Алфавитная система счисления

Алфавитная система счисления — это разновидность системы счисления . Разработанная в классической античности , она процветала в раннем средневековье . ^[1] В алфавитных системах счисления числа записываются с использованием символов алфавита или , слогового письма другой системы письма . В отличие от акрофонических систем счисления , где цифра представлена первой буквой лексического названия цифры, алфавитные системы счисления могут произвольно присваивать буквы числовым значениям. Некоторые системы, включая арабскую , грузинскую и еврейскую системы, используют уже установленный алфавитный порядок . ^[1] Алфавитные системы счисления возникли из греческих цифр около 600 г. до н. э. и практически вымерли к 16 веку. ^[1] После развития счисления, позиционных систем таких как индийско-арабские цифры , использование алфавитных систем счисления сократилось до преимущественно упорядоченных списков, нумерации страниц , религиозных функций и гадальной магии. ^[1]

История

Первой засвидетельствованной алфавитной системой счисления является греческая алфавитная система (названная ионической или милетской системой из-за ее происхождения в западной части Малой Азии ). Структура системы повторяет структуру египетских демотических цифр ; Греческие буквы заменили египетские знаки. Первые примеры греческой системы относятся к VI веку до нашей эры и написаны буквами архаического греческого письма, используемого в Ионии . ^[2]

Другие культуры, контактировавшие с Грецией, приняли это числовое обозначение, заменив греческие буквы своим собственным письмом; в их число входили евреи конца II века до нашей эры. Готический алфавит принял собственные буквенные цифры вместе с греческим письмом. ^[3] В Северной Африке коптская система возникла в IV веке нашей эры. ^[4] а система Геэз в Эфиопии была разработана около 350 г. н.э. ^[5] Оба были разработаны на основе греческой модели.

Арабы разработали свою собственную алфавитную систему счисления, цифры абджад , в 7 веке нашей эры и использовали ее в математических и астрологических целях даже в 13 веке, намного позже введения индуистско -арабской системы счисления . ^[6] После принятия христианства армяне и грузины разработали свою алфавитную систему счисления в IV или начале V века, а в Византийской империи кириллические цифры и глаголица были введены в IX веке. Алфавитные системы счисления были известны и использовались на севере до Англии, Германии и России, на юге до Эфиопии, на востоке до Персии и в Северной Африке от Марокко до Центральной Азии. ^{[ нужна ссылка ]}

К 16 веку нашей эры большинство алфавитных систем счисления вымерли или мало использовались, их заменили арабские позиционные и западные цифры в качестве обычных цифр торговли и управления по всей Европе и на Ближнем Востоке. ^[1]

Новейшие используемые алфавитно-цифровые системы, все они позиционные, являются частью тактильных систем письма для слабовидящих . Несмотря на то, что в системе Брайля 1829 года была простая шифрованно-позиционная система, скопированная с западных цифр, с отдельным символом для каждой цифры, ранний опыт работы со студентами заставил его создателя Луи Брайля упростить систему, доведя количество доступных образцов (символов) со 125 до 63, поэтому ему пришлось перепрофилировать дополнительный символ, чтобы обозначить буквы a–j как цифры. Помимо этой традиционной системы, еще одна в XX веке во Франции была разработана еще одна , а в США — .

Системы

Алфавитная система счисления использует буквы алфавита в определенном порядке алфавита для обозначения цифр.

В греческом языке буквы присваиваются соответствующим числам в следующих наборах: от 1 до 9, от 10 до 90, от 100 до 900 и так далее. Десятичные разряды представлены одним символом. По мере того как алфавит заканчивается, более высокие числа представляются различными мультипликативными методами. Однако, поскольку в системах письма разное количество букв, другие системы письма не обязательно группируют числа таким образом. Греческий алфавит состоит из 24 букв; Чтобы получить число 900, нужно было добавить три дополнительные буквы. В отличие от греческого, 22 буквы еврейского алфавита допускали числовое выражение до 400. 28 согласных знаков арабского абджада могли обозначать числа до 1000. Древние арамейские алфавиты было достаточно букв, чтобы достичь 9000. В математических и астрономических рукописях использовались другие методы для представления больших чисел. Римские цифры и аттические цифры , которые также были алфавитными системами счисления, со временем стали более краткими, но требовали, чтобы их пользователи были знакомы со многими другими знаками. Акрофонические цифры не относятся к этой группе систем, поскольку их буквы и цифры не следуют порядку алфавита.

Эти различные системы не имеют ни одной объединяющей черты или особенности. Наиболее распространенной структурой является зашифрованно-аддитивная структура с десятичной основой, с использованием или без использования мультипликативно-аддитивного структурирования для более высоких чисел. Исключения включают армянскую систему обозначений Ширакаци , которая является мультипликативно-аддитивной и иногда использует основание 1000, а также греческую и арабскую системы астрономических обозначений.

