5 . ЖФМ   47.0100.04 .
• М. Рам Мурти (2001). Проблемы аналитической теории чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 206. Шпрингер-Верлаг . п. 11. ISBN  0-387-95143-1 . Збл   0971.11001 .
• Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 32–36. ISBN  1-4020-2546-7 . Збл   1079.11001 .

Внешние ссылки

• Андрика, Дорин ; Питикари, Михай (2004). «О некоторых расширениях арифметических функций Жордана» . Acta Universitatis Apulensis . 7 : 13–22. МР   2157944 .
• Холден, Мэтью; Оррисон, Майкл; Врабле, Михаил. «Еще одно обобщение функции Эйлера Тотиент» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2016 г. Проверено 21 декабря 2011 г.