Двенадцатеричный

Не путать с Десятичной классификацией Дьюи или Duodecimo .

Двенадцатеричная система счисления , также известная как основание двенадцать или дюжина , представляет собой позиционную систему счисления, используется двенадцать в которой в качестве основы . В двенадцатеричной системе число двенадцать обозначается «10», что означает 1 двенадцать и 0 единиц ; в десятичной системе это число вместо этого записывается как «12», что означает 1 десяток и 2 единицы, а строка «10» означает десять. В двенадцатеричном формате «100» означает двенадцать в квадрате , «1000» означает двенадцать в кубе , а «0,1» означает двенадцатую часть.

Различные символы использовались для обозначения десяти и одиннадцати в двенадцатеричной системе счисления; на этой странице используются A и B, как в шестнадцатеричном формате , которые преобразуют двенадцатеричный счет от нуля до двенадцати в 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. Дюжинные общества Америки и Великобритании (организации, продвигающие использование двенадцатеричной системы счисления) используют перевернутые цифры в своих опубликованных материалах: 2 (перевернутая 2) для десяти и 3 (перевернутая 3) для одиннадцати.

Число двенадцать, высшее, весьма составное число , является наименьшим числом с четырьмя нетривиальными множителями (2, 3, 4, 6) и наименьшим числом, включающим в качестве множителей все четыре числа (от 1 до 4) в пределах субтитизирующего диапазона. и наименьшее обильное число . Все кратные обратным числам 3-гладким ( а / 2 ^б ·3 ^с где a,b,c — целые числа) имеют конечное представление в двенадцатеричной системе счисления. В частности, + 1 ⁄ 4  (0.3), + 1 ⁄ 3  (0.4), + 1 ⁄ 2  (0.6), + 2 ⁄ 3 (0,8), и + 3 ⁄ 4 (0,9) все имеют короткое завершающее представление в двенадцатеричной системе счисления. Более высокая регулярность наблюдается и в двенадцатеричной таблице умножения. В результате двенадцатеричная система счисления была описана как оптимальная система счисления.

В этом отношении двенадцатеричная система счисления считается более предпочтительной, чем десятичная, которая имеет только 2 и 5 в качестве множителей, а также другие предлагаемые системы счисления, такие как восьмеричная или шестнадцатеричная . Шестидесятеричная система (основание шестьдесят) в этом отношении работает еще лучше (обратные значения всех 5-гладких чисел оканчиваются), но за счет громоздких таблиц умножения и гораздо большего количества символов, которые нужно запомнить.

Происхождение

В этом разделе цифры указаны в десятичном формате . Например, «10» означает 9+1, а «12» — 9+3.

Жорж Ифра предположил, что происхождение двенадцатеричной системы связано с системой счета пальцев, основанной на суставных костях четырех больших пальцев. Используя большой палец в качестве указателя, можно сосчитать до 12, касаясь каждой кости пальца, начиная с самой дальней кости пятого пальца, и считая. В этой системе одна рука многократно считает до 12, а другая отображает количество итераций, пока не заполнятся пять дюжин, то есть 60. Эта система до сих пор используется во многих регионах Азии.

Языки, использующие двенадцатеричные системы счисления, встречаются редко. Языки среднего пояса Нигерии, такие как джанджи , гбири-нирагу (гуре-кахугу), пити и нимбийский диалект гвандары ; и язык чепанг в Непале Известно, что используются двенадцатеричные цифры.

В германских языках есть специальные слова для чисел 11 и 12, например, одиннадцать и двенадцать в английском языке . Они происходят от протогерманских * ainlif и * twalif (что означает, соответственно, один левый и два левых ), что предполагает десятичное, а не двенадцатеричное происхождение. Однако в древнескандинавском языке использовалась гибридная десятично-двенадцатеричная система счета, в которой слова «сто восемьдесят» означали 200, а «двести» означали 240. На Британских островах этот стиль счета сохранился до средневековья как длинная сотня .