Цифровые знаки

В таблицах ниже показаны конфигурации буквенно-цифровых цифр различных систем письма.

Греческие алфавитные цифры - «ионийские» или «милетские цифры» - (мизерные буквы)

единицы	а	б	с	д	е	ϛ	г	или	я
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	я	Мистер	л	м	н	х	тот	п	ϟ
	10	20	30	40	50	60	70	80	90
сотни	р	п	т	ты	ж	час	п	ой	ϡ
	100	200	300	400	500	600	700	800	900
тысячи	͵α	͵β	͵γ	͵δ	͵ε	͵ϛ	͵ζ	͵η	͵θ
	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000

Некоторые числа представлены греческими буквенными цифрами :

͵γϡμβ = (3000 + 900 + 40 + 2) = 3942

ххз = (600 + 60 + 7) = 667

Цифры еврейского алфавита :

единицы	А	на	третий	д	тот	и	Г	ЧАС	девятый
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	Дж	о	к	от	Н	С	П	П	С
	10	20	30	40	50	60	70	80	90
сотни	К	Р	что	А
	100	200	300	400
тысячи	'А	'Б	'с	'д	'е	'и	Г	ЧАС	'девятый
	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000

В еврейской системе письма всего двадцать два согласных знака, поэтому числа могут быть выражены отдельными отдельными знаками только до 400. Высшие сотни – 500, 600, 700, 800 и 900 – могут быть записаны только с помощью различных кумулятивно-аддитивных сочетаний. из нижних сотен (направление письма справа налево): ^[7]

ТК ) = (400+100 500

Т р = (400+200) 600

Т К = (400+300) 700

Т Т = (400+400) 800

ТРК 100 + = = 400+200+200 900

Знаки армянских цифр (мизерные буквы):

единицы	а	б	с:	д:	е	ж	является	тот	тот
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	час:	в:	л:	х:	да	к	час:	д:	хх:
	10	20	30	40	50	60	70	80	90
сотни	с:	м:	й	н:	ш:	ой	нет	Мистер	Дж:
	100	200	300	400	500	600	700	800	900
тысячи	Р:	с:	ш:	т:	р:	от	и	п	с:
	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000
десять тысяч	ой	е:
	10000	20000
346 = ухз

В отличие от многих алфавитных систем счисления, армянская система не использует умножение на 1000 или 10000 для выражения более высоких значений. Вместо этого более высокие значения были записаны полностью с использованием лексических числительных. ^[8]

Более высокие цифры

Когда алфавит закончился, для выражения высших чисел в разных системах стали использоваться различные мультипликативные методы. В греческой алфавитной системе для чисел, кратных 1000, знак хаста помещался слева под знаком цифры, чтобы указать, что его следует умножить на 1000. ^[9]

β = 2

͵β = 2,000

͵κ = 20,000

С помощью второго уровня мультипликативного метода – умножения на 10 000 – набор цифр можно расширить. Самый распространенный метод, использованный Аристархом , заключался в размещении числовой фразы над большим символом M (M = мириады = 10 000), чтобы указать умножение на 10 000. ^[10] Этот метод может выражать числа до 100 000 000 (10 ⁸).

$20 704 - (2 \cdot 10 000 + 700 + 4)$ можно представить как:

${\overset {\beta }{\mathrm {M} }}$	PSD	= 20,704

Согласно Паппа Александрийского отчету , Аполлоний Пергский использовал другой метод. В нем цифры выше M = мириады = 10 000 представляют собой показатель степени 10 000. Число, которое нужно умножить на М, было написано после символа М. ^[11] Этот метод может выразить 5 462 360 064 000 000 как:

${\overset {\gamma }{\mathrm {M} }}$	͵EYZB		${\overset {\beta }{\mathrm {M} }}$	͵ΓX		${\overset {\alpha }{\mathrm {M} }}$	͵FY
10000 ³ × 5462		+	10000 ² × 3600		+	10000 ¹ × 6400

Отличие числовых фраз от текста

Алфавитные цифры отличались от слов специальными знаками, чаще всего горизонтальной чертой над цифрой-фразой, но иногда и точками, расположенными по обе стороны от нее. Последнее проявилось в греческом алфавите знаком хаста .

