Нестандартные позиционные системы счисления

Нестандартные позиционные системы счисления здесь обозначают системы счисления , которые можно условно назвать позиционными системами , но которые не полностью соответствуют следующему описанию стандартных позиционных систем:

В стандартной позиционной системе счисления основание b представляет собой целое положительное число, а b различных цифр чисел используются для обозначения всех неотрицательных целых . Стандартный набор цифр содержит значения b от 0, 1, 2 и т. д. до b − 1, но значение взвешивается в соответствии с положением цифры в числе. Значение строки цифр, такой как pqrs в базе b, задается полиномиальной формой

p\times b^{3}+q\times b^{2}+r\times b+s

.

Числа, написанные в верхнем индексе, обозначают степень используемого основания.

Например, в шестнадцатеричном формате ( b = 16), используя цифры A для 10, B для 11 и т. д., строка цифр 7A3F означает

7\times 16^{3}+10\times 16^{2}+3\times 16+15

,

которое записано в нашей обычной десятичной системе счисления — 31295.

При введении системы счисления "." и знак минус «-», действительные числа могут быть представлены с произвольной точностью.

В этой статье обобщены факты о некоторых нестандартных позиционных системах счисления. В большинстве случаев полиномиальная форма при описании стандартных систем по-прежнему применяется.

Некоторые исторические системы счисления можно описать как нестандартные позиционные системы счисления. Например, шестидесятеричная вавилонская система счисления и китайские стержневые цифры , которые можно классифицировать как стандартные системы с основанием 60 и 10 соответственно, считая пространство, обозначающее ноль как число, также можно отнести к нестандартным системам, точнее, смешанным. -основные системы с унарными компонентами, учитывая примитивные повторяющиеся глифы, составляющие цифры.

Однако большинство перечисленных ниже нестандартных систем никогда не предназначались для общего использования, а были разработаны математиками или инженерами для специального академического или технического использования.

Биективные системы счисления

Биективная система счисления с основанием b использует b различных цифр для представления всех неотрицательных целых чисел. Однако цифры имеют значения 1, 2, 3 и т. д. до b включительно , тогда как ноль представлен пустой строкой цифр. Например, можно использовать десятичное число без нуля .

Основание один (унарная система счисления)

Унарная — это биективная система счисления с основанием b = 1. В унарной системе одно число используется для обозначения всех положительных целых чисел. Значение цифровой строки pqrs, заданное полиномиальной формой, можно упростить до p + q + r + s, поскольку b ^н = 1 для всех n . К нестандартным функциям данной системы относятся:

Значение цифры не зависит от ее положения. Таким образом, можно легко утверждать, что унарная не является позиционной . система вообще
Введение счисления в этой системе не позволит представлять нецелые значения.
Одна цифра представляет значение 1, а не значение 0 = b - 1.
Значение 0 не может быть представлено (или неявно представлено пустой строкой цифр).

Знаковое представление цифр

В некоторых системах, хотя основанием является положительное целое число, допускаются отрицательные цифры. Несмежная форма - это особая система, в которой основание равно b = 2. В сбалансированной тройной системе основание равно b = 3, а цифры имеют значения -1, 0 и +1 (а не 0, 1 и 2). как в стандартной троичной системе , или 1, 2 и 3, как в биективной троичной системе).

Код Грея

Отраженный двоичный код, также известный как код Грея, тесно связан с двоичными числами , но некоторые биты инвертируются, в зависимости от четности битов старшего порядка.

Основания, не являющиеся положительными целыми числами

Было предложено несколько позиционных систем, в которых основание b не является целым положительным числом.

Отрицательная база

Системы с отрицательной базой включают негабинарную , отрицательную и недесятеричную системы счисления с базами -2, -3 и -10 соответственно; в базе - b количество различных используемых цифр равно b . Благодаря свойствам возведенных в степень отрицательных чисел все целые числа, как положительные, так и отрицательные, могут быть представлены без знака.

Комплексная база

В чисто мнимой базовой системе bi , где b — целое число больше 1, а i — , мнимая единица стандартный набор цифр состоит из b ² числа от 0 до b ² − 1 . Его можно обобщить на другие сложные базисы, давая начало комплексно-базисным системам .

Нецелая база

В нецелочисленных системах счисления число различных используемых цифр явно не может быть равно b . Вместо этого цифры от 0 до $\lfloor b\rfloor$ используются. Например, в основе золотого сечения ( финарий ) используются две разные цифры: 0 и 1.

Смешанные основы

Иногда удобно рассматривать позиционные системы счисления, где веса, связанные с позициями, не образуют геометрическую последовательность 1, b , b ², б ³и т. д., начиная с наименее значимой позиции, заданной в полиномиальной форме. В смешанной системе счисления, такой как факториальная система счисления , веса образуют последовательность, где каждый вес является целым числом, кратным предыдущему, и количество разрешенных значений цифр варьируется соответственно от позиции к позиции.

Для календарного использования система счисления майя представляла собой смешанную систему счисления, поскольку одна из ее позиций представляет собой умножение на 18, а не на 20, чтобы соответствовать 360-дневному календарю. Кроме того, указание угла в градусах, минутах и секундах (с десятичными дробями) или времени в днях, часах, минутах и секундах можно интерпретировать как системы смешанной системы счисления.

Также можно использовать последовательности, в которых каждый вес не является целым числом, кратным предыдущему весу, но тогда каждое целое число может не иметь уникального представления. Например, кодирование Фибоначчи использует цифры 0 и 1, взвешенные в соответствии с последовательностью Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, ...); уникальное представление всех неотрицательных целых чисел можно обеспечить, запретив последовательные единицы. Двоично-десятичный код (BCD) — это смешанная базовая система, в которой биты (двоичные цифры) используются для выражения десятичных цифр. Например, в 1001 0011 каждая группа из четырех битов может представлять десятичную цифру (в этом примере 9 и 3, поэтому объединенные восемь бит представляют десятичное число 93). Веса, связанные с этими 8 позициями, составляют 80, 40, 20, 10, 8, 4, 2 и 1. Уникальность обеспечивается требованием, чтобы в каждой группе из четырех битов, если первый бит равен 1, следующие два должны быть 00.

Асимметричные системы счисления

Асимметричные системы счисления — это системы, используемые в информатике, где каждая цифра может иметь разные основания, обычно нецелые. В них не только различаются основания данной цифры, они также могут быть неоднородными и изменяться асимметрично для более эффективного кодирования информации. Они оптимизированы для выбранных неравномерных распределений вероятностей символов, используя в среднем примерно биты энтропии Шеннона на символ. ^[1]

См. также

Внешние ссылки

Разложения по нецелым основаниям: верхний порядок и хвост

Ссылки

^ Дж. Дуда, К. Тахбуб, Н. Дж. Гадил, Э. Дж. Дельп, Использование асимметричных систем счисления в качестве точной замены кодирования Хаффмана , Симпозиум по кодированию изображений, 2015.

[PCS2015-1] Дж. Дуда, К. Тахбуб, Н. Дж. Гадил, Э. Дж. Дельп, Использование асимметричных систем счисления в качестве точной замены кодирования Хаффмана , Симпозиум по кодированию изображений, 2015.

[1]