Не все

В теории чисел нетонциент — это положительное целое число n , которое не является тотент-числом : оно не находится в диапазоне тотент- функции Эйлера φ, то есть уравнение φ( x ) = n не имеет решения x . Другими словами, n является нетонциентным, если не существует целого числа x , которое имеет ровно n взаимно простых чисел ниже него. Все нечетные числа являются нетоентами, кроме 1 , поскольку оно имеет решения x = 1 и x = 2. Первые несколько четных нетоентов представляют собой следующую последовательность:

14 , 26 , 34 , 38 , 50 , 62 , 68 , 74 , 76 , 86 , 90 , 94 , 98 , 114 , 118 , 122 , 124 , 134 , 142 , 146 , 152 , 154 , 170 , , 174 , 182 , 186 , 188 , 194 , 202 , 206 , 214 , 218 , 230 , 234 , 236 , 242 , 244 , 246 , 248 , 254 , 258 , 266 , 274 , 278 , 286 4 , 290 , 298 , , .. .(последовательность A005277 в OEIS )

Наименьшее значение k такое, что общая часть k равна n (0, если такого k не существует), представляет собой следующую последовательность:

1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0, 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 0, 65, 0, 0, 0, 53, 0, 81, 0, 87, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 85, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, ... (последовательность A049283 в ОЭИС )

Наибольшее значение k , при котором общая часть k равна n, равно (0, если такого k не существует), представляет собой следующую последовательность:

2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0, 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0, 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0, 142, 0, 270, ... (последовательность A057635 в ОЭИС )

Число k s таких, что φ( k ) = n (начиная с n = 0), представляет собой следующую последовательность:

0, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, ... ( последовательность A014197 в OEIS )

Гипотеза Кармайкла состоит в том, что в этой последовательности нет единиц .

Четное нетоентное число может быть на единицу больше, чем простое число , но никогда на одно меньше, поскольку все числа ниже простого числа по определению взаимно просты с ним. Алгебраически говоря, для простого p: φ( p ) = p − 1. Кроме того, проническое число n ( n − 1) заведомо не является нетоентным, если n простое, поскольку φ( p ²) = п ( п - 1).

Если натуральное число n является тотентом, n · 2 ^к является тотентом для всех натуральных чисел k .

Существует бесконечно много даже нечетных чисел: действительно, существует бесконечно много различных простых чисел p (например, 78557 и 271129, см. число Серпинского ) таких, что все числа вида 2 ^аp неполные, и каждое нечетное число имеет четное кратное, которое является непериодическим.

н	числа k такие, что φ( k ) = n	н	числа k такие, что φ( k ) = n	н	числа k такие, что φ( k ) = n	н	числа k такие, что φ( k ) = n
1	1, 2	37		73		109
2	3, 4, 6	38		74		110	121, 242
3		39		75		111
4	5, 8, 10, 12	40	41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150	76		112	113, 145, 226, 232, 290, 348
5		41		77		113
6	7, 9, 14, 18	42	43, 49, 86, 98	78	79, 158	114
7		43		79		115
8	15, 16, 20, 24, 30	44	69, 92, 138	80	123, 164, 165, 176, 200, 220, 246, 264, 300, 330	116	177, 236, 354
9		45		81		117
10	11, 22	46	47, 94	82	83, 166	118
11		47		83		119
12	13, 21, 26, 28, 36, 42	48	65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210	84	129, 147, 172, 196, 258, 294	120	143, 155, 175, 183, 225, 231, 244, 248, 286, 308, 310, 350, 366, 372, 396, 450, 462
13		49		85		121
14		50		86		122
15		51		87		123
16	17, 32, 34, 40, 48, 60	52	53, 106	88	89, 115, 178, 184, 230, 276	124
17		53		89		125
18	19, 27, 38, 54	54	81, 162	90		126	127, 254
19		55		91		127
20	25, 33, 44, 50, 66	56	87, 116, 174	92	141, 188, 282	128	255, 256, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510
21		57		93		129
22	23, 46	58	59, 118	94		130	131, 262
23		59		95		131
24	35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90	60	61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198	96	97, 119, 153, 194, 195, 208, 224, 238, 260, 280, 288, 306, 312, 336, 360, 390, 420	132	161, 201, 207, 268, 322, 402, 414
25		61		97		133
26		62		98		134
27		63		99		135
28	29, 58	64	85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240	100	101, 125, 202, 250	136	137, 274
29		65		101		137
30	31, 62	66	67, 134	102	103, 206	138	139, 278
31		67		103		139
32	51, 64, 68, 80, 96, 102, 120	68		104	159, 212, 318	140	213, 284, 426
33		69		105		141
34		70	71, 142	106	107, 214	142
35		71		107		143
36	37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126	72	73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270	108	109, 133, 171, 189, 218, 266, 324, 342, 378	144	185, 219, 273, 285, 292, 296, 304, 315, 364, 370, 380, 432, 438, 444, 456, 468, 504, 540, 546, 570, 630

Ссылки [ править ]

Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Задачи по математике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 139. ИСБН 0-387-20860-7 . Збл 1058.11001 .
Л. Хэвлок, Несколько наблюдений о тотентной и кототентной валентности из PlanetMath
Шандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. п. 230. ИСБН 1-4020-2546-7 . Збл 1079.11001 .
Чжан, Минчжи (1993). «О нетентах» . Журнал теории чисел . 43 (2): 168–172. дои : 10.1006/jnth.1993.1014 . ISSN 0022-314X . Збл 0772.11001 .