= 285

В эфиопских цифрах , известных как геэз , знаки имеют отметки как над, так и под ними, указывающие на то, что их значение является числовым. Эфиопские цифры являются исключением, где числовые знаки не являются буквами их алфавита. Эта практика стала универсальной с 15 века. ^[12]

Цифровые знаки эфиопских цифр со знаками как над, так и под буквами:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
× 1	፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
× 10	፲	፳	፴	፵	፶	፷	፸	፹	፺
× 100	፻
× 10,000	፼

Направление цифр соответствует направлению системы письма. Написание ведется слева направо греческими, коптскими, эфиопскими, готскими, армянскими, грузинскими, глаголицей и кириллическими буквенными цифрами вместе с обозначениями Ширакаци. Написание справа налево встречается в еврейских и сирийских алфавитных цифрах, арабских цифрах абджад и цифрах Фес. ^{[ нужна ссылка ]}

Фракции

Единичные дроби

Дроби единиц были методом выражения дробей. В греческой алфавитной записи дроби обозначались знаменателем — буквенным цифровым знаком, за которым следовали небольшие акценты или штрихи, помещенные справа от цифры, известные как керайя (ʹ). Таким образом, γ’ обозначает одну треть, δ’ — одну четверть и так далее. Эти фракции были аддитивными и были также известны как египетские фракции .

Например: $δ´ ϛ´ = 1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 6 = 5 ⁄ 12$ .

Смешанное число можно записать так: $͵θϡϟϛ δ´ ϛ´$ = 9996 + 1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 6

Астрономические дроби

Во многих астрономических текстах отдельный набор алфавитных систем счисления сочетает обычные алфавитные цифры с основанием 60, например, вавилонские шестидесятеричные системы . Во II веке до нашей эры для обозначения дробей возник гибрид вавилонской записи и греческих буквенных цифр. ^[13] В отличие от вавилонской системы, греческая система счисления 60 не использовалась для выражения целых чисел.

В этой шестидесятеричной позиционной системе с подосновой 10 для выражения дробей использовались четырнадцать буквенных цифр (единицы от 1 до 9 и декады от 10 до 50) для записи любого числа от 1 до 59. Эти может быть числителем дроби. Позиционный принцип использовался для знаменателя дроби, который записывался с показателем степени 60 (60, 3600, 216000 и т.д.). Шестидесятеричные дроби можно использовать для выражения любого дробного значения, причем последовательные позиции представляют 1/60, 1/60. ², 1/60 ³, и так далее. ^[14] Первым крупным текстом, в котором появилась эта смешанная система, был , Птолемея «Альмагест» написанный во 2 веке нашей эры. ^[15]

Астрономические дроби (со знаками греческого алфавита):

единицы	а	б	с	д	е	ϛ	г	или	я
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	я	Мистер	л	м	н
	10	20	30	40	50

͵αφιε κ ιε = 1515 + (20 х 1/60) + (15 х 1/3600) = 1515,3375

В этой смешанной системе не использовалась точка счисления , но у астрономических дробей был специальный знак, обозначающий ноль в качестве заполнителя. В некоторых поздних вавилонских текстах использовался аналогичный заполнитель. Греки переняли эту технику, используя собственный знак, форма и характер которого менялись с течением времени от ранних рукописей (I век нашей эры) до алфавитного обозначения. ^[16]

Это шестидесятеричное обозначение было особенно полезно в астрономии и математике из-за разделения круга на 360 градусов (с делениями по 60 минут на градус и 60 секунд на минуту). В комментарии Теона Александрийского (4 век нашей эры) к Альмагесту числительная фраза $͵αφιε κ ιε$ выражает 1515 ( $͵αφιε$ ) градусов, 20 ( $κ$ ) минут и 15 ( $ιε$ ) секунд. ^[17] Значение степени выражается обычными десятичными буквенными цифрами, включая использование мультипликативной хасты для 1000, а последние две позиции записываются шестидесятеричными дробями.

Арабы переняли астрономические дроби непосредственно у греков, и аналогично еврейские астрономы использовали шестидесятеричные дроби, но знаки греческих цифр были заменены собственными буквенными цифрами для обозначения как целых, так и дробей.

Алфавитные системы счисления

См. также

Ссылки

Цитаты

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Хризомалис (2010) , с. 185.
^ Крисомалис (2010) , с. 135–138.
^ Крисомалис (2010) , с. 155.
^ Крисомалис (2010) , с. 148.
^ Крисомалис (2010) , с. 152.
^ Крисомалис (2010) , с. 166.
^ Крисомалис (2010) , с. 156.
^ Крисомалис (2010) , с. 174.
^ Крисомалис (2010) , с. 138.
^ Хит (1921) , стр. 39–41.
^ Греческие системы счисления - MacTutor
^ Ифра (1998) , стр. 246–247.
^ Ифра (1998) , с. 156.
^ Крисомалис (2010) , с. 169.
^ Хит (1921) , стр. 44–45.
^ Ирани (1955) .
^ Томас (1962) , стр. 50–51.