Исторически единицы времени во многих цивилизациях были двенадцатеричными. двенадцать знаков зодиака , В году двенадцать месяцев, а у вавилонян в сутках было двенадцать часов (хотя в какой-то момент это число было изменено на 24). Традиционные китайские календари , часы и компасы основаны на двенадцати Земных ветвях или 24 (12×2) солнечных терминах . В имперском футе 12 дюймов, 12 тройских в тройском фунте 12 старых британских пенсов унций, в шиллинге , в сутках 24 (12×2) часа; многие другие предметы считаются дюжинами , брутто ( 144 , квадрат из 12) или большими брутто ( 1728 , куб из 12). Римляне использовали систему дробей, основанную на 12, включая унцию , которая стала одновременно английскими словами «унция» и «дюйм» . До десятичной системы Ирландия и Соединенное Королевство использовали смешанную двенадцатерично- десятеричную денежную систему (12 пенсов = 1 шиллингу, 20 шиллингов или 240 пенсов за фунт стерлингов или ирландский фунт ), а Карл Великий установил денежную систему, которая также имела смешанную основу. двенадцать и двадцать, остатки которых сохранились во многих местах.

Двенадцатеричные единицы

Родственник ценить	Длина		Масса
	Французский	Английский	Английский (Трой)	Римский
12 0	ступня	ступня	фунт	Весы
12 −1	большой палец	дюйм	унция	унция
12 −2	линия	линия	2 сомнения	2 сомнения
12 −3	точка	точка	семя	кремний

Обозначения и произношение

В позиционной системе счисления с основанием n (двенадцать для двенадцатеричной системы счисления) каждому из первых n натуральных чисел присваивается отдельный цифровой символ, а затем n обозначается «10», что означает 1 раз n плюс 0 единиц. В двенадцатеричной системе счисления стандартные цифровые символы от 0 до 9 обычно сохраняются для чисел от нуля до девяти, но существует множество предложений по написанию цифр, обозначающих «десять» и «одиннадцать». Более радикальные предложения не используют арабские цифры по принципу «отдельной идентичности».

Произношение двенадцатеричных чисел также не имеет стандарта, но были предложены различные системы.

Трансдесятичные символы

2  3
двенадцатеричная ⟨десять, одиннадцать⟩
В Юникоде	U + 218A ↊ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ЦИФРА ВТОРАЯ U+218B ↋ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ЦИФРА ТРИ
блоков Формы номеров
Примечание
Арабские цифры с поворотом на 180°, автор Исаак Питман. В LaTeX с использованием пакета TIPA: ⟨ \textturntwo, \textturnthree⟩

Некоторые авторы предложили использовать буквы алфавита в качестве трансдесятичных символов. Латинские буквы, такие как ⟨ A, B ⟩ (как в шестнадцатеричном формате ) или ⟨ T, E ⟩ (инициалы Ten и Eleven ) удобны, потому что они широко доступны и, например, их можно печатать на пишущих машинках. Однако в сочетании с обычной прозой их можно спутать с письмами. В качестве альтернативы можно использовать греческие буквы, такие как ⟨ τ, ε ⟩ . Вместо этого можно использовать Фрэнк Эмерсон Эндрюс, один из первых американских сторонников двенадцатеричной системы счисления, предложил и использовал ее в своей книге 1935 года « Новые числа ». X , Ɛ ⟩ (курсив X от римской цифры , обозначающей десять, и закругленная курсивная заглавная буква E, похожая на открытую E ), а также курсивные цифры. 0 – 9 .

Эдна Крамер в своей книге « Основное направление математики» 1951 года использовала ⟨ *, # ⟩ ( секстиль или шестиконечная звездочка, решётка или октоторп). Символы были выбраны потому, что они были доступны на некоторых пишущих машинках; они есть и на кнопочных телефонах . Это обозначение использовалось в публикациях Дюжинного общества Америки (DSA) с 1974 по 2008 год.

С 2008 по 2015 год DSA использовало ⟨ , ⟩ — символы, придуманные Уильямом Аддисоном Двиггинсом .

Дюжинное общество Великобритании (DSGB) предложило символы ⟨ 2 , 3 ⟩ . Это обозначение, полученное из арабских цифр поворотом на 180°, было введено Исааком Питманом в 1857 году. В марте 2013 года было подано предложение включить в стандарт Unicode цифровые формы для десяти и одиннадцати, распространяемые Дюжинными обществами . Из них формы British/Pitman были приняты для кодирования как символы в кодовых точках. U + 218A ↊ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ЦИФРА ДВА и U+218B ↋ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ЦИФРА ТРИ . Они были включены в Unicode 8.0 (2015 г.).

После того, как цифры Питмана были добавлены в Юникод, DSA проголосовало и начало публиковать PDF-контент, используя вместо этого цифры Питмана, но продолжает использовать буквы X и E на своей веб-странице.

