Комплект чехлов

В математике покрывающим набором для последовательности целых чисел называется набор такой простых чисел, , что каждый член последовательности делится хотя один бы на член набора. ^[1] Термин «покрывающее множество» используется только в сочетании с последовательностями, обладающими экспоненциальным ростом .

Числа Серпинского и Ризеля.

Использование термина «накрывающее множество» связано с числами Серпинского и Ризеля . Это нечетные натуральные числа $k,$ для которых действует формула $k 2 н + 1$ (число Серпинского) или $k 2 н - 1$ (число Ризеля) не дает простых чисел. ^[2] С 1960 года было известно, что существует бесконечное количество чисел Серпинского и Ризеля (как решений семейств сравнений , основанных на множестве {3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417 } ^[а] но, поскольку существует бесконечное число чисел вида $k 2 н + 1$ или $к 2 н - 1$ для любого $k$ , можно доказать, $что k$ является числом Серпинского или Ризеля, только показав, что каждый член последовательности $k 2 н + 1$ или $к 2 н - 1$ делится на одно из простых чисел покрывающего множества.

Эти покрывающие множества формируются из простых чисел, которые по основанию 2 имеют короткие периоды. Чтобы получить полный набор покрытий, Вацлав Серпинский показал, что последовательность может повторяться не чаще, чем каждые 24 числа. Повторение каждых 24 чисел дает покрывающий набор {3, 5, 7, 13, 17, 241 }, а повторение каждых 36 слагаемых может дать несколько покрывающих наборов: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 } ; {3, 5, 7, 13, 19, 37, 109 }; {3, 5, 7, 13, 19, 73, 109 } и {3, 5, 7, 13, 37, 73, 109 }. ^[4]

Числа Ризеля имеют те же множества покрытий, что и числа Серпинского.

Другие комплекты покрытий

Покрывающие множества (такие как числа Серпинского и числа Ризеля) также существуют для оснований, отличных от 2. ^[5]^[6]^[7]

б	наименьшее k такое, что НОД( k +1, b −1) = 1 и k × b ^н+1 есть комплект обложек	покрывающее множество для k × b ^н+1	наименьшее k такое, что НОД( k −1, b −1) = 1 и k × b ^н−1 имеет покрывающее множество	покрывающее множество для k × b ^н−1
2	78557	{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}	509203	{3, 5, 7, 13, 17, 241}
3	125050976086	{5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193, 757}	63064644938	{5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193, 757}
4	66741	{5, 7, 13, 17, 241}	39939	{5, 7, 13, 19, 73, 109}
5	159986	{3, 7, 13, 31, 601}	346802	{3, 7, 13, 31, 601}
6	174308	{7, 13, 31, 37, 97}	84687	{7, 13, 31, 37, 97}
7	1112646039348	{5, 13, 19, 43, 73, 181, 193, 1201}	408034255082	{5, 13, 19, 43, 73, 181, 193, 1201}
8	47	{3, 5, 13}	14	{3, 5, 13}
9	2344	{5, 7, 13, 73}	74	{5, 7, 13, 73}
10	9175	{7, 11, 13, 37}	10176	{7, 11, 13, 37}
11	1490	{3, 7, 19, 37}	862	{3, 7, 19, 37}
12	521	{5, 13, 29}	376	{5, 13, 29}
13	132	{5, 7, 17}	302	{5, 7, 17}
14	4	{3, 5}	4	{3, 5}
15	91218919470156	{13, 17, 113, 211, 241, 1489, 3877}	36370321851498	{13, 17, 113, 211, 241, 1489, 3877}
16	66741	{7, 13, 17, 241}	33965	{7, 13, 17, 241}
17	278	{3, 5, 29}	86	{3, 5, 29}
18	398	{5, 13, 19}	246	{5, 13, 19}
19	765174	{5, 7, 13, 127, 769}	1119866	{5, 7, 13, 127, 181}
20	8	{3, 7}	8	{3, 7}

Покрывающие множества также используются для доказательства существования составных обобщенных последовательностей Фибоначчи с первыми двумя членами, взаимно простыми ( последовательность без простых чисел ), таких как последовательность, начинающаяся с 20615674205555510 и 3794765361567513.

Понятие покрывающего множества можно легко обобщить на другие последовательности, которые оказываются гораздо более простыми.

В следующих примерах + используется, как и в регулярных выражениях, для обозначения 1 или более. Например, 91 ⁺3 означает набор {913, 9113, 91113, 911113,… }.

Примером являются следующие восемь последовательностей:

(29·10 ^н − 191) / 9 или 32 ⁺01
(37·10 ^н + 359) / 9 или 41 ⁺51
(46·10 ^н + 629) / 9 или 51 ⁺81
(59·10 ^н − 293) / 9 или 65 ⁺23
(82·10 ^н + 17) / 9 или 91 ⁺3
(85·10 ^н + 41) / 9 или 94 ⁺9
(86·10 ^н + 31) / 9 или 95 ⁺9
(89·10 ^н + 593) / 9 или 98 ⁺23

В каждом случае каждый член делится на одно из простых чисел из набора {3, 7, 11, 13 }. ^[8] Можно сказать, что эти простые числа образуют покрывающее множество, точно аналогичное числам Серпинского и Ризеля. ^[9] Накрывающее множество {3, 7, 11, 37 } найдено для нескольких подобных последовательностей: ^[9] включая:

(38·10 ^н − 137) / 9 или 42 ⁺07
(4·10 ^н − 337) / 9 или 4 ⁺07
(73·10 ^н + 359) / 9 или 81 ⁺51

