Число Серпинского
В теории чисел число Серпинского — это нечетное натуральное число k такое, что является составным для всех натуральных чисел n . В 1960 году Вацлав Серпинский доказал, что существует бесконечно много нечетных целых чисел k, обладающих этим свойством.
Другими словами, когда k — число Серпинского, все члены следующего набора являются составными:
Если вместо этого форма , то k — число Ризеля .
Известные числа Серпинского
[ редактировать ]Последовательность известных в настоящее время чисел Серпинского начинается с:
- 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ... (последовательность A076336 в OEIS ).
Число 78557 является числом Серпинского Джоном Селфриджем в 1962 году, который показал, что все числа вида 78557⋅2 н + 1 имеют фактор в покрывающем множестве {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Для другого известного числа Серпинского, 271129, покрывающее множество равно {3, 5, 7, 13, 17, 241 }. Большинство известных в настоящее время чисел Серпинского обладают схожими наборами покрытий. [1]
Однако в 1995 году А.С. Изотов показал, что некоторые четвертые степени могут быть числами Серпинского без установления покрывающего множества для всех значений n . Его доказательство зависит от факторизации Аурифейля t 4 ⋅2 4 m +2 + 1 = ( т 2 ⋅2 2м 1 + + t ⋅2 м +1 + 1)⋅( т 2 ⋅2 2м 1 + − t ⋅2 м +1 + 1) . Это устанавливает, что все n ≡ 2 (mod 4) порождают композицию, и поэтому остается исключить только n ≡ 0, 1, 3 (mod 4) с помощью покрывающего множества. [2]
Проблема Серпинского
[ редактировать ]требует Задача Серпинского значения наименьшего числа Серпинского. В частной переписке с Полом Эрдешем Селфридж предположил , что 78 557 было наименьшим числом Серпинского. [3] Меньших чисел Серпинского обнаружено не было, и сейчас считается, что 78 557 — это наименьшее число. [4]
Чтобы показать, что 78 557 действительно является наименьшим числом Серпинского, нужно показать, что все нечетные числа, меньшие 78 557, не являются числами Серпинского. То есть для каждого нечетного k ниже 78 557 должно существовать целое положительное число n такое, что k 2 н +1 — простое число. [1]
- к = 21181, 22699, 24737, 55459 и 67607.
Проект распределенных добровольных вычислений PrimeGrid пытается исключить все оставшиеся значения k . [5]
Основная задача Серпинского
[ редактировать ]В 1976 году Натан Мендельсон определил, что вторым доказуемым числом Серпинского является простое число k = 271129. Задача Серпинского о простых числах требует значения наименьшего простого числа Серпинского, и продолжается «поиск простого числа Серпинского», который пытается доказать, что 271129 — первое число Серпинского, которое также является простым. [6]
Расширенная задача Серпинского
[ редактировать ]Предположим, что обе предыдущие задачи Серпинского наконец были решены, показав, что 78557 — наименьшее число Серпинского, а 271129 — наименьшее простое число Серпинского. Это оставляет еще нерешенным вопрос о втором номере Серпинского; может существовать составное число Серпинского k такое, что . Продолжающийся поиск пытается доказать, что 271129 является вторым числом Серпинского, проверяя все значения k между 78557 и 271129, простые они или нет. [7]
Одновременно Серпинский и Ризель
[ редактировать ]Рядом могут быть одновременно Серпинский и Ризель . Это так называемые числа Брайера. Пять самых маленьких известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596. 110949,... ( А076335 ). [8]
См. также
[ редактировать ]
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Номер Серпинского в The Prime Glossary
- ^ Анатолий Сергеевич Изотов (1995). «Заметка о числах Серпинского» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 33 (3): 206.
- ^ Эрдеш, Пол ; Одлызко, Эндрю Майкл (1 мая 1979 г.). «О плотности нечетных чисел вида ( p − 1)2 − п и смежные вопросы» . Журнал теории чисел . 11 (2). Elsevier : 258. doi : 10.1016/0022-314X(79)90043-X . ISSN 0022-314X .
- ^ Гай, Ричард Кеннет (2005). Нерешенные проблемы теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. B21: 119–121, F13: 383–385. ISBN 978-0-387-20860-2 . OCLC 634701581 .
- ^ «Семнадцать или статистика перебора» . ПраймГрид . Проверено 21 ноября 2019 г.
- ^ Гетц, Майкл (10 июля 2008 г.). «О основной проблеме Серпинского» . ПраймГрид . Проверено 12 сентября 2019 г.
- ^ Гетц, Майкл (6 апреля 2018 г.). «Добро пожаловать в расширенную проблему Серпинского» . ПраймГрид . Проверено 21 августа 2019 г.
- ^ Задача 29.- Числа Брайера.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 120, ISBN 0-387-20860-7
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Проблема Серпинского: определение и статус
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Серпинского о составных числах» . Математический мир .
- Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : Грайм, доктор Джеймс. «78557 и простые числа Прота» (видео) . Ютуб . Брэйди Харан . Проверено 13 ноября 2017 г.
Классы натуральных чисел |
|---|