Символы		Фон	Примечание
А	Б	Как в шестнадцатеричном формате	Разрешен вход на пишущих машинках.
Т	И	Инициалы десяти и одиннадцати
Икс	И	X от римской цифры ; Е из Одиннадцати .
Икс	С	Происхождение Z неизвестно.	Приписывается Д'Аламберу и Бюффону DSA.
д	е	Греческая дельта от δέκα «десять»; эпсилон от ένδεκα «одиннадцать»
т	е	Греческий тау , эпсилон
В	∂	W от удвоения римской цифры V; ∂ на основе маятника	Сильвио Феррари в «Децидоццинальном исчислении» (1854 г.).
Икс	Э	курсив X произносится как «декабрь»; округлый курсив Ɛ , произносится как «эльф»	Фрэнк Эндрюс в Новых числах» выделены курсивом 0–9 . ( « 1935), другие двенадцатеричные цифры
*	#	секстиль или шестиконечная звездочка, гашиш или октоторп	На кнопочных телефонах ; использовался Эдной Крамер в «Основном направлении математики» (1951); использовался DSA 1974–2008 гг.
2	3	Цифры 2 и 3 повернуты на 180°.	Исаак Питман (1857 г.); используется DSGB; используется DSA с 2015 года; включен в Юникод 8.0 (2015 г.)
		Произносится как «дек», «эль».	Уильям Двиггинс (1945/1932?). Использовался DSA в 1945–1974 и 2008–2015 годах.

Базовые обозначения

Существуют также различные предложения о том, как отличить двенадцатеричное число от десятичного. Наиболее распространенный метод, используемый в основных математических источниках для сравнения различных систем счисления, использует индекс «10» или «12», например «54 ₁₂ = 64 ₁₀ ». Чтобы избежать двусмысленности значения индекса 10, его можно записать так: «54 _{двенадцать} = 64 _десять ». В 2015 году Американское общество дюжин приняло более компактную однобуквенную аббревиатуру «z» для «до зенала » и «d» для « десятичного числа», «54 _z = 64 _d ».

Другие предлагаемые методы включают в себя выделение курсивом двенадцатеричных чисел « 54 = 64», добавление «точки Хамфри» (точка с запятой вместо десятичной точки ) к двенадцатеричным числам «54;6 = 64,5», префикс двенадцатеричных чисел звездочкой «*54 = 64». ", или какая-то их комбинация. Дюжинное общество Великобритании использует префикс звездочки для двенадцатеричных целых чисел и точку Хамфри для других двенадцатеричных чисел.

Произношение

Американское общество дюжин предложило произносить числа десять и одиннадцать как «дек» и «эль». Для названий степеней двенадцати существует две известные системы.

Двенадцатеричные числа

приставка е –. В этой системе к дробям добавляется

Двенадцатеричный число	Число имя	Десятичная дробь число	Двенадцатеричный доля	Доля имя
1;	один	1
10;	делать	12	0;1	или
100;	гро	144	0;01	в пустыне
1,000;	для	1,728	0;001	эмо
10,000;	Чт-Пн	20,736	0;000,1	Эдо-мо
100,000;	гром-мо	248,832	0;000,01	эгро-мо
1,000,000;	как я	2,985,984	0;000,001	Эби-мо
10,000,000;	делай как я	35,831,808	0;000,000,1	Эдо-би-мо
100,000,000;	выросший как я	429,981,696	0;000,000,01	эгро-би-мо

По мере того, как числа становятся больше (или дроби уменьшаются), последние две морфемы последовательно заменяются на три-мо, квад-мо, пента-мо и так далее.

Несколько цифр в этом ряду произносятся по-разному: 12 — «сделай два»; 30 — «три делай»; 100 — «гро»; BA9 — «el gro dek do девяти»; B86 — «el Gro восемь, делай шесть»; 8BB,15A — «восемь гро эль до эль, один гро пять до дек»; ABA — «dek gro el do dek»; BBB — «эль гро эль до эль»; 0,06 — «шесть эгро»; и так далее.

(

В этой системе используется окончание «-qua» для положительных степеней 12 и окончание «-cia» для отрицательных степеней 12, а также расширение имен систематических элементов IUPAC (со слогами dec и lev для двух дополнительных цифр, необходимых для двенадцатеричных чисел). ), чтобы выразить, какая сила имеется в виду.

