Обильное количество

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера изобилия числа 12.

В теории чисел обильное число или избыточное число — это целое положительное число, у которого сумма собственных делителей больше этого числа. Целое число 12 — первое обильное число. Его собственные делители — 1, 2, 3, 4 и 6, всего 16. Количество, на которое сумма превышает число, — это изобилие . Например, число 12 имеет изобилие 4.

Определение

Число , n для которого сумма делителей > σ ( n ) > 2 n или, что то же самое, сумма собственных делителей (или аликвотная сумма ) s ( n ) n .

Изобилием называется величина σ ( n ) − 2n (или s ( n ) − n ).

Примеры

Первые 28 обильных чисел:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (последовательность A005101 в OEIS ).

Например, правильные делители числа 24 — это 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 12, сумма которых равна 36. Поскольку 36 больше 24, число 24 является избыточным. Его численность составляет 36 − 24 = 12.

Свойства

• Наименьшее нечетное обильное число — 945.
• Наименьшее многочисленное число, не делящееся на 2 или на 3, — это 5391411025, чьи отдельные простые делители — 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 (последовательность A047802 в OEIS ). Алгоритм, предложенный Яннуччи в 2005 году, показывает, как найти наименьшее обильное число, не делящееся на первые k простых чисел . Если $A(k)$ представляет собой наименьшее обильное число, не делящееся на первые k простых чисел, тогда для всех $\epsilon >0$ у нас есть

$(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }$

для достаточно большого k .

• Любое кратное совершенному числу (кроме самого совершенного числа) является избыточным. Например, каждое число, кратное 6 и превышающее 6, является избыточным, потому что $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$
• Каждое число, кратное избыточному числу, является избыточным. Например, каждое число, кратное 20 (включая само число 20), является избыточным, потому что ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$
• Следовательно, существует бесконечно много четных и нечетных обильных чисел.

Позволять $a(n)$ быть числом обильных чисел, не превышающим $n$. Сюжет $a(n)/n$ для $n<10^{6}$ (с $n$ в логарифмическом масштабе)

• Более того, множество обильных чисел имеет ненулевую естественную плотность . Марк Делеглиз показал в 1998 году, что естественная плотность множества обильных и совершенных чисел находится между 0,2474 и 0,2480.
• Обильное число, которое не кратно обильному числу или совершенному числу (т.е. все его собственные делители неполные), называется примитивным обильным числом.
• Обильное число, численность которого превышает любое меньшее число, называется очень обильным числом, а число, относительное обилие которого (т. е. s(n)/n) больше, чем любое меньшее число, называется сверхизобилующим числом.
• Каждое целое число больше 20161 можно записать как сумму двух избыточных чисел. Самое большое четное число, не являющееся суммой двух множественных чисел, — 46.
• Обильное число, не являющееся полусовершенным, называется странным числом . Обильное число с обилием 1 называется квазисовершенным числом , хотя ни одно из них еще не обнаружено.
• Каждое обильное число кратно либо совершенному числу, либо примитивному обильному числу.

Связанные понятия

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Числа, сумма правильных множителей которых равна самому числу (например, 6 и 28), называются совершенными числами , а числа, сумма правильных множителей которых меньше самого числа, называются неполноценными числами . Первая известная классификация чисел на недостающие, совершенные и обильные была сделана Никомахом в его «Введении в арифметику» (около 100 г. н. э.), в котором многочисленные числа описывались как деформированные животные со слишком большим количеством конечностей.

Индекс изобилия n — это отношение σ ( n )/ n . Различные числа n ₁ , n ₂ , ... (независимо от того, многочисленны они или нет) с одинаковым индексом изобилия называются дружественными числами .

Последовательность ( a _k ) наименьших чисел n таких, что σ ( n ) > kn , в которой a ₂ = 12 соответствует первому обильному числу, растет очень быстро (последовательность A134716 в OEIS ).

Наименьшее нечетное целое число с индексом изобилия, превышающим 3, равно 1018976683725 = 3. ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29.

Если p = ( p ₁ , ..., p _n ) — список простых чисел, то p называется обильным, если некоторое целое число, состоящее только из простых чисел из p, является обильным. Необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы произведение p _i /( p _i − 1) было > 2.

Ссылки

• Таттерсолл, Джеймс Дж. (2005). Элементарная теория чисел в девяти главах (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-85014-8 . Збл   1071.11002 .

Внешние ссылки

• Главный глоссарий: обильное число
• Вайсштейн, Эрик В. «Обильное число» . Математический мир .
• Обильное число в PlanetMath .