Библиография

Хрисомалис, Стивен (2010). Числовая запись: сравнительная история . Издательство Кембриджского университета. стр. 133–187. ISBN 9780521878180 .
Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики. 2 тома . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Ифра, Жорж (1998). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Перевод Беллоса, Дэвида. Лондон: Харвилл Пресс. ISBN 9781860463242 .
Ирани, Рида АК (1955). «Формы арабских цифр». Центавр . 4 (1): 1–12. Бибкод : 1955Cent....4....1I . дои : 10.1111/j.1600-0498.1955.tb00464.x .
Томас, Айвор (1962). Избранные материалы, иллюстрирующие историю греческой математики . Том. 1. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.

Дальнейшее чтение

Бендер, Марвин Л., Сидней В. Хед и Роджер Коули. 1976. Эфиопская письменность. В книге «Язык в Эфиопии» , М.Л. Бендер, Дж.Д. Боуэн, Р.Л. Купер и К.А. Фергюсон, ред., стр. 120–129. Лондон: Издательство Оксфордского университета.
Брауне, Вильгельм и Эрнст Эббингауз. 1966. Готическая грамматика . Тюбинген: Макс Нимейер Верлаг.
Колин, GS 1960. Абджад. В Энциклопедии ислама , вып. 1, стр. 97–98. Лейден: Брилл.
Колин, Г.С. 1971. Хисаб ад-Джуммал. В Энциклопедии ислама , вып. 3, с. 468. Лейден: Брилл.
Кабберли, Пол. 1996. Славянские алфавиты. В книге «Системы письма мира » Питер Т. Дэниелс и Уильям Брайт, ред., стр. 346–355. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
Гандз, Соломон. 1933 год. Еврейские цифры. Труды Американской академии еврейских исследований 4: стр. 53–112.
Миллард, А. 1995. Незнакомцы из Египта и Греции – знаки чисел на раннем иврите. В книге «Иммиграция и эмиграция на Древнем Ближнем Востоке» , К. ван Лерберг и А. Шорс, ред., стр. 189–194. Левен: Питерс.
Мегалли, Фуад (1991). «Система счисления коптская». В Атия, Азис С. (ред.). Коптская энциклопедия . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 1820–1822.
Мессиха, Хешмат. 1994. Коптские фигуры. Коптский мир 24:25–28.
Нойгебауэр, Отто (1979). Эфиопская астрономия и вычислительная техника . Вена: Издательство Австрийской академии наук.
Панкхерст, Ричард КП, изд. 1985. Письма эфиопских правителей (начало и середина девятнадцатого века) , перевод Дэвида Л. Эпплярда и А.К. Ирвина. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
Шанцлин, Г. Л. 1934. Обозначение абджада. Мусульманский мир 24: 257–261.
Шоу, Аллен А. 1938–9. Забытая система счисления древности. Национальный математический журнал 13: 368–372.
Смит, Дэвид Э. и Л. К. Карпински. 1911. Индо-арабские цифры. Бостон: Джинн

[FOOTNOTEChrisomalis2010185-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Хризомалис (2010) , с. 185.

[FOOTNOTEChrisomalis2010135–138-2] Крисомалис (2010) , с. 135–138.

[FOOTNOTEChrisomalis2010155-3] Крисомалис (2010) , с. 155.

[FOOTNOTEChrisomalis2010148-4] Крисомалис (2010) , с. 148.

[FOOTNOTEChrisomalis2010152-5] Крисомалис (2010) , с. 152.

[FOOTNOTEChrisomalis2010166-6] Крисомалис (2010) , с. 166.

[FOOTNOTEChrisomalis2010156-7] Крисомалис (2010) , с. 156.

[FOOTNOTEChrisomalis2010174-8] Крисомалис (2010) , с. 174.

[FOOTNOTEChrisomalis2010138-9] Крисомалис (2010) , с. 138.

[FOOTNOTEHeath192139–41-10] Хит (1921) , стр. 39–41.

[mactutor-11] Греческие системы счисления - MacTutor

[FOOTNOTEIfrah1998246–247-12] Ифра (1998) , стр. 246–247.

[FOOTNOTEIfrah1998156-13] Ифра (1998) , с. 156.

[FOOTNOTEChrisomalis2010169-14] Крисомалис (2010) , с. 169.

[FOOTNOTEHeath192144–45-15] Хит (1921) , стр. 44–45.

[FOOTNOTEIrani1955-16] Ирани (1955) .

[FOOTNOTEThomas196250–51-17] Томас (1962) , стр. 50–51.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]