Двенадцатеричный число	Число имя	Десятичная дробь число	Двенадцатеричный доля	Доля имя
1;	один	1
10;	один раз	12	0;1	унция
100;	биква	144	0;01	избиения
1,000;	триква	1,728	0;001	Триша
10,000;	четырехквадратный	20,736	0;000,1	квадция
100,000;	потому что	248,832	0;000,01	Пенсия
1,000,000;	шестиугольник	2,985,984	0;000,001	гекссия

После hex- дальнейшие префиксы продолжаются sept-, October-, enn-, dec-, lev-, unnil-, unun-.

Пропаганда и

Уильям Джеймс Сидис использовал 12 в качестве основы для своего искусственного языка Вендергуд в 1906 году, отметив, что это наименьшее число с четырьмя факторами и его распространенность в торговле.

Аргументы в пользу двенадцатеричной системы были подробно изложены в книге Фрэнка Эмерсона Эндрюса « Новые числа: как принятие двенадцатеричной системы упростит математику» . Эмерсон отметил, что из-за преобладания двенадцатимножителей во многих традиционных единицах измерения и веса многие вычислительные преимущества, заявленные для метрической системы, могут быть реализованы либо путем принятия десятичных мер и весов, либо путем принятия двенадцатеричная система счисления.

Двенадцатеричный циферблат, как на логотипе Дюжинного общества Америки, здесь используется для обозначения музыкальных клавиш.

И Дюжинное общество Америки, и Дюжинное общество Великобритании способствуют широкому внедрению двенадцатеричной системы. Они используют слово «дюжина» вместо «двенадцатеричная», чтобы избежать более явно десятичной терминологии. Однако этимология слова «дюжина» сама по себе также является выражением, основанным на десятичной терминологии, поскольку «дюжина» является прямым производным от французского слова douzaine , которое является производным от французского слова douze , обозначающего двенадцать , происходящего от латинского duodecim .

Математик и мысленный калькулятор Александр Крейг Эйткен был ярым сторонником двенадцатеричной системы счисления:

Двенадцатеричные таблицы освоить легко, легче десятичных; а в элементарном обучении они были бы намного интереснее, поскольку маленькие дети находили бы более увлекательные занятия с двенадцатью стержнями или кубиками, чем с десятью. Любой, кто имеет в своем распоряжении эти таблицы, выполнит эти вычисления в двенадцатеричной шкале более чем в полтора раза быстрее, чем в десятичной. Это мой опыт; Я уверен, что тем более это будет опыт других.

- AC Эйткен, «Двенадцать и десятки» в «Слушателе» (25 января 1962 г.)

Но последнее количественное преимущество, по моему собственному опыту, заключается в следующем: в разнообразных и обширных вычислениях обычного и не слишком сложного рода, проводимых в течение многих лет, я прихожу к выводу, что эффективность десятичной системы можно оценить в около 65 или меньше, если мы присвоим 100 двенадцатеричной системе счисления.

- AC Эйткен, Доводы против десятичной системы (1962)

В СМИ

В американском телесериале «Маленькие двенадцать пальцев» Schoolhouse Rock! изобразил инопланетное существо с двенадцатью пальцами на руках и ногах, используя двенадцатеричную арифметику, используя «dek» и «el» в качестве названий для десяти и одиннадцати, а также сценарий-X и сценарий-E Эндрюса для цифровых символов.

Двенадцатеричные системы измерений

Системы измерения , предложенные дюжиналистами, включают:

• Система TGM Тома Пендлбери
• Универсальная система единиц Такаши Суги
• Система Primel Джона Волана

Сравнение с другими системами счисления

В этом разделе цифры указаны в десятичном формате. Например, «10» означает 9+1, а «12» — 6×2.

Американское общество дюжин утверждает, что если база слишком мала, для чисел необходимы значительно более длинные расширения; если основание слишком велико, для выполнения арифметических действий необходимо запомнить большую таблицу умножения. Таким образом, предполагается, что «основание чисел должно находиться в диапазоне от примерно 7 или 8 до примерно 16, возможно, включая 18 и 20».

Число 12 имеет шесть делителей: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 и 12 , из которых 2 и 3 — простые . Это наименьшее число, имеющее шесть множителей, самое большое число, делителем которого является не менее половины чисел под ним, и оно лишь немногим больше 10. (Числа 18 и 20 также имеют шесть множителей, но они намного больше.) Десять, напротив, имеет только четыре множителя: 1 , 2 , 5 и 10 , из которых 2 и 5 являются простыми. Шестерка разделяет простые делители 2 и 3 с двенадцатью; однако, как и десять, шесть имеет только четыре множителя (1, 2, 3 и 6) вместо шести. Соответствующее основание, senary , находится ниже установленного порога DSA.