9175·10 ^н + 1 или 91750 ⁺1
10176·10 ^н − 1 или 101759 ⁺
(334·10 ^н − 1)/9 или 371 ⁺
(12211·10 ^н − 1)/3 или 40703 ⁺
(8026·10 ^н − 7)/9 или 8917 ⁺

Также для оснований, отличных от 10:

521·12 ^н + 1 или 3750 ⁺1 в двенадцатеричной системе счисления
(1288·12 ^н − 1)/11 или 991 ⁺ в двенадцатеричной системе счисления
(4517·12 ^н − 7)/11 или 2X27 ⁺ в двенадцатеричной системе счисления
376·12 ^н − 1 или 273E ⁺ в двенадцатеричной системе счисления

Их покрывающее множество — {5, 13, 29 }

Еще более простой случай можно найти в последовательности:

(76·10 ^н − 67)/99 ( n должно быть нечетным ) или (76) ⁺7 (Последовательность: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 и т. д.)

Здесь можно показать, что если:

w имеет вид $3 k$ ( $n = 6 k + 1$ ): (76) ⁺7 делится на 7
w имеет вид $3 k + 1$ ( $n = 6 k + 3$ ): (76) ⁺7 делится на 13
w имеет вид $3 k + 2$ ( $n = 6 k + 5$ ): (76) ⁺7 делится на 3

Таким образом, у нас есть покрывающее множество, состоящее всего из трех простых чисел {3, 7, 13 }. ^[10] Это возможно только потому, что последовательность дает целые члены только для нечетного n .

Покрывающее множество также встречается в последовательности:

(343·10 ^н − 1) / 9 или 381 ⁺.

Здесь можно показать, что:

Если $n = 3k + 1$ , то $(343\cdot10 н - 1)/9$ делится на 3.
Если $n = 3k + 2$ , то $(343 \cdot 10 н - 1)/9$ делится на 37.
Если $n = 3 k$ , то $(343 \cdot 10 н - 1) / 9$ алгебраических множителей как $((7 \cdot 10 к - 1) / 3)\cdot((49\cdot10 2 2 тыс. + 7\cdot10 к + 1) / 3)$ .

Поскольку $(7 \cdot 10 к - 1)/3$ можно записать как 23 ⁺, для последовательности 381 ⁺, у нас есть покрывающее множество {3, 37, 23 ⁺} – покрывающее множество с бесконечным числом термов. ^[9]

Статус для (343×10 ^н − 1)/9 такое же для 3511808×63 ^н + 1:

Если $n = 3k + 1$ , то $3511808\cdot63 н +1$ делится на 37.
Если $n = 3k + 2$ , то $3511808\cdot63 н +1$ делится на 109.
Если $n = 3k,$ то $3511808\cdot63 н + 1$ алгебраически делит как $(152 \cdot 63 к + 1)\cdot(23104\cdot63 2 2 тыс. - 152\cdot63 к + 1)$

Таким образом, мы имеем покрытие {37, 109, 152×63 + 1, 152×63. ² + 1, 152×63 ³ + 1, ...} или {37, 109, 2Q0 ⁺1 по основанию 63} – покрывающее множество с бесконечным числом термов.

Более простой пример — 4×9. ^н − 1, оно равно (2×3 ^н − 1) × (2×3 ^н + 1), таким образом, его покрывающие множества равны {5, 17, 53, 161, 485, ... } и {7, 19, 55, 163, 487, ... }, в более общем смысле, если k и b оба r -й степени для нечетного r > 1, то k × b ^н + 1 не может быть простым, и если k и b оба являются r -ми степенями для r > 1, то k × b ^н − 1 не может быть простым.

Другой пример: 1369×30. ^н − 1, его покрытие равно {7, 13, 19, 37×30 ^к − 1 ( k = 1, 2, 3, ...)}

См. также

Система покрытия

Примечания

^ Это, конечно, единственные известные простые числа Ферма и два простых фактора F ₅ . ^[3]

Ссылки

^ Гай, Ричард; Нерешенные проблемы теории чисел ; стр. 119–121. ISBN 0387208607
^ Уэллс, Дэвид; Простые числа: самые загадочные цифры в математике ; стр. 212, 219. ISBN 1118045718
^ Серпинский, Вацлав (1960); «О задаче о числах»; Элементы математики , 15 (1960); стр. 73–96
^ Наборы покрытий для чисел Серпинского
^ Гипотезы и доказательства Серпинского
^ Гипотезы и доказательства Ризеля
^ Обобщенная база счисления Серпинского b
^ Простые числа плато и депрессии
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Список (вероятных) простых чисел, близких к повторным цифрам, отсортированных по сложности
^ Плавно волнистые палиндромные простые числа

Внешние ссылки

Задача 49. Числа типа Серпинского

[4] Это, конечно, единственные известные простые числа Ферма и два простых фактора F ₅ . ^[3]

[1] Гай, Ричард; Нерешенные проблемы теории чисел ; стр. 119–121. ISBN 0387208607

[2] Уэллс, Дэвид; Простые числа: самые загадочные цифры в математике ; стр. 212, 219. ISBN 1118045718

[3] Серпинский, Вацлав (1960); «О задаче о числах»; Элементы математики , 15 (1960); стр. 73–96

[5] Наборы покрытий для чисел Серпинского

[6] Гипотезы и доказательства Серпинского

[7] Гипотезы и доказательства Ризеля

[8] Обобщенная база счисления Серпинского b

[9] Простые числа плато и депрессии

[difficulty-10] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Список (вероятных) простых чисел, близких к повторным цифрам, отсортированных по сложности

[11] Плавно волнистые палиндромные простые числа

[1]

[2]

[а]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[3]