Восьмерка и шестнадцать имеют только 2 в качестве главного делителя. Следовательно, в восьмеричной и шестнадцатеричной системе только координат конечными дробями являются те, знаменатель которых равен степени двойки .

Тридцать — это наименьшее число, имеющее три разных простых делителя (2, 3 и 5, первые три простых числа), а всего оно имеет восемь делителей (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30). . Шестидесятеричная система счисления фактически использовалась древними шумерами и вавилонянами , в частности, . его основание, шестьдесят , добавляет четыре удобных множителя 4, 12, 20 и 60 к 30, но не добавляет новых простых множителей. Наименьшее число, имеющее четыре разных простых делителя, — 210 ; образец следует первобытным . Однако эти цифры достаточно велики для использования в качестве базовых и значительно превышают установленный DSA порог.

Во всех системах счисления есть сходство с представлением кратных чисел, которые на единицу меньше или на единицу больше основания.

В следующей таблице умножения цифры записаны в двенадцатеричном формате. Например, «10» означает двенадцать, а «12» — четырнадцать.

Двенадцатеричная таблица умножения

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	Б	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	Б	10
2	2	4	6	8	А	10	12	14	16	18	1А	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	А	13	18	21	26	2Б	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2Б	36	41	48	53	5А	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
А	А	18	26	34	42	50	5А	68	76	84	92	А0
Б	Б	1А	29	38	47	56	65	74	83	92	А1	Б0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	А0	Б0	100

Таблицы перевода в десятичную систему счисления и обратно

Для преобразования чисел между основаниями можно использовать общий алгоритм преобразования (см. соответствующий раздел позиционных обозначений ). Альтернативно можно использовать таблицы преобразования цифр. Представленные ниже числа можно использовать для преобразования любого двенадцатеричного числа от 0;1 до BB,BBB;B в десятичное или любого десятичного числа от 0,1 до 99 999,9 в двенадцатеричное. Чтобы их использовать, данное число необходимо предварительно разложить на сумму чисел, каждое из которых имеет только одну значащую цифру. Например:

12,345.6 = 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6

Это разложение работает одинаково, независимо от того, в какой базе выражено число. Просто изолируйте каждую ненулевую цифру, дополняя их необходимым количеством нулей, чтобы сохранить соответствующие разрядные значения. Если цифры данного числа содержат нули (например, 7080,9), они не учитываются при разложении цифр (7080,9 = 7000 + 80 + 0,9). Затем таблицы преобразования цифр можно использовать для получения эквивалентного значения в целевой базе для каждой цифры. Если заданное число находится в двенадцатеричной системе счисления, а целевая база десятичная, мы получаем:

(двенадцатеричный) 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0;6
= (десятичное число) 20 736 + 3 456 + 432 + 48 + 5 + 0,5

Поскольку слагаемые уже преобразованы в десятичные числа, для сложения и повторного составления числа используется обычная десятичная арифметика, в результате чего получается результат преобразования:

Двенадцатеричный ---> Десятичный
  
   10 000 = 20 736
    2000 = 3456 
      300 = 432
       40 = 48
        5 = 5
  + 0;6 = + 0,5
 -----------------------------
   12 345;6 = 24 677,5
 

То есть (двенадцатеричное) 12 345;6 равно (десятичное) 24 677,5.

Если заданное число десятичное, а целевая база двенадцатеричная, метод тот же. Используя таблицы перевода цифр:

(десятичное) 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0,6
= (двенадцатеричный) 5,954 + 1,1A8 + 210 + 34 + 5 + 0; 7249

Чтобы суммировать эти частичные произведения и заново составить число, сложение должно выполняться с использованием двенадцатеричной, а не десятичной арифметики:

Десятичный --> Двенадцатеричный 
  
    10 000 = 5 954 
     2000 = 1,1А8 
       300 = 210 
        40 = 34 
         5 = 5 
   + 0,6 = + 0;   7249 
  ------------------------------- 
    12345,6 = 7189;   7249 

То есть (десятичное) 12 345,6 равно (двенадцатеричному) 7 189; 7249

Преобразование двенадцатеричных цифр в десятичные

Два	декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.
10,000	20,736	1,000	1,728	100	144	10	12	1	1	0;1	0.08 3
20,000	41,472	2,000	3,456	200	288	20	24	2	2	0;2	0.1 6
30,000	62,208	3,000	5,184	300	432	30	36	3	3	0;3	0.25
40,000	82,944	4,000	6,912	400	576	40	48	4	4	0;4	0. 3
50,000	103,680	5,000	8,640	500	720	50	60	5	5	0;5	0.41 6
60,000	124,416	6,000	10,368	600	864	60	72	6	6	0;6	0.5
70,000	145,152	7,000	12,096	700	1,008	70	84	7	7	0;7	0.58 3
80,000	165,888	8,000	13,824	800	1,152	80	96	8	8	0;8	0. 6
90,000	186,624	9,000	15,552	900	1,296	90	108	9	9	0;9	0.75
А0,000	207,360	000	17,280	А00	1,440	А0	120	А	10	0;А	0.8 3
0,000 бат	228,096	000 Б000	19,008	В00	1,584	Б0	132	Б	11	0;Б	0.91 6

Преобразование десятичных цифр в двенадцатеричные

декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.	Два	декабрь.	Двенадцатеричный
10,000	5,954	1,000	6Б4	100	84	10	А	1	1	0.1	0;1 2497
20,000	Б,6А8	2,000	1,1А8	200	148	20	18	2	2	0.2	0; 2497
30,000	15,440	3,000	1,8А0	300	210	30	26	3	3	0.3	0;3 7249
40,000	1Б,194	4,000	2,394	400	294	40	34	4	4	0.4	0; 4972
50,000	24, Б28	5,000	2, А88	500	358	50	42	5	5	0.5	0;6
60,000	2А,880	6,000	3,580	600	420	60	50	6	6	0.6	0; 7249
70,000	34,614	7,000	4,074	700	4А4	70	5А	7	7	0.7	0;8 4972
80,000	3А,368	8,000	4,768	800	568	80	68	8	8	0.8	0; 9724
90,000	44,100	9,000	5,260	900	630	90	76	9	9	0.9	0;А 9724

Дроби и иррациональные числа

Дроби

Двенадцатеричные дроби для рациональных чисел с 3-гладкими знаменателями оканчиваются:

• 1 / 2 = 0;6
• 1 / 3 = 0;4
• 1 / 4 = 0;3
• 1 / 6 = 0;2
• 1 / 8 = 0;16
• 1 / 9 = 0;14
• 1/10 , = 0;1 (это одна двенадцатая 1 / А – одна десятая)
• 1/14 , = 0;09 (это одна шестнадцатая 1/12 это одна — четырнадцатая)

в то время как другие рациональные числа имеют повторяющиеся двенадцатеричные дроби:

• 1 / 5 = 0; 2497
• 1/7 = ; 0 186А35
• 1 / А = 0;1 2497 (одна десятая часть)
• 1 / Б = 0; 1 (одна одиннадцатая)
• 1/11 ; = 0 0B (одна тринадцатая)
• 1/12 = А35186 0;0 ) (одна четырнадцатая
• 1/13 = ) 0;0 9724 (одна пятнадцатая

Примеры в двенадцатеричном формате	Десятичный эквивалент
1 × 5 / 8 = 0.76	1 × 5 / 8 = 0.625
100 × 5 / 8 = 76	144 × 5 / 8 = 90
576 / 9 = 76	810 / 9 = 90
400 / 9 = 54	576 / 9 = 64
1А.6 + 7.6 = 26	22.5 + 7.5 = 30

Как поясняется в разделе о повторяющихся десятичных дробях , всякий раз, когда несократимая дробь записывается в виде счисления в любом основании, дробь может быть выражена точно (оканчивается) тогда и только тогда, когда все простые множители ее знаменателя также являются простыми множителями основания.

Потому что $2\times 5=10$ В десятичной системе дроби, знаменатели которых состоят исключительно из чисел, кратных 2 и 5, оканчиваются: 1 / 8  =  1 / (2×2×2) , 1 / 20  =  1 / (2×2×5) и 1 / 500  =  1 / (2×2×5×5×5) можно выразить точно как 0,125, 0,05 и 0,002 соответственно. 1/3 ​ ​ и 1/7 повторяются ( 0,333 ... и 0,142857142857 Однако ...).

Потому что $2\times 2\times 3=12$ в двенадцатиричной системе счисления, 1/8 ​ точно ; 1/20 ​ и ​ 1/500 , повторяются потому что они включают 5 в качестве фактора; 1/3 является точным , и 1/7 . повторяется , как и в десятичной системе счисления

Количество знаменателей, которые дают конечные дроби с заданным количеством цифр n по основанию b , представляет собой количество множителей (делителей) $b^{n}$, n -я степень основания b (хотя сюда входит делитель 1, который не образует дроби при использовании в качестве знаменателя). Количество факторов $b^{n}$ задается с использованием его простой факторизации.

Для десятичной дроби $10^{n}=2^{n}\times 5^{n}$. Число делителей находится путем прибавления по единице к каждому показателю каждого простого числа и умножения полученных величин вместе, так что количество делителей $10^{n}$ является $(n+1)(n+1)=(n+1)^{2}$.

Например, число 8 кратно 10. ³ (1000), поэтому ${\textstyle {\frac {1}{8}}}$ и другие дроби со знаменателем 8 не могут требовать для завершения более трех дробных десятичных цифр. ${\textstyle {\frac {5}{8}}=0.625_{10}.}$

Для двенадцатеричного числа, $10^{n}=2^{2n}\times 3^{n}$. Это имеет $(2n+1)(n+1)$делители. Знаменатель выборки, равный 8, является коэффициентом валового ${\textstyle 12^{2}=144}$ в десятичной системе счисления), поэтому для завершения восьмых не может потребоваться более двух двенадцатеричных дробных знаков. ${\textstyle {\frac {5}{8}}=0.76_{12}.}$

Поскольку и десять, и двенадцать имеют два уникальных простых делителя, число делителей числа $b^{n}$ для b = 10 или 12 растет квадратично с показателем n (другими словами, порядка $n^{2}$).

Повторяющиеся цифры

Американское общество дюжин утверждает, что в реальных задачах деления чаще встречаются коэффициенты 3 , чем коэффициенты 5. Таким образом, в практических приложениях неудобство повторения десятичных знаков встречается реже при использовании двенадцатеричной системы счисления. Сторонники двенадцатеричных систем утверждают, что это особенно справедливо в отношении финансовых расчетов, в которых в расчеты часто входят двенадцать месяцев года.

Однако, когда повторяющиеся дроби действительно встречаются в двенадцатеричной системе счисления, они с меньшей вероятностью будут иметь очень короткий период, чем в десятичной системе счисления, поскольку 12 (двенадцать) находится между двумя простыми числами , 11 (одиннадцать) и 13 (тринадцать), тогда как десять соседствует с составным номером 9 . Тем не менее, наличие более короткого или большего периода не устраняет главного неудобства, заключающегося в том, что для таких дробей в данной базе не получается конечного представления (поэтому для их обработки в вычислениях необходимо округление , которое вносит неточность), и в целом получается с большей вероятностью придется иметь дело с бесконечными повторяющимися цифрами, когда дроби выражаются в десятичной системе счисления, чем в двенадцатеричной, потому что одно из каждых трех последовательных чисел содержит простой множитель 3 при своей факторизации, тогда как только одно из каждых пяти содержит простой множитель 5 . Все остальные простые множители, кроме 2, не являются общими ни для десяти, ни для двенадцати, поэтому они не являются общими. влияют на относительную вероятность встречи повторяющихся цифр (любая несократимая дробь, которая содержит любой из этих других множителей в знаменателе, будет повторяться в любом основании).

Кроме того, простой множитель 2 появляется дважды при факторизации двенадцати, тогда как при факторизации десяти появляется только один раз; это означает, что большинство дробей, знаменателями которых являются степени двойки, будут иметь более короткое и удобное конечное представление в двенадцатеричной системе счисления, чем в десятичной:

• 1/(2 ² ) = 0.25 ₁₀ = 0.3 ₁₂
• 1/(2 ³ ) = 0.125 ₁₀ = 0.16 ₁₂
• 1/(2 ⁴ ) = 0.0625 ₁₀ = 0.09 ₁₂
• 1/(2 ⁵ ) = 0.03125 ₁₀ = 0.046 ₁₂

Десятичная база Простые множители основания: 2 , 5 Простые делители на единицу ниже основания: 3 Простые множители на единицу выше основания: 11. Все остальные простые числа: 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31.			Двенадцатеричная база Простые множители основания: 2 , 3 Простые делители на единицу ниже основания: B Простые делители на единицу выше основания: 11 (=13 10 ) Все остальные простые числа: 5 , 7 , 15 (=17 10 ) , 17 (=19 10 ) , 1B (=23 10 ) , 25 (=29 10 ) , 27 (=31 10 ).
Доля	главные факторы знаменателя	Позиционное представление	Позиционное представление	главные факторы знаменателя	Доля
1/2	2	0.5	0;6	2	1/2
1/3	3	0. 3	0;4	3	1/3
1/4	2	0.25	0;3	2	1/4
1/5	5	0.2	0; 2497	5	1/5
1/6	2 , 3	0.1 6	0;2	2 , 3	1/6
1/7	7	0. 142857	0; 186А35	7	1/7
1/8	2	0.125	0;16	2	1/8
1/9	3	0. 1	0;14	3	1/9
1/10	2 , 5	0.1	0;1 2497	2 , 5	1/А
1/11	11	0. 09	0; 1	Б	1/Б
1/12	2 , 3	0.08 3	0;1	2 , 3	1/10
1/13	13	0. 076923	0; 0Б	11	1/11
1/14	2 , 7	0.0 714285	0;0 А35186	2 , 7	1/12
1/15	3 , 5	0.0 6	0;0 9724	3 , 5	1/13
1/16	2	0.0625	0;09	2	1/14
1/17	17	0. 0588235294117647	0; 08579214B36429A7	15	1/15
1/18	2 , 3	0.0 5	0;08	2 , 3	1/16
1/19	19	0. 052631578947368421	0; 076Б45	17	1/17
1/20	2 , 5	0.05	0;0 7249	2 , 5	1/18
1/21	3 , 7	0. 047619	0;0 6A3518	3 , 7	1/19
1/22	2 , 11	0.0 45	0;0 6	2 , Б	1/1А
1/23	23	0. 0434782608695652173913	0; 06316948421	1Б	1/1Б
1/24	2 , 3	0.041 6	0;06	2 , 3	1/20
1/25	5	0.04	0; 05915343A0B62A68781B	5	1/21
1/26	2 , 13	0.0 384615	0;0 56	2 , 11	1/22
1/27	3	0. 037	0;054	3	1/23
1/28	2 , 7	0.03 571428	0;0 5186A3	2 , 7	1/24
1/29	29	0. 0344827586206896551724137931	0; 04Б7	25	1/25
1/30	2 , 3 , 5	0.0 3	0;0 4972	2 , 3 , 5	1/26
1/31	31	0. 032258064516129	0; 0478AA093598166B74311B28623A55	27	1/27
1/32	2	0.03125	0;046	2	1/28
1/33	3 , 11	0. 03	0;0 4	3 , Б	1/29
1/34	2 , 17	0.0 2941176470588235	0;0 429A708579214B36	2 , 15	1/2А
1/35	5 , 7	0.0 285714	0; 0414559B3931	5 , 7	1/2Б
1/36	2 , 3	0.02 7	0;04	2 , 3	1/30

Длина двенадцатеричного периода 1/ n равна (в десятичном формате)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (последовательность A246004 в ОЭИС )

Длина двенадцатеричного периода 1/( n- го простого числа) равна (в десятичном формате)

0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (последовательность A246489 в OEIS )

Наименьшее простое число с двенадцатеричным периодом n (в десятичном формате)

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 8540326 1, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (последовательность A252170 в OEIS )

Иррациональные числа

Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и двенадцатеричную) не завершаются и не повторяются . В следующей таблице приведены первые цифры некоторых важных алгебраических и трансцендентных чисел как в десятичной, так и в двенадцатеричной системе счисления.

Алгебраическое иррациональное число	В десятичном формате	В двенадцатеричной системе счисления
√ 2 , квадратный корень из 2	1.414213562373...	1;4B79170A07B8...
φ (фи), золотое сечение = ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1.618033988749...	1;74BB6772802А...
Трансцендентное число	В десятичном формате	В двенадцатеричной системе счисления
π окружности (пи), отношение длины к ее диаметру.	3.141592653589...	3;184809493B91...
e , основание натурального логарифма	2.718281828459...	2;875236069821...

См. также

• Пятеричный (основание 20)
• Шестидесятеричная система (основание 60)

Внешние ссылки

• Дюжинное общество Америки
  • «Сводка символики DSA»
  • «Ресурсы» , страница веб-сайта DSA с внешними ссылками на сторонние инструменты.
• Дюжинное общество Великобритании
• Лауритцен, Билл (1994). «Числа природы» . Земля360 .
• Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2016]. «Смена базы» . четырехблок . Проверено 17 июля 2018 г.